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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:29 Mo 31.01.2011 | | Autor: | nooschi |
| Aufgabe | Bestimmen Sie das zwischen der Kugel [mm] $$x^2+y^2+z^2=8$$ [/mm] und dem Paraboloid [mm] $$4z=x^2+y^2+4$$ [/mm] eingeschlossene Volumen
(Hinweis: Zylinderkoordinaten: [mm] $x=r\cos\varphi$, $y=r\sin\varphi$, [/mm] $z=h$ wobei [mm] $r\in [0,\infty [/mm] )$, [mm] $\varphi\in [0,2\pi [/mm] )$, [mm] $h\in \mathbb{R}$) [/mm] |
Hallo zusammen
ich würde gerne die Aufgabe mit der vorgeschlagenen Transformation berechnen (auf eine andere Art hab ich das bereits gemacht), nur ist es mir alleine leider nicht so ganz gelungen.
Ich habe bereits bewiesen, dass [mm] $$T:(0,\infty )\times (0,2\pi )\times\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^3\backslash \{(x,0,z)\mid x\geq 0, z\in \mathbb{R} \}, [/mm] \ \ \ \ \ \ [mm] T(r,\varphi [/mm] , [mm] h)=(r\cos\varphi [/mm] , [mm] r\sin\varphi, [/mm] h)$$ ein Diffeomorphismus ist und dass [mm] $\{(x,0,z)\mid x\geq 0, z\in \mathbb{R} \}$ [/mm] ein [mm] $\lambda^3$-Nullmenge [/mm] ist.
Jetzt wäre mein weiteres Vorgehen gewesen, den zu berechnenden Körper in diesen Koordinaten darzustellen: (Gleichheitszeichen gelten bis auf Nullmengen)
[mm] $K=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2\leq 8-z^2, x^2+y^2\leq 4(z-1)\}$
[/mm]
[mm] $=\{T(r,\varphi , h)\mid r\leq 8-h^2, r\leq 4(z-1)\}$
[/mm]
[mm] $=\{T(r,\varphi , h)\mid r\leq \min\{8-h^2, 4(z-1)\}\}$
[/mm]
und jetzt habe ich mit kurzer Kurvendiskussion gesehen, dass das obige Minimum gerade so erfüllt ist:
[mm] $=\{T(r,\varphi , h)\mid r\leq\begin{cases} 8-h^2 & \mbox{falls } h\geq 2 \\ 4(h-1) & \mbox{falls } h<2 \end{cases} \ \ \|h|\leq \sqrt{8}\}$
[/mm]
jetzt will ich ja vermutlich irgendwie den Transformationssatz anwenden, aber ich sehe nicht direkt wie das hier gehen sollte...
und nö, ich bin nicht an der Faulheit gescheitert den Transformationssatz nachzuschauen  Beweis:
$U,V$ offen in [mm] $\mathbb{R}^{n}$, $T:U\rightarrow [/mm] V$ Diffeo, [mm] $f:V\rightarrow\mathbb{R}$. [/mm] Dann:
i) [mm] $\forall A\in\mathbb{L}^{n}$, $A\subset [/mm] U$: [mm] $\lambda(T(A))=\int_{A}|\det dT|d\lambda$
[/mm]
ii) $f$ [mm] $\lambda$-integrierbar [/mm] über $V$ [mm] \qquad\Leftrightarrow\qquad $f\circ T\cdot|\det [/mm] dT|$ integrierb. über $U$
iii) falls [mm] $f\in\mathcal{M}^{+}$ [/mm] oder $f$ integrierbar [mm] \Rightarrow $\int_{T(U)}f(y)d^{n}y=\int_{U}f(T(x))\cdot|\det dT(x)|d^{n}x$
[/mm]
ich wäre sehr froh um jede Hilfe...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:14 Di 01.02.2011 | | Autor: | nooschi |
... ich wäre immer noch sehr interessiert  ...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:50 Mi 02.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. für mich ist nicht klar welches volumen gemeint ist, oberhalb des paraboloids oder unterhalb , aber das ist wohl unvichtig. Warum so umständlich und nicht einfach das volumenelement in Zylinder-Koordinaten
dV=rd˜phi*dr*dh
dann hast du nur noch das Problem der Grenzen, dazu musst du die 2 wohl schneiden.
übrigends hast du noch nen Fehler:
ich weiss nicht genau, was du mit T meinst
aber $ [mm] =\{T(r,\varphi , h)\mid r\leq 8-h^2, r\leq 4(z-1)\} [/mm] $ ist falsch
richtig ist
$ [mm] =\{T(r,\varphi , h)\mid r^2 \leq 8-h^2, r^2\leq 4(z-1)\} [/mm] $
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:35 Mi 02.02.2011 | | Autor: | nooschi |
vielen Dank für die Antwort!
> 1. für mich ist nicht klar welches volumen gemeint ist,
> oberhalb des paraboloids oder unterhalb , aber das ist wohl
> unvichtig.
Genau das Problem hatte ich auch damals in der Übung und prompt das falsche ausgerechnet :D gemeint ist das oberhalb, aber ich bin froh, dass ich nicht die einzige bin, die das nicht so klar findet :D
> Warum so umständlich und nicht einfach das
> volumenelement in Zylinder-Koordinaten
> dV=rd˜phi*dr*dh
?? das verstehe ich leider überhaupt nicht
das Volumenelement / Oberflächenelement kenne ich von der Integration über Untermannigfaltigkeiten, da sucht man ja erst eine Karte dieser Untermannigfaltigkeit und dann ist [mm] $dV=\sqrt{\det g}d^kt$ [/mm] (für [mm]k[/mm]-dim. Untermgfk) wobei $g$ die Gramsche Matrix von der Karte sein soll.
Wenn ich das auf unser Beispiel anwenden will, dann muss ich doch auch gerade wieder erst den Körper in Zylinderkoordinaten darstellen (also den Körper "bzgl. dieser Karte").
> übrigends hast du noch nen Fehler:
> ich weiss nicht genau, was du mit T meinst
> aber [mm]=\{T(r,\varphi , h)\mid r\leq 8-h^2, r\leq 4(z-1)\}[/mm]
> ist falsch
> richtig ist
> [mm]=\{T(r,\varphi , h)\mid r^2 \leq 8-h^2, r^2\leq 4(z-1)\}[/mm]
[mm]T[/mm] ist die Transformation von Zylinderkoordinaten in den [mm] $\mathbb{R}^3$, [/mm] die ich im ersten Post angegeben habe...
aber das sehe ich auch so, das [mm]r[/mm] müsste [mm] $r^2$ [/mm] heissen
(ah und das [mm]z[/mm] müsste [mm]h[/mm] heissen)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:08 Do 03.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
> vielen Dank für die Antwort!
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> > 1. für mich ist nicht klar welches volumen gemeint ist,
> > oberhalb des paraboloids oder unterhalb , aber das ist wohl
> > unvichtig.
>
> Genau das Problem hatte ich auch damals in der Übung und
> prompt das falsche ausgerechnet :D gemeint ist das
> oberhalb, aber ich bin froh, dass ich nicht die einzige
> bin, die das nicht so klar findet :D
>
>
> > Warum so umständlich und nicht einfach das
> > volumenelement in Zylinder-Koordinaten
> > dV=rd˜phi*dr*dh
natürlich kannst du das Volumenelement so ausrechnen, es sollt dir nur vorher klar sein, dass meine Formel rauskommen muss, weil das, wenn du dir ein Volumenelement im Zylinder vorstellst direkt rauskommt.
> ?? das verstehe ich leider überhaupt nicht
> das Volumenelement / Oberflächenelement kenne ich von der
> Integration über Untermannigfaltigkeiten, da sucht man ja
> erst eine Karte dieser Untermannigfaltigkeit und dann ist
> [mm]dV=\sqrt{\det g}d^kt[/mm] (für [mm]k[/mm]-dim. Untermgfk) wobei [mm]g[/mm] die
> Gramsche Matrix von der Karte sein soll.
> Wenn ich das auf unser Beispiel anwenden will, dann muss
> ich doch auch gerade wieder erst den Körper in
> Zylinderkoordinaten darstellen (also den Körper "bzgl.
> dieser Karte").
>
> > übrigends hast du noch nen Fehler:
> > ich weiss nicht genau, was du mit T meinst
> > aber [mm]=\{T(r,\varphi , h)\mid r\leq 8-h^2, r\leq 4(z-1)\}[/mm]
> > ist falsch
> > richtig ist
> > [mm]=\{T(r,\varphi , h)\mid r^2 \leq 8-h^2, r^2\leq 4(z-1)\}[/mm]
>
> [mm]T[/mm] ist die Transformation von Zylinderkoordinaten in den
> [mm]\mathbb{R}^3[/mm], die ich im ersten Post angegeben habe...
> aber das sehe ich auch so, das [mm]r[/mm] müsste [mm]r^2[/mm] heissen
> (ah und das [mm]z[/mm] müsste [mm]h[/mm] heissen)
Wenn du mit deiner Schreibweise nur meinst, dass du die körper in Zzylinderkoo. schreibst, ist das jetzt richtig. (mit [mm] r^2
[/mm]
dann musst du doch nur noch in den richtigen Grenzen über dV integrieren.
wenns um den Körper oberhalb der paraboloidschale, innerhalb des körpers geht von h=1 bis 2 über das paraboloid und von h=2 bis [mm] \wurzel{8} [/mm] über die Kugel. den Schnitt bei h=2 hast du ja schon.
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:53 Do 03.02.2011 | | Autor: | nooschi |
> Wenn du mit deiner Schreibweise nur meinst, dass du die
> körper in Zzylinderkoo. schreibst, ist das jetzt richtig.
> (mit [mm]r^2[/mm])
jap, ich meinte nur das, ich bin ja eben leider nicht mehr wirklich weiter gekommen... :P
> dann musst du doch nur noch in den richtigen Grenzen über
> dV integrieren.
> wenns um den Körper oberhalb der paraboloidschale,
> innerhalb des körpers geht von h=1 bis 2 über das
> paraboloid und von h=2 bis [mm]\wurzel{8}[/mm] über die Kugel. den
> Schnitt bei h=2 hast du ja schon.
hmmhmm, also ich stelle mich vermutlich sehr dööflich an, aber leider bin ich noch nicht so weit, dass ich eine Vorstellung davon habe, wie "ein Volumenelement im Zylinder" aussieht (allgemein hat ein "Volumenelement" für mich keine wirkliche Bedeutung, das ist für mich nur das formale dV das als Abkürzung hinten dran steht und halt eigentlich für das Determinanten Zeugs steht)... Deshalb formal:
[mm] $Vol(K)=\int_{\mathbb{R}^3}\chi_{K}(x_1,x_2,x_3)d^3\lambda$
[/mm]
[mm] $=\int_{(0,\infty )\times (0,2\pi )\times\mathbb{R}}\chi_{K}(T(r,\varphi [/mm] , [mm] h))\cdot |\det dT|d^3\lambda$
[/mm]
[mm] $=\int_{(0,\infty )\times (0,2\pi )\times\mathbb{R}}\chi_{\{T(r,\varphi , h)\mid r\in(0, 8-h^2), h\in (2,\sqrt{8}), \varphi\in(0,2\pi)\}}(T(r,\varphi [/mm] , [mm] h))\cdot [/mm] r [mm] d^3\lambda$
[/mm]
[mm] $+\int_{(0,\infty )\times (0,2\pi )\times\mathbb{R}}\chi_{\{T(r,\varphi , h)\mid r\in(0, 4(h-1)), h\in (1,2), \varphi\in (0,2\pi) \}}(T(r,\varphi [/mm] , [mm] h))\cdot rd^3\lambda$
[/mm]
ja jetzt halt irgendwelche Schnitte betrachten und so bisschen Tonelli anwenden
[mm] $=\int_0^{2\pi}\int_2^{\sqrt{8}} \int_0^{8-h^2} [/mm] r dr\ dh\ [mm] d\varphi+\int_0^{2\pi}\int_1^2\int_0^{4(h-1)} [/mm] r dr\ dh\ [mm] d\varphi$
[/mm]
ok ich denke es ist mir einigermassen klar, nur "sehe" ichs so überhaupt nicht. wenn ichs auf umständlichstem Wege alles ausführe und mich von Def. zu Satz zur nächsten Def. angle, dann klappts schon irgendwie, aber nor so vom Schiff aus sagen können: das Volumenelement muss so uns so aussehen, das kapiere ich überhaupt nicht. Aber das ist wohl etwas, dass man nicht gut erklären kann.
Danke auf jeden Fall für deine Mühe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:36 Fr 04.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo nooschi
Man kann das doch leicht anschaulich erklaren. zeichne 2 Kreise ,it r und r+dr (dr beim zeichnen natürlich endlich groß) dann einen kleinen Winkel [mm] d\phi [/mm] der flächeninhalt des stückchen kreisrings ist dann beinahe ein kleines quadrat mit der Länge auf dem Kreis [mm] r*d\phi [/mm] und der anderen länge dr. Das Flächenelement ist also [mm] dA=rd\phi*dr. [/mm] Wenn du davon die Höhe dh raufgehst hast du nen kleinen Würfel mit dem Volumen [mm] dV*dA*dh=rd\phi*dr*dh
[/mm]
wenn du auf der kugel mit [mm] r,\phi,\theta [/mm] auch ein kleines Würfelchen ausschneidest, hast du auf dem breitenkreis mit Radius [mm] r*sin\theta [/mm] wieder die länge [mm] rsin\theta*d\phi, [/mm] in [mm] \phi [/mm] richtung, in [mm] \theta [/mm] Richtung (Längenkreis) die länge [mm] r+d\theta [/mm] auf der kugel also didas kleine Quadrat [mm] dA=rsin\theta*d\phi*rd˜theta [/mm] und um nen Würfelchen draus zu machen noch mal der Höhe dr also dV in kugelkoordinaten [mm] dV=r^2sin\theta*drd\phid\theta. [/mm] (theta=0 am Nordpol)
am besten zeichne es mal auf.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:43 Fr 04.02.2011 | | Autor: | nooschi |
vielen, vielen tausend Dank!! ich glaube ich habe endlich kapiert, was das "d" am ende des Integrals eigentlich sein soll :D:D
das ganze scheint mir jetzt schon viel sympathischer, ich glaube ich werde mich noch damit anfreunden können.
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