Transformationsmatrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:37 Di 01.04.2014 | | Autor: | kRAITOS |
| Aufgabe | Gegeben sei der Vektorraum [mm] V_2 [/mm] = { [mm] a_2 x^2 [/mm] + [mm] a_1 [/mm] x + [mm] a_0 [/mm] | [mm] a_2,a_1,a_0 \in \IR [/mm] }
Weiter seien [mm] B_1 [/mm] und [mm] B_2 [/mm] Basen.
[mm] B_1 [/mm] = { [mm] 5x^2 [/mm] - 5x +5, [mm] 5x^2 [/mm] - 3x + 6, [mm] -7x^2 [/mm] + 3x }
[mm] b_2 [/mm] = { [mm] x^2 [/mm] - x -1, [mm] 2x^2 [/mm] - 1, [mm] 4x^2 [/mm] - 2x + 2 }
Berechne die [mm] Transformationsmatrix_{B_1,B_2} [/mm] |
Hallo.
Die Transformationsmatrix ergibt sich aus
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 4| & 5 & 5 & -7 \\ -1 & 0 & -2| & -5 & -3 & 3 \\ -1 & -1 & 2| & 5 & 6 & 0 }. [/mm] Linke Seite wird via Gauß auf Zeilenstufenform gebracht und daraus folgt
T = [mm] \pmat{ 1 & -1 & -1 \\ -2 & -1 & -1 \\ 2 & 2 & -1 }
[/mm]
Meine Frage ist nun, wie kann ich eine Probe machen, ob T auch wirklich die gesuchte Matrix ist?
Vielen Dank schon mal für eure Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:24 Mi 02.04.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
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> Meine Frage ist nun, wie kann ich eine Probe machen, ob T
> auch wirklich die gesuchte Matrix ist?
>
Willst du eine Probe oder einen Beweis ?
Für eine Probe, die dir mögliche Rechenfehler mit hoher Wahrscheinlichkeit anzeigt, genügt es, einen ziemlich zufällig gewählten Test-Vektor einzusetzen.
Nehmen wir mal den Test-Vektor, der bezüglich [mm] B_1 [/mm] die Koordinatendarstellung [mm] \vektor{1 \\ 3 \\ -4} [/mm] hat. Dieser Vektor ist das Polynom [mm] v=1*(5x^2-5x+5)+3*(5x^2-3x+6)-4*(-7x^2+3x)=48x^2-26x+23 [/mm] .
Bezüglich der Basis [mm] B_2 [/mm] bekommt er mit deiner Transformationsmatrix T die Koordinatendarstellung [mm] T*\vektor{1 \\ 3 \\ -4}=\pmat{ 1 & -1 & -1 \\ -2 & -1 & -1 \\ 2 & 2 & -1 }*\vektor{1 \\ 3 \\ -4}=\vektor{2 \\ -1 \\ 12} [/mm] und das ist der Vektor [mm] u=2*(x^2-x+1)-1*(2x^2-1)+12*(4x^2-2x+2)=48x^2-26x+23 [/mm] .
Weil u=v ist, kannst du annehmen, dass T richtig berechnet ist.
Wenn du einen Beweis für die Richtigkeit brauchst, musst du dieses Verfahren für alle Basisvektoren von [mm] B_1 [/mm] durchführen.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:23 Mi 02.04.2014 | | Autor: | kRAITOS |
Vielen Dank für die Antwort. Habe eben mal versucht, dass auch auf eine andere Aufgabe anzuwenden, leider ohne Erfolg.
Gegeben habe ich [mm] B_1 [/mm] = [mm] {\vektor{1 \\ 2}, \vektor{2 \\ 1}} [/mm] und [mm] B_2 [/mm] = [mm] {\vektor{3 \\ 1}, \vektor{1 \\ 3}}
[/mm]
Gesucht ist die [mm] Transformationsmatrix_{B_1, B_2}.
[/mm]
T = [mm] \pmat{ \bruch{3}{8} & \bruch{5}{8} \\ \bruch{5}{8} & \bruch{1}{8} }
[/mm]
Jetzt nehme ich mir einen beliebigen Vektor, der bzgl [mm] B_1 [/mm] Koordinatendarstellung [mm] \vektor{7 \\ 7} [/mm] hat.
Dann ist u = 7* [mm] \vektor{1 \\ 2} [/mm] + 7* [mm] \vektor{2 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{21 \\ 21}
[/mm]
[mm] \pmat{ \bruch{3}{8} & \bruch{5}{8} \\ \bruch{5}{8} & \bruch{1}{8} } *\vektor{7 \\ 7} [/mm] = [mm] \vektor{7 \\ \bruch{21}{4}}
[/mm]
u= 7* [mm] \vektor{3 \\ 1} [/mm] + [mm] \bruch{21}{4} [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 3} [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{105}{4} \\ \bruch{91}{4}}
[/mm]
Wie mache ich hier die Probe?
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Hallo kRAITOS,
> Vielen Dank für die Antwort. Habe eben mal versucht, dass
> auch auf eine andere Aufgabe anzuwenden, leider ohne
> Erfolg.
>
> Gegeben habe ich [mm]B_1[/mm] = [mm]{\vektor{1 \\ 2}, \vektor{2 \\ 1}}[/mm]
> und [mm]B_2[/mm] = [mm]{\vektor{3 \\ 1}, \vektor{1 \\ 3}}[/mm]
>
> Gesucht ist die [mm]Transformationsmatrix_{B_1, B_2}.[/mm]
>
> T = [mm]\pmat{ \bruch{3}{8} & \bruch{5}{8} \\ \bruch{5}{8} & \bruch{1}{8} }[/mm]
>
Die Transformationsmatrix T muss doch so lauten:
[mm]T = \pmat{ \bruch{\blue{1}}{8} & \bruch{5}{8} \\ \bruch{5}{8} & \bruch{1}{8} }[/mm]
Dann ist T*B2=B1.
> Jetzt nehme ich mir einen beliebigen Vektor, der bzgl [mm]B_1[/mm]
> Koordinatendarstellung [mm]\vektor{7 \\ 7}[/mm] hat.
>
> Dann ist u = 7* [mm]\vektor{1 \\ 2}[/mm] + 7* [mm]\vektor{2 \\ 1}[/mm] =
> [mm]\vektor{21 \\ 21}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ \bruch{3}{8} & \bruch{5}{8} \\ \bruch{5}{8} & \bruch{1}{8} } *\vektor{7 \\ 7}[/mm]
> = [mm]\vektor{7 \\ \bruch{21}{4}}[/mm]
>
> u= 7* [mm]\vektor{3 \\ 1}[/mm] + [mm]\bruch{21}{4}[/mm] * [mm]\vektor{1 \\ 3}[/mm] =
> [mm]\vektor{\bruch{105}{4} \\ \bruch{91}{4}}[/mm]
>
>
> Wie mache ich hier die Probe?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 Do 03.04.2014 | | Autor: | kRAITOS |
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> > Vielen Dank für die Antwort. Habe eben mal versucht, dass
> > auch auf eine andere Aufgabe anzuwenden, leider ohne
> > Erfolg.
> >
> > Gegeben habe ich [mm]B_1[/mm] = [mm]{\vektor{1 \\ 2}, \vektor{2 \\ 1}}[/mm]
> > und [mm]B_2[/mm] = [mm]{\vektor{3 \\ 1}, \vektor{1 \\ 3}}[/mm]
> >
> > Gesucht ist die [mm]Transformationsmatrix_{B_1, B_2}.[/mm]
> >
> > T = [mm]\pmat{ \bruch{3}{8} & \bruch{5}{8} \\ \bruch{5}{8} & \bruch{1}{8} }[/mm]
>
> >
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>
> Die Transformationsmatrix T muss doch so lauten:
>
> [mm]T = \pmat{ \bruch{\blue{1}}{8} & \bruch{5}{8} \\ \bruch{5}{8} & \bruch{1}{8} }[/mm]
>
> Dann ist T*B2=B1.
Ist das denn allgemeingültig? Habe gerade eine andere Transformationsmatrix vor mir, wo das nicht gilt...
> Jetzt nehme ich mir einen beliebigen Vektor, der bzgl [mm]B_1[/mm]
> > Koordinatendarstellung [mm]\vektor{7 \\ 7}[/mm] hat.
> >
> > Dann ist u = 7* [mm]\vektor{1 \\ 2}[/mm] + 7* [mm]\vektor{2 \\ 1}[/mm] =
> > [mm]\vektor{21 \\ 21}[/mm]
> >
> > [mm]\pmat{ \bruch{3}{8} & \bruch{5}{8} \\ \bruch{5}{8} & \bruch{1}{8} } *\vektor{7 \\ 7}[/mm]
> > = [mm]\vektor{7 \\ \bruch{21}{4}}[/mm]
> >
> > u= 7* [mm]\vektor{3 \\ 1}[/mm] + [mm]\bruch{21}{4}[/mm] * [mm]\vektor{1 \\ 3}[/mm] =
> > [mm]\vektor{\bruch{105}{4} \\ \bruch{91}{4}}[/mm]
> >
> >
> > Wie mache ich hier die Probe?
>
>
> Gruss
> MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:54 Fr 04.04.2014 | | Autor: | hippias |
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> >
> > > Vielen Dank für die Antwort. Habe eben mal versucht, dass
> > > auch auf eine andere Aufgabe anzuwenden, leider ohne
> > > Erfolg.
> > >
> > > Gegeben habe ich [mm]B_1[/mm] = [mm]{\vektor{1 \\ 2}, \vektor{2 \\ 1}}[/mm]
> > > und [mm]B_2[/mm] = [mm]{\vektor{3 \\ 1}, \vektor{1 \\ 3}}[/mm]
> > >
> > > Gesucht ist die [mm]Transformationsmatrix_{B_1, B_2}.[/mm]
> > >
>
> > > T = [mm]\pmat{ \bruch{3}{8} & \bruch{5}{8} \\ \bruch{5}{8} & \bruch{1}{8} }[/mm]
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> >
> > >
> >
> >
> > Die Transformationsmatrix T muss doch so lauten:
> >
> > [mm]T = \pmat{ \bruch{\blue{1}}{8} & \bruch{5}{8} \\ \bruch{5}{8} & \bruch{1}{8} }[/mm]
>
> >
> > Dann ist T*B2=B1.
>
> Ist das denn allgemeingültig? Habe gerade eine andere
> Transformationsmatrix vor mir, wo das nicht gilt...
Ja, das ist genau die Definition der Basistransformation. Und so sollstest Du auch $T$ bestimmen: indem Du die eine Basis mit Hilfe der anderen darstellst.
>
>
>
> > Jetzt nehme ich mir einen beliebigen Vektor, der bzgl [mm]B_1[/mm]
> > > Koordinatendarstellung [mm]\vektor{7 \\ 7}[/mm] hat.
> > >
> > > Dann ist u = 7* [mm]\vektor{1 \\ 2}[/mm] + 7* [mm]\vektor{2 \\ 1}[/mm] =
> > > [mm]\vektor{21 \\ 21}[/mm]
> > >
> > > [mm]\pmat{ \bruch{3}{8} & \bruch{5}{8} \\ \bruch{5}{8} & \bruch{1}{8} } *\vektor{7 \\ 7}[/mm]
> > > = [mm]\vektor{7 \\ \bruch{21}{4}}[/mm]
> > >
> > > u= 7* [mm]\vektor{3 \\ 1}[/mm] + [mm]\bruch{21}{4}[/mm] * [mm]\vektor{1 \\ 3}[/mm] =
> > > [mm]\vektor{\bruch{105}{4} \\ \bruch{91}{4}}[/mm]
> > >
> > >
> > > Wie mache ich hier die Probe?
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:30 Fr 04.04.2014 | | Autor: | kRAITOS |
> > > Dann ist T*B2=B1.
> >
> > Ist das denn allgemeingültig? Habe gerade eine andere
> > Transformationsmatrix vor mir, wo das nicht gilt...
> Ja, das ist genau die Definition der Basistransformation.
> Und so sollstest Du auch [mm]T[/mm] bestimmen: indem Du die eine
> Basis mit Hilfe der anderen darstellst.
>
Wieso geht das dann hier nicht?
A = [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 2}, \vektor{2 \\ 3 \\ 7}, \vektor{2 \\ 3 \\ 6}
[/mm]
B = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 2}, \vektor{-1 \\ 3 \\ 3}, \vektor{-2 \\ 7 \\ 6}
[/mm]
[mm] T_{A,B} [/mm] berechnen mit Gauß: (B|A) und B auf I bringen, A wird dann zu [mm] T_{A,B}.
[/mm]
[mm] T_{A,B} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & \bruch{13}{5} & \bruch{12}{5} \\ 6 & \bruch{43}{5} & \bruch{32}{5} \\ -3 & -4 & -3 }
[/mm]
Wenn ich nun rechne
[mm] \pmat{ 1 & \bruch{13}{5} & \bruch{12}{5} \\ 6 & \bruch{43}{5} & \bruch{32}{5} \\ -3 & -4 & -3 } [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 2} [/mm] sieht man, dass das Ergebnis ungleich dem ersten Vektor aus Basis A ist...
Wo ist mein Fehler?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:50 Fr 04.04.2014 | | Autor: | hippias |
Probier's mal mit der transponierten Matrix...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Fr 04.04.2014 | | Autor: | kRAITOS |
Wenn ich T und B transponiere, dann kommt A raus.
Wieso aber musste ich bei der ersten Aufgabe nicht transponieren, um die Probe zu erhalten?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:29 Fr 04.04.2014 | | Autor: | hippias |
Ich habe einen Fehler gemacht (und habe ich deine Zahlen nicht ueberprueft). Die erste Spalte der Matrix $(1, [mm] 6,-3)^{t}$ [/mm] sagt dir, dass [mm] $1\cdot(1,2,2)^{t}+ 6\cdot(-1,3,3)^{t}-3\cdot(-2,7,6)^{t}= (1,-1,2)^{t}$ [/mm] ist. Fuer die restlichen Spalten analog.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:51 Fr 04.04.2014 | | Autor: | kRAITOS |
> Ich habe einen Fehler gemacht (und habe ich deine Zahlen
> nicht ueberprueft). Die erste Spalte der Matrix [mm](1, 6,-3)^{t}[/mm]
> sagt dir, dass [mm]1\cdot(1,2,2)^{t}+ 6\cdot(-1,3,3)^{t}-3\cdot(-2,7,6)^{t}= (1,-1,2)^{t}[/mm]
> ist. Fuer die restlichen Spalten analog.
Das klappt bei mir.
Jedenfalls bei dieser Aufgabe. Bei dieser hier widerrum nicht...
A = [mm] \vektor{3 \\ 1}, \vektor{0 \\ 2}, [/mm] B = [mm] \vektor{-3 \\ 7}, \vektor{6 \\ -2}
[/mm]
[mm] T_{A,B} [/mm] = [mm] \pmat{ \bruch{1}{3} & \bruch{1}{3} \\ \bruch{2}{3} & \bruch{1}{6} }
[/mm]
[mm] \bruch{1}{3}*\vektor{-3 \\ 6} +\bruch{1}{3}*\vektor{7 \\ -2} [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{4}{3} \\ \bruch{4}{3}}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:11 Fr 04.04.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Wieso geht das dann hier nicht?
> A = $ [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 2}, \vektor{2 \\ 3 \\ 7}, \vektor{2 \\ 3 \\ 6} [/mm] $
> B = $ [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 2}, \vektor{-1 \\ 3 \\ 3}, \vektor{-2 \\ 7 \\ 6} [/mm] $
> $ [mm] T_{A,B} [/mm] $ berechnen mit Gauß: (B|A) und B auf I bringen, A wird dann zu $ [mm] T_{A,B}. [/mm] $
> $ [mm] T_{A,B} [/mm] $ = $ [mm] \pmat{ 1 & \bruch{13}{5} & \bruch{12}{5} \\ 6 & \bruch{43}{5} & \bruch{32}{5} \\ -3 & -4 & -3 } [/mm] $
> Wenn ich nun rechne
> $ [mm] \pmat{ 1 & \bruch{13}{5} & \bruch{12}{5} \\ 6 & \bruch{43}{5} & \bruch{32}{5} \\ -3 & -4 & -3 } [/mm] $ * $ [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 2} [/mm] $
> sieht man, dass das Ergebnis ungleich dem ersten Vektor
> aus Basis A ist...
> Wo ist mein Fehler?
Dein Fehler liegt darin, dass du den Unterschied zwischen einem Vektor und seiner Koordinatendarstellung nicht verstanden hast.
Das ist zugegebenermaßen auch schwierig, wenn die Vektoren Spaltenvektoren mit drei Einträgen sind und ihre Koordinatendarstellung bezüglich einer Basis genauso geschrieben wird.
Mit dem Vektorraum der Polynome von höchstens zweitem Grad aus deinem ersten Beitrag hatten wir es da entschieden einfacher.
Lass uns im Sinne einer besseren Klarheit und um Verwechslungen zu vermeiden folgende Schreibweisen verwenden :
Zugrunde liegt der Vektorraum V der spaltenweise geschriebenen Zahlentripel. Ein Vektor V ist also etwas von der Form $ [mm] v=\vektor{v_x \\ v_y \\ v_z}. [/mm] $
Eine Basis $ [mm] \mathcal{A}=(a_1,a_2,a_3) [/mm] $ des Vektorraumes besteht aus drei solchen Zahlentripeln (z.B. ist $ [mm] a_2=\vektor{a_{2x} \\ a_{2y} \\ a_{2z}}) [/mm] $ und bezüglich dieser Basis hat v die Koordinatendarstellung $ [mm] v=\vektor{i \\ j \\ k}_A [/mm] $ , was bedeutet, dass $ [mm] v=i\cdot{}a_1+j\cdot{}a_2+k\cdot{}a_3 [/mm] $ ist.
Bezüglich einer weiteren Basis $ [mm] \mathcal{B}=(b_1,b_2,b_3) [/mm] $ hat v die Koordinatendarstellung $ [mm] v=\vektor{p \\ q \\ r}_B [/mm] $ , also $ [mm] v=p\cdot{}b_1+q\cdot{}b_2+r\cdot{}b_3 [/mm] $ (z.B. ist $ [mm] b_3=\vektor{0 \\ 0 \\ 1}_B [/mm] $ , und zwar unabhängig davon, welches Zahlentripel $ [mm] b_3 [/mm] $ tatsächlich ist).
Die Basistransformationsmatrix $ [mm] T_{A,B} [/mm] $ soll nun die Koordinaten $ [mm] \vektor{i \\ j \\ k}_A [/mm] $ von v bezüglich der Basis $ [mm] \mathcal{A} [/mm] $ berechnen, wenn die Koordinaten $ [mm] \vektor{p \\ q \\ r}_B [/mm] $ von v bezüglich der Basis $ [mm] \mathcal{B} [/mm] $ gegeben sind.
Und zwar soll sie das tun, indem wir einfach die Matrizenmultiplikation [mm] T_{A,B}*\vektor{p \\ q \\ r}_B=\vektor{i \\ j \\ k}_A [/mm] ausführen.
Mit anderen Worten : Bei gegebenen p,q,r sind i,j,k gesucht, so dass $ [mm] i\cdot{}a_1+j\cdot{}a_2+k\cdot{}a_3 =p\cdot{}b_1+q\cdot{}b_2+r\cdot{}b_3 [/mm] $ ist.
Für dein Beispiel bedeutet das Folgendes :
Gesucht sind i,j,k, so dass [mm] i*\vektor{1 \\ -1 \\ 2}+j*\vektor{2 \\ 3 \\ 7}+k*\vektor{2 \\ 3 \\ 6}= p*\vektor{1 \\ 2 \\ 2}+q*\vektor{-1 \\ 3 \\ 3}+r*\vektor{-2 \\ 7 \\ 6} [/mm] wird.
In Matrizenform lässt sich das folgendermaßen schreiben :
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 2 \\ -1 & 3 & 3 \\ 2 & 7 & 6 }*\vektor{i \\ j \\ k}=\pmat{ 1 & -1 & -2 \\ 2 & 3 & 7 \\ 2 & 3 & 6 }*\vektor{p \\ q \\ r} [/mm] oder noch kürzer wenn wir die beiden hier vorkommenden Matrizen mit A und B abkürzen : [mm] A*\vektor{i \\ j \\ k}=B*\vektor{p \\ q \\ r}
[/mm]
Multiplikation dieser Gleichung mit [mm] A^{-1} [/mm] von links liefert [mm] \vektor{i \\ j \\ k}_A=A^{-1}*B*\vektor{p \\ q \\ r}_B [/mm] also das Ergebnis [mm] T_{A,B}=A^{-1}*B
[/mm]
Für dein Beispiel ergibt sich nun weiter [mm] A^{-1}=\pmat{ 0,6 & -0,4 & 0 \\ -2,4 & -0,4 & 1 \\ 2,6 & 0,6 & -1 } [/mm] und daraus schließlich [mm] T_{A,B}=A^{-1}*B=\pmat{ -0,2 & -1,8 & -4 \\ -1,2 & 4,2 & 8 \\ 1,8 & -3,8 & -7 }
[/mm]
Wenn du diese Matrix mit [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 2} [/mm] multiplizierst, erhälst du [mm] \vektor{-11,8 \\ 23,2 \\ -19,8} [/mm] und hast das wie folgt zu interpretieren :
Ein Vektor v hat bezüglich [mm] \mathcal{B} [/mm] die Koordinaten [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 2}_B. [/mm] Dies ist der Vektor [mm] v=1*\vektor{1 \\ 2 \\ 2}+2*\vektor{-1 \\ 3 \\ 3}+2*\vektor{-2 \\ 7 \\ 6}=\vektor{-5 \\ 22 \\ 20}. [/mm]
Bezüglich [mm] \mathcal{A} [/mm] ergeben sich die Koordinaten [mm] \vektor{-11,8 \\ 23,2 \\ -19,8}_A [/mm] und tatsächlich ist [mm] -11,8*\vektor{1 \\ -1 \\ 2}+23,2*\vektor{2 \\ 3 \\ 7}-19,8*\vektor{2 \\ 3 \\ 6}=\vektor{-5 \\ 22 \\ 20} [/mm] , also genau derselbe Vektor v.
Die oben eingeführten Matrizen A und B sind selbst Basiswechselmatrizen nämlich zwischen den Basen [mm] \mathcal{A} [/mm] und [mm] \mathcal{B} [/mm] einerseits und der kanonischen Basis [mm] \mathcal{E}=(e_1,e_2,e_3) [/mm] (beachte : [mm] e_2=\vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] ist keine Koordinatendarstellung, sondern der Vektor selbst) andererseits gemäß der Gleichung [mm] B*\vektor{p \\ q \\ r}_B=\vektor{v_x \\ v_y \\ v_z}_E [/mm] bzw. [mm] A^{-1}*\vektor{v_x \\ v_y \\ v_z}_E=\vektor{i \\ j \\ k}_A [/mm] , also [mm] T_{E,B}=B [/mm] und [mm] T_{A,E}=A^{-1}
[/mm]
Gruß Sax.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 Sa 05.04.2014 | | Autor: | kRAITOS |
Vielen Dank für die ausführliche Antwort. Wirklich vielen Dank. :)
2 Fragen habe ich aber noch:
Ich habe gelernt, dass man [mm] T_{A,B} [/mm] wie folgt berechnet:
Man schreibt B und A nebeneinander und bringt B in normierte Zeilenstufenform. Dann wird A zu [mm] T_{A,B}.
[/mm]
Du widerrum hast [mm] A^{-1}*B [/mm] gerechnet. Und wir haben beide unterschiedliche Matrizen als Ergebnis rausbekommen...
Meine lautet [mm] T_{A,B} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & \bruch{13}{5} & \bruch{12}{5} \\ 6 & \bruch{43}{5} & \bruch{32}{5} \\ -3 & -4 & -3 } [/mm] und deine [mm] T_{A,B} [/mm] = [mm] \pmat{ -0,2 & -1,8 & -4 \\ -1,2 & 4,2 & 8 \\ 1,8 & -3,8 & -7 }
[/mm]
Habe meine mehrmals überprüft und nun stellt sich mir die Frage, wieso wir beide unterschiedliche Basiswechselmatrizen haben.
Die zweite Frage bezieht sich auf deine Berechnung.
Bei dir ist A:= [mm] T_{E,A}, A^{-1}:= T_{A,E} [/mm] und B:= [mm] T_{E,B}
[/mm]
Du rechnest nun [mm] A^{-1}*B [/mm] = [mm] T_{A,B}
[/mm]
Das heißt in Definition geschrieben:
[mm] T_{A,E} [/mm] * [mm] T_{E,B} [/mm] = [mm] T_{A,B}
[/mm]
Für mich wäre hier das Ergebnis [mm] T_{E,E}. [/mm] Würde man rechnen [mm] T_{E,B} [/mm] * [mm] T_{A,E} [/mm] wäre mein Ergebnis [mm] T_{A,B}.
[/mm]
Hast du da was falsch aufgeschrieben oder habe ich mir etwas falsch abgeschrieben?
LG und nochmal vielen Dank.
> Hi,
>
> > Wieso geht das dann hier nicht?
>
> > A = [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ 2}, \vektor{2 \\ 3 \\ 7}, \vektor{2 \\ 3 \\ 6}[/mm]
>
> > B = [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 2}, \vektor{-1 \\ 3 \\ 3}, \vektor{-2 \\ 7 \\ 6}[/mm]
>
> > [mm]T_{A,B}[/mm] berechnen mit Gauß: (B|A) und B auf I bringen, A
> wird dann zu [mm]T_{A,B}.[/mm]
>
> > [mm]T_{A,B}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & \bruch{13}{5} & \bruch{12}{5} \\ 6 & \bruch{43}{5} & \bruch{32}{5} \\ -3 & -4 & -3 }[/mm]
>
> > Wenn ich nun rechne
>
> > [mm]\pmat{ 1 & \bruch{13}{5} & \bruch{12}{5} \\ 6 & \bruch{43}{5} & \bruch{32}{5} \\ -3 & -4 & -3 }[/mm]
> * [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 2}[/mm]
> > sieht man, dass das Ergebnis
> ungleich dem ersten Vektor
> > aus Basis A ist...
>
> > Wo ist mein Fehler?
>
> Dein Fehler liegt darin, dass du den Unterschied zwischen
> einem Vektor und seiner Koordinatendarstellung nicht
> verstanden hast.
> Das ist zugegebenermaßen auch schwierig, wenn die
> Vektoren Spaltenvektoren mit drei Einträgen sind und ihre
> Koordinatendarstellung bezüglich einer Basis genauso
> geschrieben wird.
> Mit dem Vektorraum der Polynome von höchstens zweitem
> Grad aus deinem ersten Beitrag hatten wir es da entschieden
> einfacher.
>
> Lass uns im Sinne einer besseren Klarheit und um
> Verwechslungen zu vermeiden folgende Schreibweisen
> verwenden :
> Zugrunde liegt der Vektorraum V der spaltenweise
> geschriebenen Zahlentripel. Ein Vektor V ist also etwas von
> der Form [mm]v=\vektor{v_x \\ v_y \\ v_z}.[/mm]
> Eine Basis
> [mm]\mathcal{A}=(a_1,a_2,a_3)[/mm] des Vektorraumes besteht aus drei
> solchen Zahlentripeln (z.B. ist [mm]a_2=\vektor{a_{2x} \\ a_{2y} \\ a_{2z}})[/mm]
> und bezüglich dieser Basis hat v die
> Koordinatendarstellung [mm]v=\vektor{i \\ j \\ k}_A[/mm] , was
> bedeutet, dass [mm]v=i\cdot{}a_1+j\cdot{}a_2+k\cdot{}a_3[/mm] ist.
> Bezüglich einer weiteren Basis [mm]\mathcal{B}=(b_1,b_2,b_3)[/mm]
> hat v die Koordinatendarstellung [mm]v=\vektor{p \\ q \\ r}_B[/mm]
> , also [mm]v=p\cdot{}b_1+q\cdot{}b_2+r\cdot{}b_3[/mm] (z.B. ist
> [mm]b_3=\vektor{0 \\ 0 \\ 1}_B[/mm] , und zwar unabhängig davon,
> welches Zahlentripel [mm]b_3[/mm] tatsächlich ist).
>
> Die Basistransformationsmatrix [mm]T_{A,B}[/mm] soll nun die
> Koordinaten [mm]\vektor{i \\ j \\ k}_A[/mm] von v bezüglich der
> Basis [mm]\mathcal{A}[/mm] berechnen, wenn die Koordinaten [mm]\vektor{p \\ q \\ r}_B[/mm]
> von v bezüglich der Basis [mm]\mathcal{B}[/mm] gegeben sind.
> Und zwar soll sie das tun, indem wir einfach die
> Matrizenmultiplikation [mm]T_{A,B}*\vektor{p \\ q \\ r}_B=\vektor{i \\ j \\ k}_A[/mm]
> ausführen.
>
> Mit anderen Worten : Bei gegebenen p,q,r sind i,j,k
> gesucht, so dass [mm]i\cdot{}a_1+j\cdot{}a_2+k\cdot{}a_3 =p\cdot{}b_1+q\cdot{}b_2+r\cdot{}b_3[/mm]
> ist.
>
>
> Für dein Beispiel bedeutet das Folgendes :
> Gesucht sind i,j,k, so dass [mm]i*\vektor{1 \\ -1 \\ 2}+j*\vektor{2 \\ 3 \\ 7}+k*\vektor{2 \\ 3 \\ 6}= p*\vektor{1 \\ 2 \\ 2}+q*\vektor{-1 \\ 3 \\ 3}+r*\vektor{-2 \\ 7 \\ 6}[/mm]
> wird.
> In Matrizenform lässt sich das folgendermaßen schreiben
> :
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 2 \\ -1 & 3 & 3 \\ 2 & 7 & 6 }*\vektor{i \\ j \\ k}=\pmat{ 1 & -1 & -2 \\ 2 & 3 & 7 \\ 2 & 3 & 6 }*\vektor{p \\ q \\ r}[/mm]
> oder noch kürzer wenn wir die beiden hier vorkommenden
> Matrizen mit A und B abkürzen : [mm]A*\vektor{i \\ j \\ k}=B*\vektor{p \\ q \\ r}[/mm]
>
> Multiplikation dieser Gleichung mit [mm]A^{-1}[/mm] von links
> liefert [mm]\vektor{i \\ j \\ k}_A=A^{-1}*B*\vektor{p \\ q \\ r}_B[/mm]
> also das Ergebnis [mm]T_{A,B}=A^{-1}*B[/mm]
>
> Für dein Beispiel ergibt sich nun weiter [mm]A^{-1}=\pmat{ 0,6 & -0,4 & 0 \\ -2,4 & -0,4 & 1 \\ 2,6 & 0,6 & -1 }[/mm]
> und daraus schließlich [mm]T_{A,B}=A^{-1}*B=\pmat{ -0,2 & -1,8 & -4 \\ -1,2 & 4,2 & 8 \\ 1,8 & -3,8 & -7 }[/mm]
>
> Wenn du diese Matrix mit [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 2}[/mm]
> multiplizierst, erhälst du [mm]\vektor{-11,8 \\ 23,2 \\ -19,8}[/mm]
> und hast das wie folgt zu interpretieren :
> Ein Vektor v hat bezüglich [mm]\mathcal{B}[/mm] die Koordinaten
> [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 2}_B.[/mm] Dies ist der Vektor [mm]v=1*\vektor{1 \\ 2 \\ 2}+2*\vektor{-1 \\ 3 \\ 3}+2*\vektor{-2 \\ 7 \\ 6}=\vektor{-5 \\ 22 \\ 20}.[/mm]
> Bezüglich [mm]\mathcal{A}[/mm] ergeben sich die Koordinaten
> [mm]\vektor{-11,8 \\ 23,2 \\ -19,8}_A[/mm] und tatsächlich ist
> [mm]-11,8*\vektor{1 \\ -1 \\ 2}+23,2*\vektor{2 \\ 3 \\ 7}-19,8*\vektor{2 \\ 3 \\ 6}=\vektor{-5 \\ 22 \\ 20}[/mm]
> , also genau derselbe Vektor v.
>
> Die oben eingeführten Matrizen A und B sind selbst
> Basiswechselmatrizen nämlich zwischen den Basen
> [mm]\mathcal{A}[/mm] und [mm]\mathcal{B}[/mm] einerseits und der kanonischen
> Basis [mm]\mathcal{E}=(e_1,e_2,e_3)[/mm] (beachte : [mm]e_2=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> ist keine Koordinatendarstellung, sondern der Vektor
> selbst) andererseits gemäß der Gleichung [mm]B*\vektor{p \\ q \\ r}_B=\vektor{v_x \\ v_y \\ v_z}_E[/mm]
> bzw. [mm]A^{-1}*\vektor{v_x \\ v_y \\ v_z}_E=\vektor{i \\ j \\ k}_A[/mm]
> , also [mm]T_{E,B}=B[/mm] und [mm]T_{A,E}=A^{-1}[/mm]
>
> Gruß Sax.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:25 Sa 05.04.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Vielen Dank für die ausführliche Antwort. Wirklich vielen
> Dank. :)
>
> 2 Fragen habe ich aber noch:
>
> Ich habe gelernt, dass man [mm]T_{A,B}[/mm] wie folgt berechnet:
>
> Man schreibt B und A nebeneinander
ich persönlich hasse diese Unsitte, gleiche Buchstaben für völlig unterschiedliche Dinge zu benutzen.
In deinem obigen Beitrag bezeichnen A und B Basen des Vektorraumes. Jetzt sollen es wohl Matrizen sein. Die Spalten-Tripel nebeneinander zu schreiben mag noch gehen, aber was machst du, wenn die Basis-)Vektoren zeilenweise geschriebene Tripel sind, oder Polynome oder ...
> und bringt B in
> normierte Zeilenstufenform. Dann wird A zu [mm]T_{A,B}.[/mm]
>
viel (!!) wichtiger ist es, zu wissen, warum man etwas so rechnet und was man eigentlich herausbekommt, wenn man etwas so rechnet.
> Du widerrum hast [mm]A^{-1}*B[/mm] gerechnet. Und wir haben beide
> unterschiedliche Matrizen als Ergebnis rausbekommen...
>
>
> Meine lautet [mm]T_{A,B}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & \bruch{13}{5} & \bruch{12}{5} \\ 6 & \bruch{43}{5} & \bruch{32}{5} \\ -3 & -4 & -3 }[/mm]
> und deine [mm]T_{A,B}[/mm] = [mm]\pmat{ -0,2 & -1,8 & -4 \\ -1,2 & 4,2 & 8 \\ 1,8 & -3,8 & -7 }[/mm]
>
> Habe meine mehrmals überprüft und nun stellt sich mir die
> Frage, wieso wir beide unterschiedliche
> Basiswechselmatrizen haben.
>
>
Der Grund ist einfach der, dass ich aus deinem letzten Beitrag geschlossen hatte, dass du den Wechsel von B-Koordinaten zu A-Koordinaten berechnen wolltest (Zitat : "Wenn ich nun rechne
$ [mm] \pmat{ 1 & \bruch{13}{5} & \bruch{12}{5} \\ 6 & \bruch{43}{5} & \bruch{32}{5} \\ -3 & -4 & -3 } [/mm] $ * $ [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 2} [/mm] $ sieht man, dass das Ergebnis ungleich dem ersten Vektor aus Basis A ist... ").
Darauf hatte ich meine Antwort aufgebaut und genau das leistet die von mir angegebene Matrix, ich hatte das ja ausführlich dargelegt.
Deine Matrix ist für genau den umgekehrten Basiswechsel zuständig, die beiden Matrizen sind Inverse zueinander.
Das sollte auch deine zweite Frage beantworten.
>
> Die zweite Frage bezieht sich auf deine Berechnung.
>
> Bei dir ist A:= [mm]T_{E,A}, A^{-1}:= T_{A,E}[/mm] und B:= [mm]T_{E,B}[/mm]
>
> Du rechnest nun [mm]A^{-1}*B[/mm] = [mm]T_{A,B}[/mm]
>
> Das heißt in Definition geschrieben:
>
> [mm]T_{A,E}[/mm] * [mm]T_{E,B}[/mm] = [mm]T_{A,B}[/mm]
>
>
> Für mich wäre hier das Ergebnis [mm]T_{E,E}.[/mm] Würde man
> rechnen [mm]T_{E,B}[/mm] * [mm]T_{A,E}[/mm] wäre mein Ergebnis [mm]T_{A,B}.[/mm]
>
>
> Hast du da was falsch aufgeschrieben oder habe ich mir
> etwas falsch abgeschrieben?
>
>
> LG und nochmal vielen Dank.
Gruß Sax.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:40 Sa 05.04.2014 | | Autor: | kRAITOS |
Damit sind alle Fragen geklärt. Super. Danke vielmals. :)
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