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Hallo,
Ich habe hier in einem Buch als Beispiel die Ungleichheits-Relation stehen:
[mm] M=\IZ
[/mm]
R [mm] \subseteq [/mm] MxM
Seien x, y [mm] \in [/mm] M, dann gilt: [mm] (x,y)\in [/mm] R [mm] \gdw [/mm] x [mm] \not= [/mm] y
In dem Buch steht, dass diese Relation nicht transitiv sei. Die Begründung:
Die Relation R ist nicht transitiv, denn es gilt: [mm] 2\not=3 [/mm] und [mm] 3\not=2, [/mm] aber nicht [mm] 2\not=2.
[/mm]
Ist diese Begründung nicht falsch?
Die Definition der Transitivität lautet doch:
Für alle a, b, c [mm] \in [/mm] M gilt: (a,b) [mm] \in [/mm] R [mm] \wedge [/mm] (b, c) [mm] \in [/mm] R [mm] \Rightarrow [/mm] (a,c) [mm] \in [/mm] R.
In der Definition ist die Rede von 3 verschiedenen Elementen. Im Nachweis aus dem Buch werden jedoch nur 2 Elemente verwendet und nicht 3 verschiedene.
Meiner Meinung nach ist die ungleichrelation nämlich transitiv.
Meine Begrüng für die Transitivität wäre:
Die Relation R ist transitiv, weil für alle x, y, z [mm] \in [/mm] R gilt: Wenn x [mm] \not= [/mm] y ist und y [mm] \not= [/mm] z ist, dann ist x [mm] \not= [/mm] z.
Habe ich recht oder übersehe ich da etwas?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:34 Mi 27.02.2013 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Hallo,
>
> Ich habe hier in einem Buch als Beispiel die
> Ungleichheits-Relation stehen:
>
>
> [mm]M=\IZ[/mm]
>
> R [mm]\subseteq[/mm] MxM
>
> Seien x, y [mm]\in[/mm] M, dann gilt: [mm](x,y)\in[/mm] R [mm]\gdw[/mm] x [mm]\not=[/mm] y
>
>
> In dem Buch steht, dass diese Relation nicht transitiv sei.
> Die Begründung:
> Die Relation R ist nicht transitiv, denn es gilt: [mm]2\not=3[/mm]
> und [mm]3\not=2,[/mm] aber nicht [mm]2\not=2.[/mm]
>
>
> Ist diese Begründung nicht falsch?
Diese Begründung ist richtig.
Es wird ein Gegenbeispiel angeführt.
>
> Die Definition der Transitivität lautet doch:
> Für alle a, b, c [mm]\in[/mm] M gilt: (a,b) [mm]\in[/mm] R [mm]\wedge[/mm] (b, c)
> [mm]\in[/mm] R [mm]\Rightarrow[/mm] (a,c) [mm]\in[/mm] R.
>
> In der Definition ist die Rede von 3 verschiedenen
> Elementen. Im Nachweis aus dem Buch werden jedoch nur 2
> Elemente verwendet und nicht 3 verschiedene.
Es werden 3 Elemente aufgeführt. Es wird aber nicht gefordert, dass es
verschiedene Elemente sind. Wäre das so, müsste das ausdrücklich
in der Definition stehen.
Was aber in der Definition steht: Es muss für alle a,b,c [mm] $\in$ [/mm] M
gelten; dann auch für gleiche.
>
> Meiner Meinung nach ist die ungleichrelation nämlich
> transitiv.
> Meine Begrüng für die Transitivität wäre:
> Die Relation R ist transitiv, weil für alle x, y, z [mm]\in[/mm] R
> gilt: Wenn x [mm]\not=[/mm] y ist und y [mm]\not=[/mm] z ist, dann ist x
> [mm]\not=[/mm] z.
Nein, das ist keine stichhaltige Begründung.
x kann ja alles mögliche sein, nur nicht = y.
Ebenso z.
Deshalb kann der Fall eintreten x = z.
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> Habe ich recht oder übersehe ich da etwas?
>
>
>
Gruß
meili
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:57 Mi 27.02.2013 | | Autor: | Peeter123 |
Hallo meili,
> Es werden 3 Elemente aufgeführt. Es wird aber nicht
> gefordert, dass es
> verschiedene Elemente sind. Wäre das so, müsste das
> ausdrücklich
> in der Definition stehen.
> Was aber in der Definition steht: Es muss für alle a,b,c
> [mm]\in[/mm] M
> gelten; dann auch für gleiche.
>
Bei Definitionen dieser Art dachte ich bisher immer, dass (hier im Beispiel) a, b und c verschieden sein müssten....Gut, dass ich hier nochmal nachgefragt habe.
Danke für deine Hilfe ;)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:00 Mi 27.02.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
hast du dir mal (mit deiner Methode) überlegt, ob die Gleichheitsrelation transitiv ist ?
Gruß Sax.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:28 Mi 27.02.2013 | | Autor: | Peeter123 |
> hast du dir mal (mit deiner Methode) überlegt, ob die
> Gleichheitsrelation transitiv ist ?
Hallo,
Inzwischen ist es mir klar geworden. Aber selbst mit meiner (falschen) Methode anfangs (in der a, b und verschieden sein mussten), würde ich bereits darauf kommen, dass die Gleichheitsrelation transitiv ist.
(a=b [mm] \wedge [/mm] b=c) [mm] \Rightarrow [/mm] a=c.
[mm] \gdw (a\not=b \vee b\not=c) \vee [/mm] a=c Und dies ist für alle a, b, c [mm] \in [/mm] M wahr (Wenn M jetzt die Menge der Relation sei mit MxM).
Kann man sich auch darüber klar machen, dass es nur 5 verschiedene Fälle gibt:
a=b=c
[mm] a\not=b\not=c
[/mm]
Nur a und b sind gleich
Nur b und c sind gleich
Nur a und c sind gleich
Für alle 5 Fälle ist die obige Aussage wahr.
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