Transformationsformel < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:08 Do 15.06.2006 | | Autor: | sclossa |
| Aufgabe | | Transformationsformel anhand der Polarkoordinaten |
Transformationsformel lautet:
Sei f: U -> V eine [mm] C^1 [/mm] invertierbare Abbildung zwischen zwei offen Mengen U,V [mm] \subset \IR^n [/mm] und g: V -> [mm] \IC [/mm] eine Funktion. Dann ist g [mm] \in L^1(V)
[/mm]
genau dann wenn g [mm] \circ [/mm] f |det J f(x) | [mm] \in L^1(U) [/mm] ist. In diesem Fall gilt:
[mm] \integral_{V}^{}{g(x) d \lambda} [/mm]
= [mm] \integral_{U}^{}{g \ circ f |det J f(x)| d\lambda}
[/mm]
Polarkoordinaten
[mm] \mathcal{P} [/mm] : [mm] \IR+ [/mm] x [0,2 [mm] \pi] [/mm] -> [mm] \IR^2 [/mm] ,
[mm] \mathcal{P}(r,\delta) [/mm] = [mm] (rcos\delta, rsin\delta)
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{f(x,y) d(x,y)}
[/mm]
= [mm] \integral_{}^{}{f(rcos\delta, rsin\delta) * r d(r,\delta)}
[/mm]
Mein Problem sind die Wahl der Grenzen bei dem unteren Integral. Wie sind die grenzen im allgemeinen Fall? Ich habe hier völlig unterschiedliche Angaben in meinen Aufzeichnung und bin deshalb etwas verunsichert...
Gilt :
[mm] \integral_{A}^{}{f(x,y) d(x,y)}
[/mm]
= [mm] \integral_{ \mathcal{P}^(-1)(A)}^{}{f(rcos\delta, rsin\delta) * r
d(r,\delta)}
[/mm]
oder
die Grenzen andersherum???
Im speziellen Fall gilt ja:
[mm] \integral_{D1(0)}^{}{f(x,y) d(x,y)}
[/mm]
= [mm] \integral_{[0,1]X[0,2 \pi]}^{}{f(rcos\delta, rsin\delta) * r d(r,\delta)}
[/mm]
Irgendwie steh ich auf em Schlauf und komm nicht weiter...
|
|
| |
|
Hallo,
> Transformationsformel anhand der Polarkoordinaten
> Transformationsformel lautet:
> Sei f: U -> V eine [mm]C^1[/mm] invertierbare Abbildung zwischen
> zwei offen Mengen U,V [mm]\subset \IR^n[/mm] und g: V -> [mm]\IC[/mm] eine
> Funktion. Dann ist g [mm]\in L^1(V)[/mm]
> genau dann wenn g [mm]\circ[/mm] f
> |det J f(x) | [mm]\in L^1(U)[/mm] ist. In diesem Fall gilt:
>
> [mm]\integral_{V}^{}{g(x) d \lambda}[/mm]
> = [mm]\integral_{U}^{}{g \ circ f |det J f(x)| d\lambda}[/mm]
>
> Polarkoordinaten
> [mm]\mathcal{P}[/mm] : [mm]\IR+[/mm] x [0,2 [mm]\pi][/mm] -> [mm]\IR^2[/mm] ,
> [mm]\mathcal{P}(r,\delta)[/mm] = [mm](rcos\delta, rsin\delta)[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}{f(x,y) d(x,y)}[/mm]
> =
> [mm]\integral_{}^{}{f(rcos\delta, rsin\delta) * r d(r,\delta)}[/mm]
>
> Mein Problem sind die Wahl der Grenzen bei dem unteren
> Integral. Wie sind die grenzen im allgemeinen Fall? Ich
> habe hier völlig unterschiedliche Angaben in meinen
> Aufzeichnung und bin deshalb etwas verunsichert...
>
> Gilt :
> [mm]\integral_{A}^{}{f(x,y) d(x,y)}[/mm]
> = [mm]\integral_{ \mathcal{P}^(-1)(A)}^{}{f(rcos\delta, rsin\delta) * r
d(r,\delta)}[/mm]
>
Ja, klar. Hast du bspw. ein integral über den kompletten [mm] $\IR^2$, [/mm] so transformiert sich dieses zu einem integral über [mm] $[0,2\pi]\times \IR$.
[/mm]
> oder
>
> die Grenzen andersherum???
>
> Im speziellen Fall gilt ja:
> [mm]\integral_{D1(0)}^{}{f(x,y) d(x,y)}[/mm]
> =
> [mm]\integral_{[0,1]X[0,2 \pi]}^{}{f(rcos\delta, rsin\delta) * r d(r,\delta)}[/mm]
yep.
> Irgendwie steh ich auf em Schlauf und komm nicht weiter...
muss zugeben, dass ich mich auch zuweilen von der transformationsformel verwirren lasse...
VG
Matthias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:11 Do 15.06.2006 | | Autor: | sclossa |
Gilt :
[mm]\integral_{A}^{}{f(x,y) d(x,y)}[/mm]
= [mm]\integral_{ \mathcal{P}^(-1)(A)}^{}{f(rcos\delta, rsin\delta) * r
d(r,\delta)}[/mm]
Ja, aber ist die neue Grenze auch wirklich [mm] \mathcal{P}^{-1}(A)? [/mm] Oder die Umkehrfunktion der zusammengesetzten Funktion? Das ist gerade mein Problem...
im Apezialfall bekommt man ja gerade nicht die Grenze von
[mm] \mathcal{P}^{-1}( \IR) [/mm] = [mm] \IR+ [/mm] X [mm] [0,2\pi] [/mm] sondern [0,1]X[0,2 [mm] \pi]
[/mm]
-> irgendwie klar weil man ja über die Menge D1(0) integriert aber mir ist der Weg hinzu [mm] [0,1]X[0,2\pi] [/mm] nicht wirklich klar und deshalb hab ich auch im allgemeinen Fall so meine Probleme...
Wo mach ich nen Denkfehler???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Sa 17.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
