Transformation, Beweis Satz < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:37 Do 02.05.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Satz:
Die Abbildung [mm] \overline{P} [/mm] : [mm] \mathcal{\overline{A}} [/mm] -> [0,1] definiert durch [mm] \overline{P}(A)= P(\phi^{-1} [/mm] (A)), A [mm] \in \mathcal{\overline{A}} [/mm] ist ein W-Maß auf auf [mm] (\overline{\Omega},\mathcal{\overline{A}} [/mm] . [mm] \overline{P} [/mm] heißt Verteilung von [mm] \phi [/mm] unter P
Bew.:
-) [mm] \overline{P} [/mm] ( [mm] \overline{\Omega})=1
[/mm]
[mm] \overline{P}(\overline{\omega})= [/mm] P [mm] (\phi^{-1} (\overline{\omega}) [/mm] = [mm] P(\omega)=1
[/mm]
-) [mm] \sigma [/mm] Additivität von [mm] \overline{P}:
[/mm]
Seien [mm] A_1 ,A_2 [/mm] ,.., [mm] \in \mathcal{\overline{A}} [/mm] paarweise disjunkt setzte [mm] B_n [/mm] = [mm] \phi^{-1} (A_n).
[/mm]
Dann [mm] B_n \in \mathcal{A} [/mm] und [mm] B_n [/mm] paarweise disjunkt.
[mm] \overline{P} (\bigcup_{i=1}^\infty A_i)= P(\phi^{-1} [/mm] ( [mm] \bigcup_{i=1}^\infty A_i [/mm] ))= [mm] P(\bigcup_{i=1}^\infty \phi^{-1} (A_i))= \sum_{i=1}^\infty P(\phi^{-1} (A_i))= \sum_{i=1}^\infty \overline{P}(A_i)
[/mm]
Dann [mm] B_n \in \mathcal{A} [/mm] |
Frage zum Beweis:
Warum gilt dass die [mm] B_n [/mm] paarweise disjunkt sind? Eine messbare Abbildung muss doch nicht injektiv sein?
LG
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> Satz:
> Die Abbildung [mm]\overline{P}[/mm] : [mm]\mathcal{\overline{A}}[/mm] ->
> [0,1] definiert durch [mm]\overline{P}(A)= P(\phi^{-1}[/mm] (A)), A
> [mm]\in \mathcal{\overline{A}}[/mm] ist ein W-Maß auf auf
> [mm](\overline{\Omega},\mathcal{\overline{A}}[/mm] . [mm]\overline{P}[/mm]
> heißt Verteilung von [mm]\phi[/mm] unter P
>
> Bew.:
>  [mm]\overline{P}[/mm] ( [mm]\overline{\Omega})=1[/mm]
> [mm]\overline{P}(\overline{\omega})=[/mm] P [mm](\phi^{-1} (\overline{\omega})[/mm]
> = [mm]P(\omega)=1[/mm]
> [mm]\sigma[/mm] Additivität von [mm]\overline{P}:[/mm]
> Seien [mm]A_1 ,A_2[/mm] ,.., [mm]\in \mathcal{\overline{A}}[/mm] paarweise
> disjunkt setzte [mm]B_n[/mm] = [mm]\phi^{-1} (A_n).[/mm]
> Dann [mm]B_n \in \mathcal{A}[/mm]
> und [mm]B_n[/mm] paarweise disjunkt.
> [mm]\overline{P} (\bigcup_{i=1}^\infty A_i)= P(\phi^{-1}[/mm] (
> [mm]\bigcup_{i=1}^\infty A_i[/mm] ))= [mm]P(\bigcup_{i=1}^\infty \phi^{-1} (A_i))= \sum_{i=1}^\infty P(\phi^{-1} (A_i))= \sum_{i=1}^\infty \overline{P}(A_i)[/mm]
>
> Dann [mm]B_n \in \mathcal{A}[/mm]
> Frage zum Beweis:
> Warum gilt dass die [mm]B_n[/mm] paarweise disjunkt sind? Eine
> messbare Abbildung muss doch nicht injektiv sein?
>
>
>
> LG
Guten Abend,
das hat mit der Injektivität der messbaren (diese wesentliche Vorraussetzung fehlt übrigens in der Formulierung des Satzes) Abbildung [mm] $\phi$ [/mm] nichts zu tun.
Nimm mal an, dass ein [mm] $\omega \in B_{i} \cap B_{j}$ [/mm] für $i [mm] \not= [/mm] j$ existiert. Folgere daraus den Widerspruch [mm] $A_{i} \cap A_{j} \not= \emptyset$. [/mm]
Einen schönen Abend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 Do 02.05.2013 | | Autor: | sissile |
Das hab ich dann verwechselt.
[mm] \omega \in B_i \cap B_j [/mm] für i [mm] \not=j
[/mm]
<=> [mm] \omega \in \phi^{-1} (A_i) \cap \phi^{-1} (A_j)= \phi^{-1} (A_i \cap A_j) [/mm] = [mm] \phi^{-1} (\emptyset)
[/mm]
<=> [mm] \omega \in \phi^{-1} (\emptyset)
[/mm]
-)Was ist das Urbild von der leeren menge unter [mm] \phi [/mm] ?
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Hallo,
das Urbild der leeren Menge ist immer die leere Menge. Dies sieht man leicht durch hinschreiben der Defintion von [mm] $\phi(\emptyset)$ [/mm] ein.
Viele Grüße
Blasco
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