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Forum "Integrationstheorie" - Transformationssatz
Transformationssatz < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Transformationssatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:30 Di 16.02.2016
Autor: impliziteFunktion

Aufgabe
Berechne für [mm] $f(x,y)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2-y^2}}$ [/mm]

[mm] $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2| 0
[mm] $\int_D f\, d\mu$ [/mm]

Hallo,

ich möchte folgendes Integral berechnen.
Dazu benutze ich den Transformationssatz und Polarkoordinaten.

Ich nehme also die Abbildung

[mm] $g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ [/mm]

[mm] $(x,y)\mapsto (r\cos(\phi), r\sin(\phi))$ [/mm]

mit $0<r<1$ und [mm] $0<\phi<2\pi$ [/mm]

Ich bestimme die Jacobi-Matrix:

[mm] $Dg(r,\phi)=\begin{pmatrix} -r\sin(\phi)&\cos(\phi)\\r\cos(\phi)&\sin(\phi)\end{pmatrix}$ [/mm]

Es ist [mm] $|det(Dg(r,\phi)|=r$ [/mm]

Nun wende ich den Transformationssatz an:

[mm] $\int_0^1\int_0^{2\pi} r\frac{1}{\sqrt{1-r^2\cos(\phi)^2-r^2\sin(\phi)^2}}\, d\phi\, [/mm] dr$

[mm] $=\int_0^1\int_0^{2\pi} r\frac{1}{\sqrt{1-r^2}}\, d\phi\, [/mm] dr$

Das innere Integral hängt von [mm] $\phi$ [/mm] nicht ab. Es ergibt sich:

[mm] $2\pi\int_0^1 \frac{r}{\sqrt{1-r^2}}\, [/mm] dr$

Ich substituiere [mm] $t=\sqrt{1-r^2}$ [/mm]

[mm] $t'=\frac{-2r}{2\sqrt{1-r^2}}=\frac{-r}{\sqrt{1-r^2}}=\frac{dt}{dr}$ [/mm]

Wenn ich dies umstelle erhalte ich [mm] $-\frac{t}{r}dt=dr$ [/mm]

Also

[mm] $2\pi\int_0^1 \frac{r}{t}\cdot (-\frac{t}{r})\, dt=-2\pi$ [/mm]

Es sollte aber doch als Ergebnis [mm] $2\pi$ [/mm] herauskommen und ich muss irgendwo einen Vorzeichenfehler gemacht haben. Ich finde ihn jedoch leider nicht. Dabei sollte eigentlich klar sein, dass er nach der Substitution auftritt, aber eigentlich sollten auch dort meine Rechnungen richtig sein, weil ich die Ableitung richtig gebildet habe, oder übersehe ich etwas?

Über eine Korrektur würde ich mich sehr freuen.

Vielen Dank im voraus.

        
Bezug
Transformationssatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:37 Di 16.02.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ich substituiere [mm]t=\sqrt{1-r^2}[/mm]

die deutlich einfachere Substitution hier wäre [mm] $t=1-r^2$ [/mm] gewesen....

> ich muss irgendwo einen Vorzeichenfehler gemacht haben.

Schau dir mal deine Integralgrenzen vor und nach der Substitution nochmal genau an.

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Transformationssatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:47 Di 16.02.2016
Autor: impliziteFunktion

Oh, natürlich...

Ich muss selbstverständlich die Integralgrenzen mit substituieren.

Die müssen dann [mm] $\int_1^0=-\int_0^1$ [/mm] lauten, mal salopp aufgeschrieben.
Damit passt es dann wieder.

Vielen Dank.

Bezug
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