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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:16 Mi 15.12.2010 | | Autor: | valoo |
| Aufgabe | Sei [mm] \Omega=(0,1)\times(0,1) [/mm] f(x,y)=x*y [mm] g(x,y)=(x-y^{2}, [/mm] ^{2}*y).
Skizzieren Sie [mm] g(\Omega) [/mm] und berechnen Sie mit Hilfe des Transformationssatzes [mm] \integral_{g(\Omega)}f [/mm] |
Hallo!
Also ich bin mir noch nicht einmal sicher, wie nun [mm] g(\Omega) [/mm] genau aussieht. Klar ist, dass es in [mm] (-1,1)\times(0,1) [/mm] enthalten ist...
Ist es nun das Dreieck mit den Eckpunktes (-1,0), (1,0) und (0,1) oder was anderes?
Und bei der Berechnung des Integrales ist es sehr einfach Fehler zu machen. Ich glaub nich, dass ich da das richtige raus hab...
[mm] \integral_{g(\Omega)}f=\integral_{\Omega}f(g(x,y))*|det(D_{g}(x,y)|d\lambda^{2}(x,y)=\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}(x^{3}*y-x^{2}*y^{3})|4*x*y^{2}-x^{2}|dydx
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{1}[\integral_{0}^{\bruch{\wurzel{x}}{2}}(x^{3}*y-x^{2}*y^{3})*(4*x*y^{2}-x^{2})dy+\integral_{\bruch{\wurzel{x}}{2}}^{1}(x^{3}*y-x^{2}*y^{3})*(x^{2}-4*x*y^{2})dy]dx
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{1}[\integral_{0}^{\bruch{\wurzel{x}}{2}}(5*x^{4}*y^{3}-4*x^{3}*y^{5}-x^{5}*y)dy+\integral_{\bruch{\wurzel{x}}{2}}^{1}(4*x^{3}*y^{5}-5*x^{4}*y^{3}+x^{5}*y)dy]dx
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{1}([\bruch{5}{4}*x^{4}*y^{4}-\bruch{2}{3}*x^{3}*y^{6}-\bruch{1}{2}*x^{5}*y^{2}]_{y=0}^{\bruch{\wurzel{x}}{2}}+[\bruch{2}{3}*x^{3}*y^{6}-\bruch{5}{4}*x^{4}*y^{4}+\bruch{1}{2}*x^{5}*y^{2}]_{\bruch{\wurzel{x}}{2}}^{1})dx
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{1}(-\bruch{-11}{192}*x^{6}-\bruch{11}{192}*x^{6}+\bruch{1}{2}*y^{5}-\bruch{5}{4}*x^{4}+\bruch{2}{3}*x^{3})dx
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{1}(\bruch{1}{2}*x^{5}-\bruch{5}{4}*x^{4}+\bruch{2}{3}*x^{3}-\bruch{11}{96}*x^{6})dx
[/mm]
[mm] =[\bruch{1}{12}*x^{6}-\bruch{1}{4}*x^{5}+\bruch{1}{6}*x^{4}-\bruch{11}{672}*x^{7}]_{0}^{1}
[/mm]
[mm] =-\bruch{11}{672} [/mm] ?
Ob das so richtig ist...
Ich hab versucht das mit nem CAS nachzurechnen, aber das weigert sich...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mi 15.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]\Omega=(0,1)\times(0,1)[/mm] f(x,y)=x*y [mm]g(x,y)=(x-y^{2},[/mm]
> ^{2}*y).
> Skizzieren Sie [mm]g(\Omega)[/mm] und berechnen Sie mit Hilfe des
> Transformationssatzes [mm]\integral_{g(\Omega)}f[/mm]
> Hallo!
>
> Also ich bin mir noch nicht einmal sicher, wie nun
> [mm]g(\Omega)[/mm] genau aussieht. Klar ist, dass es in
> [mm](-1,1)\times(0,1)[/mm] enthalten ist...
> Ist es nun das Dreieck mit den Eckpunktes (-1,0), (1,0)
> und (0,1) oder was anderes?
>
> Und bei der Berechnung des Integrales ist es sehr einfach
> Fehler zu machen. Ich glaub nich, dass ich da das richtige
> raus hab...
>
> [mm]\integral_{g(\Omega)}f=\integral_{\Omega}f(g(x,y))*|det(D_{g}(x,y)|d\lambda^{2}(x,y)=\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}(x^{3}*y-x^{2}*y^{3})|4*x*y^{2}-x^{2}|dydx[/mm]
>
> [mm]=\integral_{0}^{1}[\integral_{0}^{\bruch{\wurzel{x}}{2}}(x^{3}*y-x^{2}*y^{3})*(4*x*y^{2}-x^{2})dy+\integral_{\bruch{\wurzel{x}}{2}}^{1}(x^{3}*y-x^{2}*y^{3})*(x^{2}-4*x*y^{2})dy]dx[/mm]
>
> [mm]=\integral_{0}^{1}[\integral_{0}^{\bruch{\wurzel{x}}{2}}(5*x^{4}*y^{3}-4*x^{3}*y^{5}-x^{5}*y)dy+\integral_{\bruch{\wurzel{x}}{2}}^{1}(4*x^{3}*y^{5}-5*x^{4}*y^{3}+x^{5}*y)dy]dx[/mm]
>
> [mm]=\integral_{0}^{1}([\bruch{5}{4}*x^{4}*y^{4}-\bruch{2}{3}*x^{3}*y^{6}-\bruch{1}{2}*x^{5}*y^{2}]_{y=0}^{\bruch{\wurzel{x}}{2}}+[\bruch{2}{3}*x^{3}*y^{6}-\bruch{5}{4}*x^{4}*y^{4}+\bruch{1}{2}*x^{5}*y^{2}]_{\bruch{\wurzel{x}}{2}}^{1})dx[/mm]
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> [mm]=\integral_{0}^{1}(-\bruch{-11}{192}*x^{6}-\bruch{11}{192}*x^{6}+\bruch{1}{2}*y^{5}-\bruch{5}{4}*x^{4}+\bruch{2}{3}*x^{3})dx[/mm]
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> [mm]=\integral_{0}^{1}(\bruch{1}{2}*x^{5}-\bruch{5}{4}*x^{4}+\bruch{2}{3}*x^{3}-\bruch{11}{96}*x^{6})dx[/mm]
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> [mm]=[\bruch{1}{12}*x^{6}-\bruch{1}{4}*x^{5}+\bruch{1}{6}*x^{4}-\bruch{11}{672}*x^{7}]_{0}^{1}[/mm]
> [mm]=-\bruch{11}{672}[/mm] ?
> Ob das so richtig ist...
> Ich hab versucht das mit nem CAS nachzurechnen, aber das
> weigert sich...
>
Auch im Quelltext ist nicht auszumachen, wie g definiert ist !!!!!
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:04 Mi 15.12.2010 | | Autor: | valoo |
Oh, sorry...
Da fehlt nur ein x...
Also:
[mm] g(x,y):=(x-y^{2}, x^{2}*y)
[/mm]
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Hallo valoo,
> Sei [mm]\Omega=(0,1)\times(0,1)[/mm] f(x,y)=x*y [mm]g(x,y)=(x-y^{2},[/mm]
> ^{2}*y).
> Skizzieren Sie [mm]g(\Omega)[/mm] und berechnen Sie mit Hilfe des
> Transformationssatzes [mm]\integral_{g(\Omega)}f[/mm]
> Hallo!
>
> Also ich bin mir noch nicht einmal sicher, wie nun
> [mm]g(\Omega)[/mm] genau aussieht. Klar ist, dass es in
> [mm](-1,1)\times(0,1)[/mm] enthalten ist...
> Ist es nun das Dreieck mit den Eckpunktes (-1,0), (1,0)
> und (0,1) oder was anderes?
Mache Dir am besten, wie in der Aufgabe gefordert,
eine Skizze des Integrationsgebietes.
>
> Und bei der Berechnung des Integrales ist es sehr einfach
> Fehler zu machen. Ich glaub nich, dass ich da das richtige
> raus hab...
>
> [mm]\integral_{g(\Omega)}f=\integral_{\Omega}f(g(x,y))*|det(D_{g}(x,y)|d\lambda^{2}(x,y)=\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}(x^{3}*y-x^{2}*y^{3})|4*x*y^{2}-x^{2}|dydx[/mm]
>
> [mm]=\integral_{0}^{1}[\integral_{0}^{\bruch{\wurzel{x}}{2}}(x^{3}*y-x^{2}*y^{3})*(4*x*y^{2}-x^{2})dy+\integral_{\bruch{\wurzel{x}}{2}}^{1}(x^{3}*y-x^{2}*y^{3})*(x^{2}-4*x*y^{2})dy]dx[/mm]
>
> [mm]=\integral_{0}^{1}[\integral_{0}^{\bruch{\wurzel{x}}{2}}(5*x^{4}*y^{3}-4*x^{3}*y^{5}-x^{5}*y)dy+\integral_{\bruch{\wurzel{x}}{2}}^{1}(4*x^{3}*y^{5}-5*x^{4}*y^{3}+x^{5}*y)dy]dx[/mm]
>
> [mm]=\integral_{0}^{1}([\bruch{5}{4}*x^{4}*y^{4}-\bruch{2}{3}*x^{3}*y^{6}-\bruch{1}{2}*x^{5}*y^{2}]_{y=0}^{\bruch{\wurzel{x}}{2}}+[\bruch{2}{3}*x^{3}*y^{6}-\bruch{5}{4}*x^{4}*y^{4}+\bruch{1}{2}*x^{5}*y^{2}]_{\bruch{\wurzel{x}}{2}}^{1})dx[/mm]
>
> [mm]=\integral_{0}^{1}(-\bruch{-11}{192}*x^{6}-\bruch{11}{192}*x^{6}+\bruch{1}{2}*y^{5}-\bruch{5}{4}*x^{4}+\bruch{2}{3}*x^{3})dx[/mm]
>
> [mm]=\integral_{0}^{1}(\bruch{1}{2}*x^{5}-\bruch{5}{4}*x^{4}+\bruch{2}{3}*x^{3}-\bruch{11}{96}*x^{6})dx[/mm]
>
> [mm]=[\bruch{1}{12}*x^{6}-\bruch{1}{4}*x^{5}+\bruch{1}{6}*x^{4}-\bruch{11}{672}*x^{7}]_{0}^{1}[/mm]
> [mm]=-\bruch{11}{672}[/mm] ?
> Ob das so richtig ist...
> Ich hab versucht das mit nem CAS nachzurechnen, aber das
> weigert sich...
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:23 Do 16.12.2010 | | Autor: | valoo |
> Mache Dir am besten, wie in der Aufgabe gefordert,
> eine Skizze des Integrationsgebietes.
>
>
Na das hab ich ja versucht. Aber ich weiß einfach nicht, wie das Teil genau aussieht. Ist es nun ein Dreieck oder ist es rundlicher? Ist es symmetrisch oder nicht?
Es kursiert jetzt übrigens, dass bruch{1}{15} beim Integral rauskommen soll. Kann ich aber irgendwie noch nicht nachvollziehen. Es ist fast unmöglich sich bei den ganzen Potenzen von x und y nicht zu verrechnen.
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Hallo valoo,
> > Mache Dir am besten, wie in der Aufgabe gefordert,
> > eine Skizze des Integrationsgebietes.
> >
> >
> Na das hab ich ja versucht. Aber ich weiß einfach nicht,
> wie das Teil genau aussieht. Ist es nun ein Dreieck oder
> ist es rundlicher? Ist es symmetrisch oder nicht?
Betrachte doch die durch g(x,y) gegebenen Randkurven:
Für x=0 ergibt sich [mm]g(0,y)=\pmat{-y^{2} \\0[/mm]
Für x=1 ergibt sich [mm]g(1,y)=\pmat{1-y^{2} \\ y[/mm]
Für y=0 ergibt sich [mm]g(x,0)=\pmat{x \\ 0[/mm]
Für y=1 ergibt sich [mm]g(x,1)=\pmat{x-1 \\ x^2[/mm]
Paramerisiere diese, und zeichne sie in ein Koordinatensystem ein.
>
> Es kursiert jetzt übrigens, dass bruch{1}{15} beim
> Integral rauskommen soll. Kann ich aber irgendwie noch
> nicht nachvollziehen. Es ist fast unmöglich sich bei den
> ganzen Potenzen von x und y nicht zu verrechnen.
>
Gruss
MathePower
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