Translationsinvarianz < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:48 So 30.01.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
Ist [mm] \mu [/mm] ein translationsinvariantes Maß auf der Lebesgue-[mm] \sigma [/mm]-Algebra [mm] \mathcal{M}(\IR^n) [/mm] mit [mm] \mu([0,1]^n)=C<\infty, [/mm] so ist [mm] \mu=Cm. [/mm] |
Meine erste Frage ist: Was soll hier m sein? Ich vermute, damit ist das Lebesgue-Maß gemeint.
Meine zweite Frage:
Wie ist der Ansatz um dies zu zeigen?
[Ich vermute, diese Aufgabe ist sehr schwer, denn sie wird mit 5 Punkten bewertet.]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:10 Mo 31.01.2011 | | Autor: | dennis2 |
Hat niemand einen Denkanstoß für mich?
[Ist die Frage vllt. unsauber formuliert?]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:25 Mo 31.01.2011 | | Autor: | Berieux |
Hallo!
Es wäre ganz gut zu wissen, ob ihr irgendwas schon in der Vorlesung als Vorbereitung gemacht habt.
Ansonsten muss man schon einiges an Arbeit reinstecken. Ich wüßte jetzt nicht ob ich auf anhieb alle Details ausformulieren könnte, deshalb lass ich die Frage offen.
Vorgehen könntest du wie folgt:
du zeigst die Aussage zunächst für C =1. Der allgemeine Fall folgt dann sofort.
Hierzu könntest du folgende Schritte gehen:
1) Zeige dass alle beschränkten Borelmengen bzgl [mm] \mu [/mm] endliches Maß haben.
2)Zeige dass der Rand von Quadern Maß 0 hat.
3) Zeige jetzt die Aussage für rationale Quader; zunächst für rationale Würfel (hier geht die Translationsinvarianz ein), benutze dann dass jeder rationale Quader sich als disjunkte (bis auf den Rand, der aber eine Nullmenge ist) Vereinigung von rationalen Würfeln schreiben lässt.
4) Zeige jetzt die Aussage für allgemeine Quader. Benutze dass jeder Quader sich schreiben lässt als [mm] Q=\bigcup_{i}Q_i [/mm](warum?). Wobei die [mm] Q_i [/mm] eine aufsteigende Folge rationaler Quader bilden.
5)Zeige die Aussage für beschränkte Borelmengen.
6) Zeige die Aussage für allgemeine Borelmengen. Benutze, dass sich jede Borelmenge schrieben lässt als [mm] B=\bigcup_{i}B_i [/mm] wobei [mm] (B_i) [/mm] eine aufsteigende Folge beschränkter Borelmengen ist.
Grüße,
Berieux
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:41 Mo 31.01.2011 | | Autor: | fred97 |
1. Mein Vorredner hat es schon gesagt: die Hilfsmittel, die Ihr zur Verfügung habt, kennen wir nicht.
2. Wieder einmal muß ich sagen: diese Aufgabe ist als Übungsaufgabe viel zu schwer !
3. Schau mal in das Buch
D.L. Cohen: Measure Theory (Birkhäuser)
Lemma 1.4.2, Proposition 1.4.3, Proposition1.4.5.
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:00 Mo 31.01.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Ich bin richtig froh, dass mir mal ein Experte sagt, dass die Übungsaufgabe zu schwer ist!
Also ich habe das Buch
"Maß- und Integrationstheorie" von J. Elstrodt zur Hand genommen und dort etwas zu meiner Aufgabe gefunden. Ich gebe aber zu, dass ich nicht allzu viel verstehe.
Eventuell kann es mir jemand verständlich(er) machen! |
Und zwar braucht man für den Beweis wohl ein Korollar (*) und einen Satz (**), die meines Wissens so in der Vorlesung nicht vorkamen.
(*)
Ist [mm] \mu [/mm] ein translationsinvariantes Maß auf [mm] \mathcal{M}(\IR^n) [/mm] mit [mm] \mu([0,1]^n)=1\Rightarrow \mu=m [/mm] (Lebesgue-Maß)
(**)
Ist [mm] \mu [/mm] ein translationsinvariantes Maß auf [mm] \mathcal{M}(\IR^n) [/mm] mit [mm] \mu(]0,1]^n)=1\Rightarrow \mu=m
[/mm]
Und dann lautet der Beweis der Aufgabe:
1. Fall:
[mm] C=0\Rightarrow \mu(]0,1]^n)=0
[/mm]
[mm] \mu(\IR^n)=\mu(\bigcup_{g\in \IZ^n}(]0,1]^n+g))=\summe_{g\in \IZ^n}\mu(]0,1]^n)=0, [/mm] also [mm] \mu=0.
[/mm]
2. Fall:
[mm] C>0\Rightarrow C^{-1}\mu [/mm] erfüllt die Voraussetzungen von (*) [mm] \Rightarrow [/mm] Behauptung.
Ich habe dann, weil ich sowieso schon alles abgeschrieben habe, noch die Beweise zu (*) und (**) übernommen, aber ich glaube, darauf verzichte ich hier lieber.
Ich verstehe - ehrlich gesagt - ohnehin nur Bahnhof.
PS. Wenn ich Blödsinn aufgeschrieben habe, so liegts an mir, nicht am herangezogenen Buch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:12 Mo 31.01.2011 | | Autor: | gfm |
> Ich bin richtig froh, dass mir mal ein Experte sagt, dass
> die Übungsaufgabe zu schwer ist!
>
> Also ich habe das Buch
>
> "Maß- und Integrationstheorie" von J. Elstrodt zur Hand
> genommen und dort etwas zu meiner Aufgabe gefunden. Ich
> gebe aber zu, dass ich nicht allzu viel verstehe.
>
> Eventuell kann es mir jemand verständlich(er) machen!
>
> Und zwar braucht man für den Beweis wohl ein Korollar (*)
> und einen Satz (**), die meines Wissens so in der Vorlesung
> nicht vorkamen.
>
> (*)
> Ist [mm]\mu[/mm] ein translationsinvariantes Maß auf
> [mm]\mathcal{M}(\IR^n)[/mm] mit [mm]\mu([0,1]^n)=1\Rightarrow \mu=m[/mm]
> (Lebesgue-Maß)
>
> (**)
> Ist [mm]\mu[/mm] ein translationsinvariantes Maß auf
> [mm]\mathcal{M}(\IR^n)[/mm] mit [mm]\mu(]0,1]^n)=1\Rightarrow \mu=m[/mm]
>
> Und dann lautet der Beweis der Aufgabe:
>
> 1. Fall:
> [mm]C=0\Rightarrow \mu(]0,1]^n)=0[/mm]
>
> [mm]\mu(\IR^n)=\mu(\bigcup_{g\in \IZ^n}(]0,1]^n+g))=\summe_{g\in \IZ^n}\mu(]0,1]^n)=0,[/mm]
> also [mm]\mu=0.[/mm]
>
> 2. Fall:
> [mm]C>0\Rightarrow C^{-1}\mu[/mm] erfüllt die Voraussetzungen von
> (*) [mm]\Rightarrow[/mm] Behauptung.
>
>
> Ich habe dann, weil ich sowieso schon alles abgeschrieben
> habe, noch die Beweise zu (*) und (**) übernommen, aber
> ich glaube, darauf verzichte ich hier lieber.
>
>
> Ich verstehe - ehrlich gesagt - ohnehin nur Bahnhof.
>
> PS. Wenn ich Blödsinn aufgeschrieben habe, so liegts an
> mir, nicht am herangezogenen Buch.
Wieso, das paßt doch. Du ziehst im Prinzip die Aussage heran, dass es nur ein translationsinvariantes Maß auf dem [mm] \IR^n [/mm] gibt, welches den Einheitswürfeln das Maß 1 zuordnet. (*)
Dann zeigst Du für den Fall, dass C=0 ist, dass der gesamte [mm] \IR^n [/mm] mit abzählbar vielen [mm] \mu-Null-Mengen [/mm] überdeckt werden kann. und somit ein Nullmaß [mm] \mu [/mm] vorliegt, für das dann natürlich [mm] \mu=0*\lambda [/mm] gilt.
Und wenn [mm] c\not=0 [/mm] ist [mm] \mu/c [/mm] auch ein translationsinvariantes Maß, welches zudem noch dem Einheitswürfel das Maß 1 erteilt. Davon gibt es nur eins.
Und wenn (*) als aus der Vorlesung gegeben zitiert werden darf, dann ist doch alles gut, oder?
LG
gfm
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:32 Di 01.02.2011 | | Autor: | dennis2 |
(*) ist nicht aus der Vorlesung bekannt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:58 Di 01.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> (*) ist nicht aus der Vorlesung bekannt.
ich habs doch gesagt: diese Aufgabe ist als Übungsaufgabe viel zu schwer !
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:33 Do 03.02.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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