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Forum "Uni-Stochastik" - Transformation selbst erzeugen
Transformation selbst erzeugen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Transformation selbst erzeugen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:35 Mo 13.12.2010
Autor: wwfsdfsdf2

Aufgabe
Zur Verfügung steht eine gleichmäßig Verteilte ZV. Erzeuge mit Hilfe dieser Zufallszahlen der Verteilung mit Dichte:

[mm] f(x)=\begin{cases} \bruch {a}{b} x^{a-1} e^{- \bruch{x^a}{b}} & \mbox{für } x > 0 \\ 0 & { sonst} \end{cases} [/mm]


die Verteilung von "Y" (der gleichmäßig Verteilten, zu Grunde liegenden Variable) ist ja

[mm] g(x)=\begin{cases} \bruch{1}{b-a}& \mbox{ im Intervall } [a,b] \\ 0 & { sonst} \end{cases} [/mm]


- > also muss ich diese via Transformation in die Form f(n) bringen - warscheinlich komme ich hierbei mit 1 X nicht aus, zumindest bin ich beim rumrechnen bisher auf keine annähernde Lösung gekommen, daher bitte ich um Hilfe.

        
Bezug
Transformation selbst erzeugen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:52 Mo 13.12.2010
Autor: Walde

Hi wwf,

bitte überprüfe nochmal dein f(n), die Darstellung ist unklar. Was ist das im Exponent von x?

Ansonsten wäre mein erster Ansatz [mm] $h\circ [/mm] g=f$ auszuprobieren und dann nach h aufzulösen, also [mm] $h=f\circ g^{-1}$ [/mm]

LG walde


EDIT: Ich habe ausserdem das Gefühl, es sollte f(x) heissen?
EDIT2: Hm: [mm] g^{-1} [/mm] macht natürlich bei ner konstanten Funktion keinen Sinn. Vielleicht kann man was über die Verteilungsfunktion machen? Hab's aber selbst noch nicht ausprobiert.

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Bezug
Transformation selbst erzeugen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:36 Mo 13.12.2010
Autor: wwfsdfsdf2

korrigiert - natürlich f(x), das f(n) war aus dem LaTex-Template :)

im Exponenten hat die 1 in a-1 gefehlt - war mir leider in der Vorschau nicht aufgefallen.

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Transformation selbst erzeugen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:01 Mo 13.12.2010
Autor: luis52


> Zur Verfügung steht eine gleichmäßig Verteilte ZV.
> Erzeuge mit Hilfe dieser Zufallszahlen der Verteilung mit
> Dichte:
>  
> [mm]f(x)=\begin{cases} \bruch {a}{b} x^{a-1} e^{- \bruch{x^a}{b}} & \mbox{für } x > 0 \\ 0 & { sonst} \end{cases}[/mm]

Was ist denn "$a_$"? Was ist "$b_$"?


>  
> die Verteilung von "Y" (der gleichmäßig Verteilten, zu
> Grunde liegenden Variable) ist ja
>  
> [mm]g(x)=\begin{cases} \bruch{1}{b-a}& \mbox{ im Intervall } [a,b] \\ 0 & { sonst} \end{cases}[/mm]

Dieselben $a,b_$ wie oben?

>  
>
> - > also muss ich diese via Transformation in die Form f(n)
> bringen - warscheinlich komme ich hierbei mit 1 X nicht

[verwirrt] Was heisst das?

> aus, zumindest bin ich beim rumrechnen bisher auf keine
> annähernde Lösung gekommen, daher bitte ich um Hilfe.

Ich *vermute*, du sollst den Fall einer Weibull-Verteilung behandeln. Welche Transformation zur Erzeugung von Zufallszahlen kennst du denn? Das oben kann ich nicht entziffern.

vg Luis


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Transformation selbst erzeugen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:42 Di 14.12.2010
Autor: wwfsdfsdf2

a und b sind einfach konstanten - im Falle von g(x) natürlich die Grenzen. Ob es die gleichen sind ist die Frage, die es durch Angeben der Transformationsforschrift wohl unter anderem zu beantworten gilt :)

Bezug
        
Bezug
Transformation selbst erzeugen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:14 Mo 13.12.2010
Autor: gfm


> Zur Verfügung steht eine gleichmäßig Verteilte ZV.
> Erzeuge mit Hilfe dieser Zufallszahlen der Verteilung mit
> Dichte:
>  
> [mm]f(x)=\begin{cases} \bruch {a}{b} x^{a-1} e^{- \bruch{x^a}{b}} & \mbox{für } x > 0 \\ 0 & { sonst} \end{cases}[/mm]

  
Sei [mm]F[/mm] die zu [mm]f[/mm] gehörige Verteilungsfunktion, [mm]G[/mm] die zu [mm]F[/mm] gehörige Pseudoinverse sowie [mm]U[/mm] eine in [mm][0,1][/mm] gleichförmig verteilte ZV. Dann hat [mm]G\circ U[/mm] die Verteilung [mm]F[/mm]  

Stichwort: "Inversionsmethode"

LG

gfm





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Transformation selbst erzeugen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:42 Di 14.12.2010
Autor: gfm

Es ist [mm] F(t)=(1-\exp(-t^a/b))*1_{\IR_0^+}(t) [/mm]

Bezug
                
Bezug
Transformation selbst erzeugen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:29 Di 14.12.2010
Autor: wwfsdfsdf2

Also lege ich Y im Intervall [0,1] fest. damit ist es dann das von dir genannte U(x)
Mit der Definition ist klar, dass
G [mm] \circ [/mm] U = F ist, aber wie bestimme ich nun G(x), eben die Transformation?

U = [mm] G^{-1} \circ [/mm] F

irgendwie hilft mir das nicht wirklich weiter?!


edit:

Ich brauche also eine "Weibull"-Verteilung mit [mm] \beta [/mm] = a und [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{1}{b}, [/mm] wobei a, b sich auf die konstanten in f(x) beziehen.

Bezug
                        
Bezug
Transformation selbst erzeugen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:40 Di 14.12.2010
Autor: gfm


> Also lege ich Y im Intervall [0,1] fest. damit ist es dann
> das von dir genannte U(x)
>   Mit der Definition ist klar, dass
> G [mm]\circ[/mm] U = F ist, aber wie bestimme ich nun G(x), eben die
> Transformation?
>  
> U = [mm]G^{-1} \circ[/mm] F
>  
> irgendwie hilft mir das nicht wirklich weiter?!
>  
>
> edit:
>  
> Ich brauche also eine "Weibull"-Verteilung mit [mm]\beta[/mm] = a
> und [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{1}{b},[/mm] wobei a, b sich auf die
> konstanten in f(x) beziehen.

Du hast f(x) gegeben. F(t) ist in der anderen Nachricht angegeben. Davon nun die Pseudoinverse G bilden und Du bist fertig. Wenn der Zufallszahlengenerator U in [0,1] gleichverteilt ist, liefert G(U) dann Zufallszahlen mit der Dichte f.

LG

gfm




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Transformation selbst erzeugen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 22:23 Do 16.12.2010
Autor: wwfsdfsdf2

Egal wieviel ich Wikipedia und das Skript studiere, ich komme nicht drauf, wie das bestimmen der Inversen funktioniert - was sie leisten soll, ist klar - aber ich steh hier wohl komplett auf dem Schlauch hmmmm

Bezug
                                        
Bezug
Transformation selbst erzeugen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 11:15 Fr 17.12.2010
Autor: gfm


> Egal wieviel ich Wikipedia und das Skript studiere, ich
> komme nicht drauf, wie das bestimmen der Inversen
> funktioniert - was sie leisten soll, ist klar - aber ich
> steh hier wohl komplett auf dem Schlauch hmmmm

Wie lautet die Verteilungsfunktion zu Deiner Dichte?
Wie lautet die Inverse davon, in den Bereichen in denen streng monoton steigend ist?

LG

gfm

Bezug
                                                
Bezug
Transformation selbst erzeugen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:22 So 19.12.2010
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                                        
Bezug
Transformation selbst erzeugen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:20 Sa 18.12.2010
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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