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| Aufgabe | Bestimmen Sie den Grundtyp der DGL und transformieren Sie sie auf Normalform.
[mm] u_{xx}+x^{2}u_{yy}=0 [/mm] mit [mm] (x,y)\in\IR^{2} [/mm] und [mm] x\not=0 [/mm] |
Hallo, ich habe bei der Transformation ein paar Probleme und weiss jetzt nicht, ob meine Transformation an sich falsch ist, oder ob sich irgendwo ein Fehler eingeschlichen hat.
Zu erst die Bestimmung des Grundtypen:
allgemeine lineare partielle DGL 2. Ordnung lautet
[mm] a(x,y)u_{xx}+b(x,y)u_{xy}+c(x,y)u_{yy}+d(x,y)u_{x}+e(x,y)u_{y}+f(x,y)=0
[/mm]
Sei [mm] D(x,y)=a*c-(b/2)^{2} [/mm] mit a=1, b=0, [mm] c=x^{2} [/mm] folgt [mm] D=x^{2} [/mm] mit [mm] x^{2}\not=0 [/mm] folgt D>0 [mm] \Rightarrow [/mm] Die pDGL ist elliptisch [mm] \forall (x,y)\in\IR^{2}, x\not=0
[/mm]
das heisst die Normalform ist die Poissongleichung [mm] \Delta*u=f
[/mm]
Jetzt zur Transformation
als Transformationsfunktionen wählt man [mm] \xi(x,y) [/mm] und [mm] \nu(x,y) [/mm] die den Beltrami-DGLn genügen.
[mm] \nu_{x}=\bruch{b/2*\xi_{x}+c*\xi_{y}}{\wurzel{ac-(b/2)^{2}}}=x*\xi_{y} [/mm] und [mm] \nu_{y}=\bruch{a*\xi_{x}+b/2*\xi_{y}}{\wurzel{ac-(b/2)^{2}}}=-\bruch{\xi_{x}}{x}
[/mm]
linearer Ansatz: [mm] \xi=Ax+By [/mm] damit folgt
[mm] \nu_{x}=xB\Rightarrow\nu=B/2*x^{2}+C(y)
[/mm]
[mm] \nu_{y}=-A/x\Rightarrow\nu=-\bruch{Ay}{x}+C(x)
[/mm]
[mm] \Rightarrow\nu=B/2*x^{2}-\bruch{Ay}{x}
[/mm]
mit A=B=1
Transformation von u(x,y) nach [mm] \omega(\xi,\nu)
[/mm]
[mm] u_{x}=\omega_{\xi}+(x+y/x^{2})\omega_{\nu}
[/mm]
[mm] u_{xx}=\omega_{\xi\xi}+\omega_{\xi\nu}*2(x+y/x^{2})+(1-2y/x^{3})\omega_{\nu}+(x+y/x^{2})^{2}*\omega_{\nu\nu}
[/mm]
[mm] u_{y}=\omega_{\xi}-1/x*\omega_{\nu}
[/mm]
[mm] u_{yy}=\omega_{\xi\xi}-2/x*\omega_{\xi\nu}+1/x^{2}*\omega_{\nu\nu}
[/mm]
Wenn ich das jetzt in die pDGL einsetze komm ich auf nichts sinnvolles in der Form [mm] \Delta\omega=f
[/mm]
Muss man bei elliptischen pDGLn immer diese Art von Transformation verwenden? Gibt es noch andere? Oder ist diese hier komplett falsch?
Viele Danke für eure Hilfe!
MfG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:45 Mo 18.06.2012 | | Autor: | Approximus |
Mir würde auch eine kurze Skizze reichen, wie ihr es machen würdet ;)
MfG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Do 21.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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