Transformationsmatrix < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben sind zwei Basen des Vektorraums [mm] V:=\IR_{\le2}[x]
[/mm]
[mm] B_{1}:={2x^{2}+4x+6, 4x+4, x-1}, B_{2}:={x^{2}+1, x+1, x-1}
[/mm]
sowie die darstellende Matrix der linearen Abbildung [mm] L:V\toV [/mm] bzgl. [mm] B_{1} [/mm] durch
[mm] L_{B_{1}}:=\pmat{\frac{3}{2} & -2 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0}.
[/mm]
(a) Bestimmen sie die Transformationsmatrix beim Basiswechsel von [mm] B_{1} [/mm] nach [mm] B_{2}, [/mm] indem Sie die Koordinatenabbildung [mm] K_{B_{2}} [/mm] von V bzgl. [mm] B_{²} [/mm] sowie die Inverse [mm] K^{-1}_{B_{1}} [/mm] zu der Koordinatenabbildung von V bzgl. [mm] B_{1} [/mm] zuerst bestimmen.
(b)Bestimmen Sie [mm] L_{B_{2}}.
[/mm]
(c)Bestimmen Sie [mm] L(ax^{2}+bx+c). [/mm] |
Hallo, ich hab ein ganz großes Problem mit der Aufgabenstellung. Sitze auch fast schon 3 Stunden drüber ohne nur ein Schritt weitergekommen zu sein.
(a)So wie ich das verstehe muss ich von [mm] \IR^{3,3} [/mm] in [mm] \IR_{\le2}[x] [/mm] und anschliessend wieder zur [mm] \IR^{3,3}. [/mm]
Und [mm] L_{B_{1}} [/mm] müsste [mm] K_{B_{1}}\circ B_{1}(L) [/mm] sein, oder? Dann ist [mm] L_{B_{2}} [/mm] sowas wie [mm] K_{B_{1}}\circ K^{-1}_{B_{1}}\circ L_{B_{1}}? [/mm] Aber wie komme ich dahin? Ich finde ja für [mm] K^{-1}_{B_{1}} [/mm] schon keinen Ansatz...
(b) und (c) sollten sich eventuell ergeben, so bald (a) verstanden wurde.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:05 Do 10.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum der Polynomraum der polynome vom Grad [mm] \le2 [/mm] als $ [mm] V:=\IR_{\le2}[x] [/mm] $ so komisch bezeichnet wird weiss ich nicht. du hast doch nur die 3 Basisvektoren von [mm] B_2 [/mm] b1'b2'b3' durch die von B1 , b1,b2,b3 darzustellen wobei schon b3'=b3 b2'=0.25b2 und du nur noch b1' ausrechnen musst.
Dann ganz normal mit den Basen umgehen wie im [mm] R^3
[/mm]
ich versteh nicht was du mit dem hin und her meinst.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:20 Do 10.06.2010 | | Autor: | Beowulf1980 |
Kannst du das noch näher erläutern? Ich kann dir nicht folgen :/
Ich muss doch irgendwas mit einem Koordinatenvektor machen, oder?
|
|
|
| |
|
> Gegeben sind zwei Basen des Vektorraums [mm]V:=\IR_{\le2}[x][/mm]
>
> [mm]B_{1}:=\{2x^{2}+4x+6, 4x+4, x-1\}, B_{2}:={x^{2}+1, x+1, x-1}[/mm]
>
> sowie die darstellende Matrix der linearen Abbildung
> [mm]L:V\toV[/mm] bzgl. [mm]B_{1}[/mm] durch
> [mm]L_{B_{1}}:=\pmat{\frac{3}{2} & -2 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0}.[/mm]
>
> (a) Bestimmen sie die Transformationsmatrix beim
> Basiswechsel von [mm]B_{1}[/mm] nach [mm]B_{2},[/mm] indem Sie die
> Koordinatenabbildung [mm]K_{B_{2}}[/mm] von V bzgl. [mm]B_{2}[/mm] sowie die
> Inverse [mm]K^{-1}_{B_{1}}[/mm] zu der Koordinatenabbildung von V
> bzgl. [mm]B_{1}[/mm] zuerst bestimmen.
Hallo,
gesucht ist hier die Matrix, welche Vektoren, die in Koordinaten bzgl. [mm] B_1 [/mm] gegeben sind, in solche bzgl [mm] B_2 [/mm] umwandelt.
Dazu sollst Du zunächst die angegebenen Koordinatenabbildungen bestimmen.
Was soll [mm] K_{B_2}: V\to \IR^3 [/mm] leisten?
Sie soll zu jedem Vektor [mm] v\in [/mm] V seinen Koordinatenvektor bzgl der Basis [mm] B_2 [/mm] liefern.
Sei [mm] v\in [/mm] V.
Dann hat v die Gestalt [mm] v=ax^2+bx+c.
[/mm]
Um diesen Vektor als Koordinatenvektor bzgl. [mm] B_2 [/mm] schreiben zu können, muß man [mm] v=ax^2+bx+c [/mm] als Linearkombination der Basisvektoren von [mm] B_2, [/mm] also von [mm] x^{2}+1, [/mm] x+1, x-1, schreiben:
[mm] v=ax^2+bx+c= a*(x^2+1)+\bruch{-a+b+c}{2}*(x+1)+\bruch{a+b-c}{2}(x-1),
[/mm]
und es ist [mm] K_{B_2}(ax^2+bx+c)=\vektor{a\\\bruch{-a+b+c}{2}\\\bruch{a+b-c}{2}} [/mm] für [mm] v=ax^2+bx+c.
[/mm]
Die Abbildung [mm] K^{-1}_{B_{1}}: \IR^3\to [/mm] V ordnet jedem Koordinatenvektor bzgl [mm] B_1 [/mm] genau ein Polynom aus V zu, und zwar so:
[mm] K^{-1}_{B_{1}}(\vektor{a\\b\\c}):=a*(2x^{2}+4x+6)+b*(4x+4)+c*(x-1) =2ax^2+(4a+4b+c)x+6a+4b-c.
[/mm]
Die gesuchte Transformationsmatrix ist die Matrix der Abbildung, welche Koordinatenvektoren bzg. [mm] B_1 [/mm] in solche bzg. [mm] B_2 [/mm] umwandelt,
also die Darstellungsmatrix der Abbildung [mm] K_{B_2}\circ K^{-1}_{B_{1}}: \IR^3\to \IR^3, [/mm] welche Du nun aufstellen kannst.
(Prüfe unbedingt zuvor meine Abbildungen daraufhin, ob ich mich nicht vertan habe.)
Ich habe versucht, mich möglichst an die bei Euch üblichen Schreibweisen zu halten und 1:1 die Anweisung in Aufg. a) umzusetzen - obgleich ich es nervig finde...
Ich will Dir aber nicht vorenthalten, wie man normalerweise zur Basistransformationsmatrix für die Transformation von [mm] B_1 [/mm] nach [mm] B_2 [/mm] kommt, und ich werde hierfür "meine" Schreibweisen, die ich fast für sich selbsterklärend halte, verwenden:
Es ist [mm] E:=(x^2,x,1) [/mm] die Standardbasis von V.
Ich stelle zuerst die Matrizen [mm] _ET_{B_1} [/mm] bzw. [mm] _ET_{B_2} [/mm] auf, die Koordinatenvektoren bzg. [mm] B_1 [/mm] bzw. [mm] B_2 [/mm] in solche bzgl E umwandeln:
Diese Matrizen enthalten in den Spalten die Basisvektoren von [mm] B_1 [/mm] in Koordinaten bzgl E,
die erste Spalte von [mm] _ET_{B_1} [/mm] enthält also den Vektor [mm] \vektor{2\\4\\6}, [/mm] den Rest kannst Du selbst aufschreiben.
Das Inverse dieser Matrizen transformiert Vektoren, die bzg. E gegeben sind, in solche bzgl [mm] B_i.
[/mm]
Es ist also [mm] (_ET_{B_1})^{-1}=_{B_1}T_E
[/mm]
Man erhält nun die Transformationsmatrix für den Übergang von [mm] B_1 [/mm] nach [mm] B_2 [/mm] so:
[mm] _{B_2}T_{B_1}=_{B_2}T_E*_ET_{B_1} =(_ET_{B_2})^{-1}*_ET_{B_1}.
[/mm]
> (b)Bestimmen Sie [mm]L_{B_{2}}.[/mm]
In meiner Schreibweise ist das die Matrix [mm] _{B_2}M(L)_{B_2}.
[/mm]
Es ist [mm] _{B_2}M(L)_{B_2}=_{B_2}T_{B_1}*_{B_1}M(L)_{B_1}*_{B_1}T_{B_2}=_{B_2}T_{B_1}*_{B_1}M(L)_{B_1}*(_{B_2}T_{B_1})^{-1}.
[/mm]
> (c)Bestimmen Sie [mm]L(ax^{2}+bx+c).[/mm]
Es gibt mehrere Möglichkeiten.
Du kannst dies tun, indem Du [mm] ax^{2}+bx+c [/mm] zunächst in einen Koordinatenvektor bzg. [mm] B_1 [/mm] umwandelst, diesen mit [mm] L_{B_1} [/mm] multiplizierst, und den erhaltenen Koordinatenvektor wieder als Polynom schreibst.
Nun hoffe ich bloß noch, daß ich keine Dreher eingebaut habe in meine Belehrungen.
Gruß v. Angela
> Hallo, ich hab ein ganz großes Problem mit der
> Aufgabenstellung. Sitze auch fast schon 3 Stunden drüber
> ohne nur ein Schritt weitergekommen zu sein.
>
> (a)So wie ich das verstehe muss ich von [mm]\IR^{3,3}[/mm] in
> [mm]\IR_{\le2}[x][/mm] und anschliessend wieder zur [mm]\IR^{3,3}.[/mm]
> Und [mm]L_{B_{1}}[/mm] müsste [mm]K_{B_{1}}\circ B_{1}(L)[/mm] sein, oder?
> Dann ist [mm]L_{B_{2}}[/mm] sowas wie [mm]K_{B_{1}}\circ K^{-1}_{B_{1}}\circ L_{B_{1}}?[/mm]
> Aber wie komme ich dahin? Ich finde ja für [mm]K^{-1}_{B_{1}}[/mm]
> schon keinen Ansatz...
>
> (b) und (c) sollten sich eventuell ergeben, so bald (a)
> verstanden wurde.
|
|
|
| |
|
Vielen vielen Dank,
deine Erläuterung hat mir die Augen geöffnet! Auch wenn die Schreibweise eine andere ist, ist es gut verständlich gewesen :)
|
|
|
|
