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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:26 So 10.06.2007 | | Autor: | ydox |
| Aufgabe | Gegeben seien Die Koordinatensysteme (Basen)
[mm] F=\{f_{1},f_{2}\}=\{\vektor{1 \\ 1},\vektor{-1 \\ 1}\},
[/mm]
[mm] G=\{g_{1},g_{2}\}=\{\vektor{0 \\ 1},\vektor{-1 \\ 0}\},
[/mm]
Wie lässt sich die Koordinatentransformation G [mm] \mapsto [/mm] F in Matrixform darstellen? |
Hallo,
also die obige Aufgabe macht mir Probleme. Gefragt wird nach der Transformationsmatrix beim Basiswechsel.
Mein Problem besteht darin, dass ich mit Hilfe von
![[]](/images/popup.gif) Link1 sowie Link2 stets die Inverse Transformationsmatrix ausrechne.
Meine Rechnung:
[mm] f_{i}=\summe_{j=1}^{n}a_{ji}g_{j}
[/mm]
führt zu:
[mm] \vektor{1 \\ 1}=a_{11}\vektor{0 \\ 1}+a_{21}\vektor{-1 \\ 0}
[/mm]
[mm] \vektor{-1 \\ 1}=a_{12}\vektor{0 \\ 1}+a_{22}\vektor{-1 \\ 0}
[/mm]
[mm] \Rightarrow a_{11}=1, a_{21}=-1, a_{12}=1, a_{22}=1
[/mm]
In die Matrix eingesetzt ergibt dies [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 1 }.
[/mm]
Tja, und laut Musterlösung ist dies die inverse Tranformationsmatrix. Die gesuchte Transformationsmatrix ist [mm] \pmat{ 0.5 & -0.5 \\ 0.5 & 0.5 }.
[/mm]
Komischerweise erhalte ich die gesuchte Transformationsmatrix mit dem Ansatz:
[mm] g_{i}=\summe_{j=1}^{n}a_{ji}f_{j}.
[/mm]
Mit [mm] f_{i}=\summe_{j=1}^{n}a_{ji}g_{j} [/mm] kann ich ja, sofern die Transformationsmatrix bekannt ist, einen Vektor von Basis G in Basis F umrechnen. Wieso kann ich diesen Ansatz nicht ebenso für die Berechnung der Transformationsmatrix anwenden?
Ich erkennen meinen Fehler nicht.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mfg, ydox
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> Gegeben seien Die Koordinatensysteme (Basen)
> [mm]F=\{f_{1},f_{2}\}=\{\vektor{1 \\ 1},\vektor{-1 \\ 1}\},[/mm]
>
> [mm]G=\{g_{1},g_{2}\}=\{\vektor{0 \\ 1},\vektor{-1 \\ 0}\},[/mm]
>
> Wie lässt sich die Koordinatentransformation G [mm]\mapsto[/mm] F in
> Matrixform darstellen?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich kenne dieses Problem zur Genüge. Die Verwirrung wird dadurch gesteigert, daß es für diese Basisgeschichten keine einheitliche Schreibweise gibt.
Ich bin dazu übergegangen, mir keinerlei Formel mehr diesbezüglich zu merken, sondern ich sage mir vor jeder Basistransformation in Worten auf, was ich erreichen möchte.
Seitdem kann ich's.
> Wie lässt sich die Koordinatentransformation G [mm]\mapsto[/mm] F in
> Matrixform darstellen?
Was möchte ich durch solch eine Koordinatentransformation erreichen?
Ich möchte Vektoren, die ich in ihrer Darstellung bzgl. G vorliegen habe, umwandeln. Der Vektor soll derselbe bleiben, aber er soll im Ergebnis bzgl. F dargestellt sein.
Zu einem vorgegebenen Vektor [mm] \vektor{a \\ b}_G=ag_1+bg_2 [/mm] suche ich also x und y so, daß [mm] \vektor{a \\ b}_G=\vektor{x \\ y}_F=xf_1+y_f2 [/mm] ist.
Ich weiß, daß diese Transformation eine lineare Abbildung ist.
Also kann ich mich darauf beschränken, die Basisvektoren von G in Koordinaten bzgl. F darzustellen.
Und dann beginne ich.
Zuerst kommt [mm] g_1. [/mm]
Ich will [mm] g_1 [/mm] schreiben als [mm] g_1=x_1f_1+y_1f_2.
[/mm]
[mm] \bruch{x_1}{y_1} [/mm] liefert dann die erste Spalte der Transformationsmatrix.
(Dem, was Du schreibst, entnehme ich, daß ich Dir das nicht vorrechnen muß.)
Als nächstes dasselbe in Grün mit [mm] g_2.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:42 Mo 11.06.2007 | | Autor: | ydox |
Hallo Angela,
danke für die Antwort.
Wie du sagtest, versucht die Basis durch Linearkombination der anderen Basis darzustellen. Die Koeffizienten bilden dann die Zeilen der Transformationsmatrix.
Ich denke, dass ich im ersten Post einen Denkfehler hatte. Ich muss über alles nochmal nachdenken. Wenn ich danach noch Fragen habe, stelle ich sie hier rein.
Gruss, ydox
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