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| Aufgabe | Murray R. Spiegel / applied differential equations / 3. edition, 1981, p. 131 No. 3
A man initially at O [Koordinatenursprung] walks along the straight shore Ox of a lake towing a rowboat, initially at A [auf der positiven y-Achse], by means of a rope of length a, which is always held taught. Show that the boat moves in a path (called a traktrix) with parametric equations
[mm] $x\;=\;a\;ln \left[\;cot\; \frac{\theta}{2}\; -\;cos\; \theta \;\right]$, $y\;=\;a\;sin\;\theta$ [/mm] |
Hallo liebe Leute,
ich frage mich ob da ein Druckfehler im Buch ist, weil ich ein leicht anderes Ergebnis habe:
Differentialgleichung: [mm] $y'\;=\;-\; \frac{y}{\wurzel{a^2-y^2}}$
[/mm]
Lösung mit Formelsammlung: [mm] $x(y)\;=\;a*ln \left|\frac{a+\wurzel{a^2-y^2}}{y} \right|\;-\;\sqrt{a^2-y^2}$ [/mm]
wobei nun: [mm] $y(\theta)\;=\;a*sin(\theta)$
[/mm]
[mm] $x(\theta)\;=\;a*ln\;\left| \;\frac{a+\wurzel{a^2-a^2*sin^2(\theta)}}{a*sin(\theta)}\;\right| \;-\;\wurzel{a^2-a^2*sin^2(\theta)}$
[/mm]
[mm] $x(\theta)\;=\;a*ln\;\left|\; \frac{1+cos(\theta)}{sin(\theta)} \;\right| \;-\;a*cos(\theta)$
[/mm]
[mm] $x(\theta)\;=\;a*ln\;\left|\; cot\;\frac{\theta}{2} \;\right| \;-\;a*cos(\theta)\;=\;a* \left( ln\;\left|\; cot \;\frac{\theta}{2} \;\right| \;-\;cos(\theta) \right)$
[/mm]
Besten Dank fürs drüberschauen.
LG, Martinius
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hallo Martinius
Für die Traktrix gibt es eine Fülle unterschiedlicher Parametrisierungen. Einige werden da gezeigt:
https://mathe-cd.de/DEMO-CD/5_Studium/54_Algebraische%20Kurven/54110%20Traktrix.pdf
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:47 So 18.12.2022 | | Autor: | Martinius |
Hallo Al,
Dank Dir für den Link!
LG, Martinius
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> Murray R. Spiegel / applied differential equations / 3.
> edition, 1981, p. 131 No. 3
>
> A man initially at O [Koordinatenursprung] walks along the
> straight shore Ox of a lake towing a rowboat, initially at
> A [auf der positiven y-Achse], by means of a rope of length
> a, which is always held taught. Show that the boat moves in
> a path (called a traktrix) with parametric equations
>
> [mm]x\;=\;a\;ln \left[\;cot\; \frac{\theta}{2}\; -\;cos\; \theta \;\right][/mm],
> [mm]y\;=\;a\;sin\;\theta[/mm]
> Hallo liebe Leute,
>
> ich frage mich ob da ein Druckfehler im Buch ist, weil ich
> ein leicht anderes Ergebnis habe:
Ja. Die erste Klammer gehört vor und nicht hinter ln. Deine folgende Rechnung ist richtig.
>
> Differentialgleichung: [mm]y'\;=\;-\; \frac{y}{\wurzel{a^2-y^2}}[/mm]
>
>
> Lösung mit Formelsammlung: [mm]x(y)\;=\;a*ln \left|\frac{a+\wurzel{a^2-y^2}}{y} \right|\;-\;\sqrt{a^2-y^2}[/mm]
>
>
>
> wobei nun: [mm]y(\theta)\;=\;a*sin(\theta)[/mm]
>
>
> [mm]x(\theta)\;=\;a*ln\;\left| \;\frac{a+\wurzel{a^2-a^2*sin^2(\theta)}}{a*sin(\theta)}\;\right| \;-\;\wurzel{a^2-a^2*sin^2(\theta)}[/mm]
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> [mm]x(\theta)\;=\;a*ln\;\left|\; \frac{1+cos(\theta)}{sin(\theta)} \;\right| \;-\;a*cos(\theta)[/mm]
>
>
> [mm]x(\theta)\;=\;a*ln\;\left|\; cot\;\frac{\theta}{2} \;\right| \;-\;a*cos(\theta)\;=\;a* \left( ln\;\left|\; cot \;\frac{\theta}{2} \;\right| \;-\;cos(\theta) \right)[/mm]
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>
> Besten Dank fürs drüberschauen.
>
> LG, Martinius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:58 Mi 21.12.2022 | | Autor: | Martinius |
Hallo HJKweseleit,
ja, das war meine eigentliche Frage. Habe vielen Dank für Deine Antwort!
LG, Martinius
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