matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenRelationenTransitivität
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Relationen" - Transitivität
Transitivität < Relationen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Relationen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Transitivität: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:11 Fr 24.07.2015
Autor: magics

Aufgabe
Folgende Aussage sei gegeben:

Wenn $ x [mm] \ge [/mm] 4 $, dann $ [mm] 2^x \ge x^2 [/mm] $

Während der induktiven Beweisführung werde folgende Aussage getroffen:

Für x = 4:

$ [mm] 2^4 [/mm] = 16 [mm] \ge 4^2 [/mm] = 16 $

Für x [mm] \to [/mm] x+1:

$ [mm] 2^{x+1} \ge (x+1)^2 [/mm] $

Es sei:
$ 2 * [mm] 2^x \ge [/mm] 2 * [mm] x^2 [/mm] $

und:
$ 2 * [mm] 2^x \ge (x+1)^2 [/mm] $

Folglich ist wegen der Transitivität
$ [mm] 2^{x+1} \ge [/mm] 2 * [mm] x^2 \ge (x+1)^2 [/mm] $

Hallo,

ich verstehe nicht so ganz, wie man die Transitivität hier erkennen soll.

Die Aussage

$ [mm] 2^{x+1} \ge (x+1)^2 [/mm] $ für x [mm] \to [/mm] x+1 leitet sich ja aus der Aufgabenstellung ab

$ 2 * [mm] 2^x \ge [/mm] 2 * [mm] x^2 [/mm] $ erhält man, wenn man beide Seiten der ursprünglichen Ungleichung mit 2 Multipliziert

Jetzt ist  $ [mm] 2^{x+1} [/mm] = 2 * [mm] 2^x [/mm] $

Woher weiß ich, dass die Transititve Abhängigkeit

$ [mm] 2^{x+1} \ge [/mm] 2 * [mm] x^2 \ge (x+1)^2 [/mm] $ lauten muss und nicht etwa $ [mm] 2^{x+1} \ge (x+1)^2 \ge [/mm] 2 * [mm] x^2 [/mm] $

lg
magics

        
Bezug
Transitivität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:55 Fr 24.07.2015
Autor: fred97


> Folgende Aussage sei gegeben:
>  
> Wenn [mm]x \ge 4 [/mm], dann [mm]2^x \ge x^2[/mm]
>  
> Während der induktiven Beweisführung

Aha, dann ist also x [mm] \in \IN. [/mm]




> werde folgende
> Aussage getroffen:
>  
> Für x = 4:
>  
> [mm]2^4 = 16 \ge 4^2 = 16[/mm]

Das ist der Induktionsanfang.


>  
> Für x [mm]\to[/mm] x+1:
>  
> [mm]2^{x+1} \ge (x+1)^2[/mm]
>  
> Es sei:
>  [mm]2 * 2^x \ge 2 * x^2[/mm]

Was heißt "Es sei" ???  

Die Induktionsvoraussetzung lautet: für ein x [mm] \in \IN [/mm] mit x [mm] \ge [/mm] 4 gelte [mm] 2^x \ge x^2. [/mm]

Unter dieser Vor. ist dann zu zeigen:

  [mm] 2^{x+1} \ge (x+1)^2. [/mm]



>  
> und:
>  [mm]2 * 2^x \ge (x+1)^2[/mm]


Das ist zu zeigen !


>  
> Folglich ist wegen der Transitivität
>  [mm]2^{x+1} \ge 2 * x^2 \ge (x+1)^2[/mm]
>  Hallo,
>  
> ich verstehe nicht so ganz, wie man die Transitivität hier
> erkennen soll.
>  
> Die Aussage
>
> [mm]2^{x+1} \ge (x+1)^2[/mm] für x [mm]\to[/mm] x+1 leitet sich ja aus der
> Aufgabenstellung ab
>  
> [mm]2 * 2^x \ge 2 * x^2[/mm] erhält man, wenn man beide Seiten der
> ursprünglichen Ungleichung mit 2 Multipliziert

Na ja. Man bekommt das, wenn man die Induktionsvor. [mm] 2^x \ge x^2 [/mm] mit 2 multipliziert.


>  
> Jetzt ist  [mm]2^{x+1} = 2 * 2^x[/mm]
>  
> Woher weiß ich, dass die Transititve Abhängigkeit
>  
> [mm]2^{x+1} \ge 2 * x^2 \ge (x+1)^2[/mm] lauten muss und nicht etwa
> [mm]2^{x+1} \ge (x+1)^2 \ge 2 * x^2[/mm]


[mm]2^{x+1} \ge 2 * x^2 \ge (x+1)^2[/mm]  ist richtig,

aber

[mm]2^{x+1} \ge (x+1)^2 \ge 2 * x^2[/mm] ist falsch.



Nach Induktionsvoraussetzung haben wir: [mm] 2^x \ge x^2 [/mm]

Dahin wollen wir: [mm] 2^{x+1} \ge (x+1)^2. [/mm]

Aus der Ind. Vor. folgt

     [mm] 2^{x+1} \ge 2x^2. [/mm]

Wenn man sich nun von der Richtigkeit der Ungleichung

     [mm] 2x^2 \ge (x+1)^2 [/mm] für x [mm] \in \IN [/mm] und x [mm] \ge [/mm] 4

überzeugen kann, ist man fertig.

Es fehlt also noch:

      [mm] 2x^2 \ge (x+1)^2 [/mm] für x [mm] \in \IN [/mm] und x [mm] \ge [/mm] 4.

Das kann man so erledigen (für x [mm] \in \IN [/mm] und x [mm] \ge [/mm] 4):

     [mm] 2x^2 \ge (x+1)^2 \gdw 2x^2 \ge x^2+2x+1 \gdw x^2 \ge [/mm] 2x+1  [mm] \gdw x^2-2x+1 \ge [/mm] 2  [mm] \gdw (x-1)^2 \ge [/mm] 2.

Ist nun [mm] (x-1)^2 \ge [/mm] 2 richtig ?

Ja, denn für x [mm] \ge [/mm] 4 ist x-1 [mm] \ge [/mm] 3. Damit haben wir sogar [mm] (x-1)^2 \ge [/mm] 9.

FRED

>  
> lg
>  magics


Bezug
                
Bezug
Transitivität: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:22 Fr 24.07.2015
Autor: magics

Ich verstehs nicht...

$ [mm] 2^{x+1} \ge [/mm] 2 * [mm] x^2 [/mm] $ und
$ [mm] 2^{x+1} \ge 2^{x+1} [/mm] $

Ist doch wie

A [mm] \ge [/mm] B
A [mm] \ge [/mm] C

Dann kann B [mm] \ge [/mm] C oder auch B [mm] \le [/mm] C sein...



Bezug
                        
Bezug
Transitivität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:45 Fr 24.07.2015
Autor: fred97


> Ich verstehs nicht...
>  
> [mm]2^{x+1} \ge 2 * x^2[/mm] und
>  [mm]2^{x+1} \ge 2^{x+1}[/mm]
>  
> Ist doch wie
>  
> A [mm]\ge[/mm] B
>  A [mm]\ge[/mm] C
>  
> Dann kann B [mm]\ge[/mm] C oder auch B [mm]\le[/mm] C sein...

Ja, aber was willst Du damit sagen ? Ich hab Dir oben die Aufgabe komplett(!) vorgemacht. Was verstehst Du nicht ?

FREd

>
>  


Bezug
                                
Bezug
Transitivität: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:08 Fr 24.07.2015
Autor: magics

Ok, also:

Aus der Induktionsvoraussetzung erhalten wir

$ [mm] 2^x \ge x^2 [/mm] $ und $ 2 * [mm] 2^x \ge [/mm] 2 * [mm] x^2 [/mm] $,

die beide das gleiche beschreiben.

Jetzt kann man $ 2 * [mm] 2^x \ge [/mm] 2 * [mm] x^2 [/mm] $ aus der Induktionsvoraussetzung auch als $ [mm] 2^{x+1} \ge [/mm] 2 * [mm] x^2 [/mm] $ schreiben.

Wir haben jetzt also einmal aus der Induktionsvoraussetzung:
(I) $ [mm] 2^{x+1} \ge [/mm] 2 * [mm] x^2 [/mm] $

und einmal aus dem Induktionsschritt:
(II) $ [mm] 2^{x+1} \ge (x+1)^2 [/mm] $ (was wir ja beweisen wollen)

Nun stelle ich mir (I) und (II) zusammengefasst so vor:
$ [mm] (x+1)^2 \le 2^{x+1} \ge [/mm] 2 * [mm] x^2 [/mm] $

$ [mm] (x+1)^2 [/mm] $ muss also "kleiner-gleich allem sein, was rechts steht" oder eben "kleiner-gleich allem, was links steht", also:
$ [mm] 2^{x+1} \ge [/mm] 2 * [mm] x^2 \ge (x+1)^2 [/mm] $


Ich dürfte also NICHT stattdessen schreiben,
$ 2 * [mm] x^2 \le 2^{x+1} \ge (x+1)^2 [/mm] $ [mm] \gdw [/mm] $ [mm] 2^{x+1} \ge (x+1)^2 \ge [/mm] 2 * [mm] x^2$, [/mm]
weil?



Bezug
                                        
Bezug
Transitivität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:55 Fr 24.07.2015
Autor: tobit09

Hallo magics!



> Aus der Induktionsvoraussetzung erhalten wir
>  
> [mm]2^x \ge x^2[/mm] und [mm]2 * 2^x \ge 2 * x^2 [/mm],
>  
> die beide das gleiche beschreiben.

Ja.


> Jetzt kann man [mm]2 * 2^x \ge 2 * x^2[/mm] aus der
> Induktionsvoraussetzung auch als [mm]2^{x+1} \ge 2 * x^2[/mm]
> schreiben.

Ja.


> Wir haben jetzt also einmal aus der
> Induktionsvoraussetzung:
>  (I) [mm]2^{x+1} \ge 2 * x^2[/mm]
>  
> und einmal aus dem Induktionsschritt:
>  (II) [mm]2^{x+1} \ge (x+1)^2[/mm] (was wir ja beweisen wollen)

Ja. (I) dürfen wir voraussetzen, (II) wollen wir beweisen.


> Nun stelle ich mir (I) und (II) zusammengefasst so vor:
>  [mm](x+1)^2 \le 2^{x+1} \ge 2 * x^2[/mm]

Ein Mischmasch aus Vorausgesetztem und zu Zeigendem erscheint mir nicht sonderlich sinnvoll...


> [mm](x+1)^2[/mm] muss also "kleiner-gleich allem sein, was rechts
> steht"

Unter

      [mm] "$(x+1)^2 \le 2^{x+1} \ge [/mm] 2 * [mm] x^2$" [/mm]

verstehe ich die Aussage

      [mm] "$(x+1)^2\le 2^{x+1}$ [/mm] und [mm] $2^{x+1}\ge 2*x^2$". [/mm]


> oder eben "kleiner-gleich allem, was links steht",
> also:
>  [mm]2^{x+1} \ge 2 * x^2 \ge (x+1)^2[/mm]

Das ist zwar nicht die gleiche Aussage, aber tatsächlich gilt sie, wie Fred bewiesen hat.

Aus der Transitivität von [mm] $\ge$ [/mm] folgt somit wie gewünscht (II).


> Ich dürfte also NICHT stattdessen schreiben,
>  [mm]2 * x^2 \le 2^{x+1} \ge (x+1)^2[/mm] [mm]\gdw[/mm]  [mm]2^{x+1} \ge (x+1)^2 \ge 2 * x^2[/mm],
>  
> weil?

Es gilt anstelle deines [mm] $\gdw$ [/mm] zwar [mm] $\Leftarrow$, [/mm] aber im Allgemeinen nicht [mm] $\Rightarrow$, [/mm] wie du dir z.B. am Beispiel $x=4$ überlegen kannst.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                                
Bezug
Transitivität: Danke!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:11 Fr 24.07.2015
Autor: magics

Trotzdem auf jeden Fall vielen Dank für deine Antwort! Ich denke ich komme dahinter, wenn ich noch ein paar Beispiele rechne.

lg
magics

Bezug
                        
Bezug
Transitivität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:05 Fr 24.07.2015
Autor: tobit09


> Ich verstehs nicht...
>  
> [mm]2^{x+1} \ge 2 * x^2[/mm] und
>  [mm]2^{x+1} \ge 2^{x+1}[/mm]
>  
> Ist doch wie
>  
> A [mm]\ge[/mm] B
>  A [mm]\ge[/mm] C
>  
> Dann kann B [mm]\ge[/mm] C oder auch B [mm]\le[/mm] C sein...

Im Allgemeinen ja.

Im obiger Situation mit [mm] $A=2^{x+1}$, [/mm] $B=2 * [mm] x^2$ [/mm] und [mm] $C=2^{x+1}$ [/mm] ist jedoch zusätzlich $C=A$.
Also haben wir [mm] $C=A\ge [/mm] B$ und somit [mm] $C\ge [/mm] B$.


Alternative Erklärung:

Aus

> [mm]2^{x+1} \ge 2 * x^2[/mm] und
>  [mm]2^{x+1} \ge 2^{x+1}[/mm]

folgt direkt und ohne deine "A,B,C-Überlegung" die Ungleichung [mm] $2^{x+1}\ge2*x^2$. [/mm]


Noch eine andere Erklärung:

[mm] $2^{x+1}\ge 2^{x+1}$ [/mm] ist keine wahnsinnig tiefsinnige Erkenntnis.
Freds Beweis kommt völlig ohne sie aus.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Relationen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]