matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenPartielle DifferentialgleichungenTransportgleichung
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Partielle Differentialgleichungen" - Transportgleichung
Transportgleichung < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Partielle Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Transportgleichung: Separationsansatz richtig ?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:50 Do 22.01.2009
Autor: crashby

Aufgabe
Lösen Sie die Transportgleichung

$ [mm] u_t+a(x)u_x=0, a(x)\not [/mm] =0 $

$ [mm] u(x,t)=T(t)\cdot X(x)=T\cdot [/mm] X $

Separationsansatz:


$ [mm] T'X+a(x)\cdot [/mm] TX'=0 $

$ [mm] T'X=-a(x)\cdot [/mm] TX' $

$ [mm] \frac{T'}{T}=-a(x)\cdot \frac{X'}{X}$ [/mm]

nun hängt die linke Seite nur von t und die rechte von X ab

das DGL system lautet somit:

$ [mm] T'=\lambda \cdot [/mm] T $
$ [mm] X'=-\frac{x\cdot \lambda}{a(x)} [/mm] $

ich bin mir bei dem a(x) nicht sichr

wäre cool, wenn mal einer rüber schauen koennte.

danke


        
Bezug
Transportgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:15 Do 22.01.2009
Autor: MathePower

Hallo crashby,

> Lösen Sie die Transportgleichung
>  
> [mm]u_t+a(x)u_x=0, a(x)\not =0[/mm]
>  
> [mm]u(x,t)=T(t)\cdot X(x)=T\cdot X[/mm]
>  
> Separationsansatz:
>  
>
> [mm]T'X+a(x)\cdot TX'=0[/mm]
>  
> [mm]T'X=-a(x)\cdot TX'[/mm]
>  
> [mm]\frac{T'}{T}=-a(x)\cdot \frac{X'}{X}[/mm]
>  
> nun hängt die linke Seite nur von t und die rechte von X ab
>
> das DGL system lautet somit:
>  
> [mm]T'=\lambda \cdot T[/mm]
>  [mm]X'=-\frac{x\cdot \lambda}{a(x)}[/mm]


Das sieht gut aus.

Kleine Korrektur: [mm]X'=-\frac{\blue{X}\cdot \lambda}{a(x)}[/mm]


>  
> ich bin mir bei dem a(x) nicht sichr
>  
> wäre cool, wenn mal einer rüber schauen koennte.
>  
> danke
>  
>  


Gruß
MathePower

Bezug
                
Bezug
Transportgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:17 Do 22.01.2009
Autor: crashby

Hallo, ist das die ganze Lösung der Aufgabe oder was muss ich jetzt noch machen ?

lg

Bezug
                        
Bezug
Transportgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:31 Fr 23.01.2009
Autor: Martinius

Hallo,

> Hallo, ist das die ganze Lösung der Aufgabe oder was muss
> ich jetzt noch machen ?
>  
> lg


Jetzt musst Du deine beiden DGL noch lösen. Z. B.:

[mm] $\bruch{T'}{T}=\lambda$ [/mm]

[mm] $\integral\bruch{1}{T(t)}\;dT=\integral\lambda\;dt$ [/mm]

[mm] $ln|T|=\lambda*t+ln|C|$ [/mm]

[mm] $T(t)=C*e^{\lambda*t}$ [/mm]


Für X(x) ebenso lösen, dann die beiden Funktionen miteinander multiplizieren.

LG, Martinius

Bezug
                                
Bezug
Transportgleichung: 2.dgl
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:45 So 25.01.2009
Autor: crashby

Hallo vielen Dank erstmal für die Tipps.
$ [mm] X'=-\frac{X\cdot \lambda}{a(x)} [/mm] $

das hab ich so umgeformt und dan TdV benutzt

[mm] $\frac{a(x)X'}{X}=\lambda [/mm] $

[mm] $\int \frac{a(x)}{x}\; dx=\int \lambda\; [/mm] dx $
habe für die zweite das raus:

$ [mm] X=c\cdot e^{\frac{\lambda \cdot x}{a(x)}} [/mm] $

stimmt das ?

Bezug
                                        
Bezug
Transportgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:48 So 25.01.2009
Autor: Martinius

Hallo,

> Hallo vielen Dank erstmal für die Tipps.
>  [mm]X'=-\frac{X\cdot \lambda}{a(x)}[/mm]
>  
> das hab ich so umgeformt und dan TdV benutzt
>  
> [mm]\frac{a(x)X'}{X}=\lambda[/mm]
>  
> [mm]\int \frac{a(x)}{x}\; dx=\int \lambda\; dx[/mm]
>  habe für die
> zweite das raus:
>  
> [mm]X=c\cdot e^{\frac{\lambda \cdot x}{a(x)}}[/mm]
>  
> stimmt das ?


Ich fürchte nicht. TdV ist aber der richtige Weg.

[mm]\frac{a(x)X'}{X}=-\lambda[/mm]

Nun müsstest Du nach abhängiger und unabhängiger Variable trennen. Die unabhängige ist x, die abhängige X (also X(x)).


[mm] $\bruch{1}{X}\;dX [/mm] = [mm] -\lambda*\bruch{1}{a(x)}\;dx$ [/mm]


LG, Martinius


Bezug
                                                
Bezug
Transportgleichung: Danke
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:00 Mo 26.01.2009
Autor: crashby

Hey, okay a(x) ist ja ungleich 0 also kann ich vor das Integral ziehen.
Nun hab ich das raus:

$ [mm] X=e^{-\frac{\lambda x}{a(x)}+C}=e^{-\frac{\lambda x}{a(x)}}\cdot e^C [/mm] $

Ich muss ja dann noch das Produkt T(t)*X(x) bilden um die Lösung der partiellen DGL zu bestimmen. Habe ich dann 2 Konstansten also [mm] c_1 [/mm] und [mm] c_2 [/mm] ?

Danke für die Hilfe

Bezug
                                                        
Bezug
Transportgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:17 Mo 26.01.2009
Autor: Martinius

Hallo crasby,

> Hey, okay a(x) ist ja ungleich 0 also kann ich vor das
> Integral ziehen.


Nein. a(x) ist eine Funktion von x, der unabhängigen Variablen, und muss integriert werden. Wie a(x) schon sagt.




> Nun hab ich das raus:
>  
> [mm]X=e^{-\frac{\lambda x}{a(x)}+C}=e^{-\frac{\lambda x}{a(x)}}\cdot e^C[/mm]
>  
> Ich muss ja dann noch das Produkt T(t)*X(x) bilden um die
> Lösung der partiellen DGL zu bestimmen. Habe ich dann 2
> Konstansten also [mm]c_1[/mm] und [mm]c_2[/mm] ?
>  



LG, Martinius

> Danke für die Hilfe


Bezug
                                                                
Bezug
Transportgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:54 Mo 26.01.2009
Autor: crashby

Hallo nagut da hab ich was vertauscht :)

$ [mm] \int \frac{1}{x} \;dx=-\lambda \int \frac{1}{a(x)}\;dx [/mm] $

$ => [mm] ln|X|=-\lambda\cdot [/mm] ln|a(x)| $

mit $ [mm] -\lambda\cdot [/mm] ln|a(x)| <=> [mm] ln|a(x)|^{-\lambda} [/mm] $ folgt dann

$ [mm] X=c\cdot a(x)^{-\lambda} [/mm] $

und nun $ [mm] u(x,t)=T(t)\cdot [/mm] X(x)=... $ ?

Bezug
                                                                        
Bezug
Transportgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:28 Mo 26.01.2009
Autor: Martinius

Hallo Crashby,

> Hallo nagut da hab ich was vertauscht :)
>  
> [mm]\int \frac{1}{x} \;dx=-\lambda \int \frac{1}{a(x)}\;dx[/mm]
>
> [mm]=> ln|X|=-\lambda\cdot ln|a(x)|[/mm]




Das würde nur gelten, wenn a(x)=x, oder a(x)=x+b.

Was wäre, wenn [mm] a(x)=(ax^3+bx^2+cx+d)^5 [/mm] , oder a(x)=arccos(x), oder vielleicht eine elementar gar nicht integrierbare Funktion wäre, wie z. B. [mm] a(x)=e^{x^2} [/mm] ?

Da keine weiteren Informationen über a(x) vorliegen, muss man - bis auf weiteres - schreiben:

[mm] $ln|X|=-\lambda*\integral \bruch{1}{a(x)}dx [/mm] + [mm] \tilde [/mm] C$

[mm] $X(x)=C*e^{-\lambda\integral \bruch{1}{a(x)}dx}$ [/mm]



  

> mit [mm]-\lambda\cdot ln|a(x)| <=> ln|a(x)|^{-\lambda}[/mm] folgt
> dann
>  
> [mm]X=c\cdot a(x)^{-\lambda}[/mm]
>  
> und nun [mm]u(x,t)=T(t)\cdot X(x)=...[/mm] ?


Und nun darfst Du multiplizieren...

LG, Martinius


Bezug
                                                                                
Bezug
Transportgleichung: vielen Dank
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:14 Di 27.01.2009
Autor: crashby

Hey danke für die hilfe habe wieder was dazu gelernt :)

lg

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Partielle Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]