Transitiv, Linear -unterschied < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Guten Tag
Ich bin mit den Relationen der Mengen am kochen, und zwar verstehe ich "Antysimmetrisch", "Transitiv" und "Linear" nicht. Was reflexiv und Symmetrisch ist, verstehe ich.
Wäre cool wenn das jemand mit solchen Beispielen erklärt:
R={(a,a), (b,a), (c,a)} usw
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen vielen dank
lg
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> verstehe "Antisymmetrisch", "Transitiv" und "Linear"
> nicht. Was reflexiv und Symmetrisch ist, verstehe ich.
> Wäre cool wenn das jemand mit solchen Beispielen
> erklärt:
> R={(a,a), (b,a), (c,a)} usw
Hallo elektroalgebra93,
eine Relation R ist symmetrisch, falls aus [mm] (x,y)\in [/mm] R
stets auch [mm] (y,x)\in [/mm] R folgt
eine Relation nennt man antisymmetrisch, falls für
zwei voneinander verschiedene Elemente a und b
nie gleichzeitig [mm] (a,b)\in [/mm] R und [mm] (b,a)\in [/mm] R gilt
Falls a,b,c voneinander verschieden sind, wäre die
Relation R in deinem obigen Beispiel antisymmetrisch.
Transitiv ist eine Relation, falls aus [mm] (x,y)\in [/mm] R und (y,z)
stets [mm] (x,z)\in [/mm] R folgt.
Der Begriff "lineare Relation" scheint selten im Sinne
verwendet zu werden, der hier wohl gemeint ist, und zwar
aus gutem Grund. Gemeint ist vermutlich das, was man
üblicherweise eine "totale" Relation nennt, nämlich eine
Relation R, bei welcher für zwei beliebige Elemente x,y
stets [mm] (x,y)\in [/mm] R oder [mm] (y,x)\in [/mm] R (oder auch beides zusammen)
gilt.
Beispiele zu basteln lockt mich im Augenblick nicht
besonders. Aber du kannst ja mal versuchen, selber
ein paar davon zu entwerfen und vorzulegen.
Probiere z.B. einmal, auf der Menge [mm] $\{a,b,c,d\}$ [/mm] je eine
Relation mit der gewünschten Eigenschaft zu definieren.
Dann prüfen wir sie auf Richtigkeit.
Zur Darstellung wäre eventuell anstatt der Mengen-
aufzählung eine Matrixschreibweise sinnvoll. Setze
am Schnittpunkt von Zeile x und Spalte y eine 1, falls
[mm] (x,y)\in [/mm] R und eine 0, falls [mm] (x,y)\notin [/mm] R
Beispiel: deine obige Relation R auf der Menge [mm] $\{a,b,c\}$
[/mm]
würde so dargestellt:
[mm] $\begin{tabular}{l|{3}{c}r}
R & a & b & c \\
\hline
a & 1 & 0 & 0 \\
b & 1 & 0 & 0 \\
c & 1 & 0 & 0 \\
\end{tabular}$
[/mm]
LG , Al-Chw.
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Guten Tag,
Okay ich denke ich raff es so langsam.
Zur Transitivität:
Ist {(5,4), (5,2), (2,4), (4,2), (3,2)} transitiv?
Meiner Meinung ja, denn zbsp das Element (5,4) bezeichne ich als X,Y; X=5 und Y=4
Dann haben wir das Element (4,2) das bezeichne ich als Y,Z; Y=4 und Z=2
Dann kommt das Element (5,2) was dann als X,Z bezeichnet wird.
Also müsste es transitiv sein?
Zu deinem letzten Abschnitt.. (x,y) muss doch immer der Relation gehören nein?
Ich versteh deine Wahrheitstabelle nicht richtig
lg
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> Guten Tag,
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> Okay ich denke ich raff es so langsam.
> Zur Transitivität:
> Ist {(5,4), (5,2), (2,4), (4,2), (3,2)} transitiv? ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Nein, ist es nicht !
> Meiner Meinung ja, denn zbsp das Element (5,4) bezeichne
> ich als X,Y; X=5 und Y=4
> Dann haben wir das Element (4,2) das bezeichne ich als
> Y,Z; Y=4 und Z=2
> Dann kommt das Element (5,2) was dann als X,Z bezeichnet
> wird.
> Also müsste es transitiv sein?
Es genügt natürlich nicht, dass du zeigst, dass für ein
einzelnes Tripel (x,y,z) die Transitivität zutrifft, sondern
es müsste für alle möglichen Tripel mit xRy und yRz
jeweils auch xRz gelten.
In diesem Beispiel ist etwa
4R2 und 2R4 , also müsste auch noch 4R4 gelten
ebenso:
wegen 3R2 und 2R4 müsste für Transitivität auch 3R4 gelten !
(und das ist noch nicht ganz alles, was gefehlt hat ...)
> Zu deinem letzten Abschnitt.. (x,y) muss doch immer der
> Relation gehören nein? ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Sicher nicht ! Sonst gäbe es ja nur diejenige Relation,
wo jeder zu jedem in Relation steht !
Bemerkung: wenn du auf einen Abschnitt aus einer
früheren Antwort Bezug nimmst, solltest du diesen
zitieren. Andernfalls verlangst du von uns, dass wir
selber dorthin zurück schauen gehen, was wohl
gemeint war !
> Ich versteh deine Wahrheitstabelle nicht richtig
In der Kolonne links sind alle Elemente x der Grundmenge G
aufgeführt, ebenso in der Kopfzeile alle [mm] y\in [/mm] G
Nun kannst du an genau jenen Positionen (x,y), für
welche [mm] (x,y)\in [/mm] R (oder in der gerade eben verwendeten
Notation xRy ) gilt, eine 1 in die Matrix setzen und an
alle übrigen Stellen der Matrix eine 0.
In deinem Beispiel waren nur gerade die 3 Paare (a,a),
(b,a) und (c,a) in R , also stehen in der [mm] 3\times3 [/mm] - Matrix
nur genau 3 Einsen an den diesen 3 Paaren entsprechenden
Positionen in der Matrix, und der Rest alles Nullen.
LG , Al-Chw.
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Hallo,
Okay, ich versuch immer wieder, aber jetzt bin ich bei 2 Beispielen aufgehalten worden:
{(1,3), (1,5), (5,3), (3,3), (4,4)}
->Nicht reflexiv
->Nicht Symmetrisch
->Antisymetrisch ?
->Nicht transitiv (Anscheinend falsch?) Aber wieso? Ich sehe dort keine Form a la (x,y) und (y,z) und (x,z) ?!
Und dann noch dieses Beispiel:
{(5,3), (1,2), (3,3) (1,1) (1,3)}
->Nicht reflexiv
->Nicht symmetrisch
->Antisymetrisch ?
->Nicht transitiv (Anscheinend falsch?) Aber wieso? Ich sehe dort keine Form a la (x,y) und (y,z) und (x,z) ?!
Ich hab wohl noch irgendwo nen Denkfehler.. Hoffe dass Sie mir den erheben können, Vielen dank
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:19 Mo 21.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Okay, ich versuch immer wieder, aber jetzt bin ich bei 2
> Beispielen aufgehalten worden:
> {(1,3), (1,5), (5,3), (3,3), (4,4)}
Nennen wir diese Relation mal $R$.
> ->Nicht reflexiv
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> ->Nicht Symmetrisch
> ->Antisymetrisch ?
Ja, denn es gibt keine Paare [mm] $(x,y)\in [/mm] R$ mit [mm] $x\not=y$, [/mm] für die auch [mm] $(y,x)\in [/mm] R$ gilt.
> ->Nicht transitiv (Anscheinend falsch?) Aber wieso? Ich
> sehe dort keine Form a la (x,y) und (y,z) und (x,z) ?!
Du meinst, du findest keine $x,y,z$ mit [mm] $(x,y)\in [/mm] R$ und [mm] $(y,z)\in [/mm] R$?
Dann wäre $R$ auf jeden Fall transitiv.
Tatsächlich erfüllen $x=1$, $y=5$ und $z=3$ die Eigenschaften [mm] $(x,y)=(1,5)\in [/mm] R$ und [mm] $(y,z)=(5,3)\in [/mm] R$.
Es gilt aber auch [mm] $(x,z)=(1,3)\in [/mm] R$.
Da es keine weiteren $x,y,z$ mit [mm] $(x,y)\in [/mm] R$ und [mm] $(y,z)\in [/mm] R$ gibt, für die [mm] $x\not=y\not=z$ [/mm] gilt (es genügt, solche $x,y,z$ zu betrachten), ist $R$ somit transitiv.
> Und dann noch dieses Beispiel:
> {(5,3), (1,2), (3,3) (1,1) (1,3)}
Nennen wir diese Relation wieder $R$.
> ->Nicht reflexiv
> ->Nicht symmetrisch
> ->Antisymetrisch ?
Kriegst du das nun selbst hin?
> ->Nicht transitiv (Anscheinend falsch?) Aber wieso? Ich
> sehe dort keine Form a la (x,y) und (y,z) und (x,z) ?
mit [mm] $x\not=y\not=z$.
[/mm]
Ja eben.
Angenommen $R$ wäre nicht transitiv.
Dann gäbe es $x,y,z$ mit [mm] $(x,y)\in [/mm] R$, [mm] $(y,z)\in [/mm] R$ und [mm] $(x,z)\notin [/mm] R$.
Dies ist aber nicht der Fall.
Viele Grüße
Tobias
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> > Okay, ich versuch immer wieder, aber jetzt bin ich bei 2
> > ->Nicht transitiv (Anscheinend falsch?) Aber wieso? Ich
> > sehe dort keine Form a la (x,y) und (y,z) und (x,z) ?!
> Du meinst, du findest keine [mm]x,y,z[/mm] mit [mm](x,y)\in R[/mm] und
> [mm](y,z)\in R[/mm]?
> Dann wäre [mm]R[/mm] auf jeden Fall transitiv.
Ja mein Fehler, hab in der Schnelle nicht aufgepasst.
>
>
> > Und dann noch dieses Beispiel:
> > {(5,3), (1,2), (3,3) (1,1) (1,3)}
> > ->Antisymetrisch ?
> Kriegst du das nun selbst hin?
Ist Antisymmetrisch
> > ->Nicht transitiv (Anscheinend falsch?) Aber wieso? Ich
> > sehe dort keine Form a la (x,y) und (y,z) und (x,z) ?
> mit [mm]x\not=y\not=z[/mm].
>
> Ja eben.
>
> Angenommen [mm]R[/mm] wäre nicht transitiv.
Ist da der "nicht" nicht zuviel? Die ist doch nicht transitiv
> Dann gäbe es [mm]x,y,z[/mm] mit [mm](x,y)\in R[/mm], [mm](y,z)\in R[/mm] und
> [mm](x,z)\notin R[/mm].
> Dies ist aber nicht der Fall.
Okay,hab mal ne Relation selbst aufgebaut:(Die reihenfolge der Elemente spielt ja normaerweise keine Rolle oder?)
R={(1,3),(1,5),(5,1),(5,3),(4,2)}
-> Nicht Reflexiv
-> Nicht Symmetrisch
->Nicht Antisymmetrisch
->Ist transitiv
Danke, lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:57 Di 22.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> > > Und dann noch dieses Beispiel:
> > > {(5,3), (1,2), (3,3) (1,1) (1,3)}
> > > ->Antisymetrisch ?
> > Kriegst du das nun selbst hin?
> Ist Antisymmetrisch
> > > ->Nicht transitiv (Anscheinend falsch?) Aber wieso? Ich
> > > sehe dort keine Form a la (x,y) und (y,z) und (x,z) ?
> > mit [mm]x\not=y\not=z[/mm].
> >
> > Ja eben.
> >
> > Angenommen [mm]R[/mm] wäre nicht transitiv.
> Ist da der "nicht" nicht zuviel? Die ist doch nicht
> transitiv
Da ist kein "nicht" zu viel. Die Relation ist transitiv.
> > Dann gäbe es [mm]x,y,z[/mm] mit [mm](x,y)\in R[/mm], [mm](y,z)\in R[/mm] und
> > [mm](x,z)\notin R[/mm].
> > Dies ist aber nicht der Fall.
> Okay,hab mal ne Relation selbst aufgebaut:(Die reihenfolge
> der Elemente spielt ja normaerweise keine Rolle oder?)
Die Reihenfolge, in der du die Elemente von $R$ aufzählst, spielt in der Tat keine Rolle.
Egal welche Reihenfolge du wählst, du erhältst stets die gleiche Menge $R$.
> R={(1,3),(1,5),(5,1),(5,3),(4,2)}
> -> Nicht Reflexiv
> -> Nicht Symmetrisch
> ->Nicht Antisymmetrisch
> ->Ist transitiv
Es gilt z.B. [mm] $(1,5)\in [/mm] R$ und [mm] $(5,1)\in [/mm] R$.
Wäre $R$ transitiv, müsste demzufolge auch [mm] $(1,1)\in [/mm] R$ gelten.
Dies ist aber nicht der Fall.
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>> R={(1,3),(1,5),(5,3),(3,3),(4,4)}
> Da ist kein "nicht" zu viel. Die Relation ist transitiv.
Datt versteh ich jetzt net! Wo ist denn da ne Form (x,y) und (y,z) und (x,y) ?
> > R={(1,3),(1,5),(5,1),(5,3),(4,2)}
> > ->Ist transitiv
>
>
> Es gilt z.B. [mm](1,5)\in R[/mm] und [mm](5,1)\in R[/mm].
> Wäre [mm]R[/mm] transitiv,
> müsste demzufolge auch [mm](1,1)\in R[/mm] gelten.
> Dies ist aber nicht der Fall.
Laut definition der Transitivität:
(a,b) müssen zu der Relation R gehören UND (b,c) muss zu der Relation R gehören dem folgt dass (a,c) auch zu der Relation R gehören muss. Daher verstehe ich nicht wieso das Pärchen (1,1) in R enthalten sein sollte?
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:55 Di 22.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> >> R={(1,3),(1,5),(5,3),(3,3),(4,4)}
> > Da ist kein "nicht" zu viel. Die Relation ist
> transitiv.
> Datt versteh ich jetzt net! Wo ist denn da ne Form (x,y)
> und (y,z) und (x,y) ?
Transitivität von $R$ bedeutet nicht etwa, dass $x,y,z$ mit [mm] $(x,y)\in [/mm] R$ und [mm] $(y,z)\in [/mm] R$ und [mm] $(x,z)\in [/mm] R$ existieren.
Transitivität von $R$ bedeutet vielmehr, dass wann immer [mm] $(x,y)\in [/mm] R$ und [mm] $(y,z)\in [/mm] R$ gilt, auch [mm] $(x,z)\in [/mm] R$ gilt.
Wenn es gar keine $x,y,z$ mit [mm] $(x,y)\in [/mm] R$ und [mm] $(y,z)\in [/mm] R$ gibt, sind wir mit dem Nachweis der Transitivität schon fertig, ehe wir richtig begonnen haben:
Es gibt gar keine $x,y,z$ mit [mm] $(x,y)\in [/mm] R$ und [mm] $(y,z)\in [/mm] R$, für die wir [mm] $(x,z)\in [/mm] R$ nachweisen müssten.
(Im obigen Beispiel gibt es sehr wohl $x,y,z$ mit [mm] $(x,y)\in [/mm] R$ und [mm] $(y,z)\in [/mm] R$, nämlich z.B. $x=1$, $y=3$, $z=3$.)
> > > R={(1,3),(1,5),(5,1),(5,3),(4,2)}
> > > ->Ist transitiv
> >
> >
> > Es gilt z.B. [mm](1,5)\in R[/mm] und [mm](5,1)\in R[/mm].
> > Wäre [mm]R[/mm]
> transitiv,
> > müsste demzufolge auch [mm](1,1)\in R[/mm] gelten.
> > Dies ist aber nicht der Fall.
> Laut definition der Transitivität:
> (a,b) müssen zu der Relation R gehören UND (b,c) muss zu
> der Relation R gehören dem folgt dass (a,c) auch zu der
> Relation R gehören muss. Daher verstehe ich nicht wieso
> das Pärchen (1,1) in R enthalten sein sollte?
Betrachte $a=1$, $b=5$ und $c=1$.
Dann gilt [mm] $(a,b)\in [/mm] R$ und [mm] $(b,c)\in [/mm] R$.
Wäre $R$ transitiv, müsste damit auch [mm] $(a,c)\in [/mm] R$ gelten.
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