Transponieren von Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo, das neue LA Blatt und ich habe keinen Plan.
Also
1. f ist eine lineare Abbildung f: Mat(2x2,IR) -> Mat(2x2,IR) A->A T
also die Abbildung die A transponiert.
Nun soll ich Eigenwerte von f bestimmen und sagen ob f diagonalisierbar ist. Und die Basis B von Mat(2x2,IR) so dass M B,B (f) diagonalisierbar ist.
Ich hab keinen Plan wie die Matrix ausschaut, die die Abbildung leistet. Reele Zahlen werden da ja wohl nicht drin stehn.
Wie ich den ganzen Krempel (Eigenwerte Basis pi pa po) weiss ich aber ich aber nicht wie die Matrix ausschaut.
2. Ich soll zeigen dass die Matrizen AB und BA gleiches charakteristisches Polynom haben. (A und B sind quadratische Matrizen)
Gibt es da einen coolen Trick oder soll ich von der allgemeinsten form eines Matrixeintrages ausgehn.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Pretender,
> 1. f ist eine lineare Abbildung f: Mat(2x2,IR) ->
> Mat(2x2,IR) A->A T
>
> also die Abbildung die A transponiert.
>
> Nun soll ich Eigenwerte von f bestimmen und sagen ob f
> diagonalisierbar ist. Und die Basis B von Mat(2x2,IR) so
> dass M B,B (f) diagonalisierbar ist.
>
> Ich hab keinen Plan wie die Matrix ausschaut, die die
> Abbildung leistet. Reele Zahlen werden da ja wohl nicht
> drin stehn.
laut Aufgabenstellung ist das die Abbildung:
[mm]
\begin{gathered}
f(A)\; = \;A^T \hfill \\
f\left( {\begin{array}{*{20}c}
{a_{11} } & {a_{12} } \\
{a_{21} } & {a_{22} } \\
\end{array} } \right)\; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{a_{11} } & {a_{21} } \\
{a_{12} } & {a_{22} } \\
\end{array} } \right) \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Und genauso sieht auch die Matrix aus:
[mm]\left( {\begin{array}{*{20}c}
{a_{11} } & {a_{21} } \\
{a_{12} } & {a_{22} } \\
\end{array} } \right)[/mm]
Gruß
MathePower
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Also irgendwie ist das total seltsam. Also ich hab zwar jetzt ein paar Bier getrunken, aber trotzdem kauf ich dir das nicht ab. Wieso soll die Funktionsmatrix f so ausschauen wie die andere Matrix. Die Funktion f kennt die doch gar nicht. Weiss nicht was a11 ist um es mal harmlos auszudrücken.
Ich hatte mir so was überlegt mit Vektoren als Matrix einträge die es dann so hinbiegen mit skalarmultiplikation dass dann die Transponierte Matrix bei rum kommt.
Kann vielleicht noch jemand anderes was dazu sagen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:22 Do 05.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo Pretender
also mir geht es ähnlich wie dir: ich habe ein Paar Gläser Wein getrunken, und ich kaufe das auch noch nicht ganz ab!
Ich habe mir das so überlegt: Eine Matrix kann auch aufgefasst werden als ein Vektor der Dimension $m*n$, falls es sich um eine m,n-Matrix handelt. Einfach, indem man die Zeilen nacheinander hinschreibt. Etwa so:
$ [mm] \pmat{a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}} [/mm] := [mm] \vektor{a_{11}\\a_{12}\\a_{21}\\a_{22}}$
[/mm]
Somit gilt:
Das Bild von [mm] $\vektor{a_{11}\\a_{12}\\a_{21}\\a_{22}}$ [/mm] unter der Abbildung f ist: [mm] $\vektor{a_{11}\\a_{21}\\a_{12}\\a_{22}}$
[/mm]
Somit ergibt sich für die Matrix von f:
[mm] $\pmat{1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1}$
[/mm]
Kommst du so ein wenig weiter? 
Mit lieben Grüssen
Prost!
Ähhh... Paul
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Danke,
das war die coole Idee die mir gefehlt hat.
wie schauts aus mit Frage 2 ich hab schon versucht mal auf zu schreiben was das ist AB und BA (also allgemein) und dann das charakteristische Polynom zu berechnen. Aber das wird irgenwie total umfangreich. Gibt es nicht noch ne andere Möglichkeit da ran zu gehn?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:21 Do 05.05.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
ich hab zwar noch keinen Alkohol getrunken, aber Mist kann bei mir trotzdem rauskommen:
du musst doch nur zeigen, dass $ [mm] \det(AB-x*E)=\det(BA-x*E) [/mm] $ , oder?
reicht dann nicht schon:
$ [mm] \det(B) [/mm] * [mm] \det(AB-x*E)=\det(BAB-x*B)=\det(BA-x*E) [/mm] * [mm] \det(B) [/mm] $
ist schon was lher mit dem CharPoly bei mir...
viele Grüße
DaMenge
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gut darauf hät ich selbst kommen können. Bin zu tief abgestiegen in die Matrixschreibweise.
Also das sieht ja schon mal sehr gut aus. Aber was ist mit det(A) = 0 dann folgt die Behauptung nicht mehr??
Ist ja nicht ausgeschlossen nach Aufgabenstellung.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:28 Fr 06.05.2005 | | Autor: | SEcki |
> Also das sieht ja schon mal sehr gut aus. Aber was ist mit
> det(A) = 0 dann folgt die Behauptung nicht mehr??
Doch, was sollte sich denn ändern? (Ihr betrachtet nur Determinaten über Vektorräumen und nicht über Moduln, oder?)
SEcki
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