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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:10 Mi 24.10.2012 | | Autor: | Lustique |
| Aufgabe | | Es seien $i, [mm] j\in [/mm] [1, n]$ verschiedene Zahlen. Man schreibe die Transposition $(i, j)$ als Produkt von Transpositionen der Form $(1, k)$, wo [mm] $k\in [/mm] [2,n]$. |
Hallo allerseits,
ich habe, denke ich mal, eine Lösung für diese Aufgabe gefunden. Das ging aber im Grunde genommen so schnell, dass ich denke, ich habe da was übersehen, bzw. muss meine Lösung noch mal überarbeiten. Also, meine Lösung ist die Folgende:
1. Fall: Seien $i, [mm] j\neq [/mm] 1 [mm] \Rightarrow [/mm] i, [mm] j\geqslant [/mm] 2$
$(i, j) = (1, [mm] i)\circ(1, j)\circ(1, [/mm] i)$
2. Fall: OBdA $i=1 [mm] \Rightarrow k\neq [/mm] 1 [mm] \Rightarrow k\geqslant [/mm] 2$
$(i, j) = (1, j)$,
bzw. $(i, j)$ ist schon von der gewünschten Form (zur Not dann halt $i$ und $j$ innerhalb der Klammern vertauschen).
Nur
1. Kommt mir das irgendwie viel zu einfach vor.
2. Ist die Fallunterscheidung nötig, bzw. darf ich die so überhaupt benutzen? Im Fall $i=1$ ist ja $(1, [mm] i)=\mathrm{id}$ [/mm] (schreibt man das in diesem Fall so?), stört also nicht beim 1. Fall. Ist allerdings $j=1$, dann wäre ja $(1, [mm] i)\circ(1, j)\circ(1, i)=\mathrm{id}$ [/mm] und nicht $(i, j)=(i, 1)$.
Kann man das allgemein aufschreiben, ohne irgendwelche Fallunterscheidungen?
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Hi,
dein Produkt von Transpositionen ist richtig.
Meines Erachtens ist da keine Fallunterscheidung nötig, da (i,j)=(j,i) ist.
Damit gilt dein Argument von i auch für j auf grund der Symmetrie.
Da i=j bei Transpositionen (i,j) keinen Sinn macht kann man o.B.d.A i<j annehmen bei
(i,j)=(1,i)(1,j)(1,i)
da erübrigt sich jegliche Fallunterscheidung
gruß
wieschoo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:25 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Lustique |
Danke! Ich habs, als ichs nochmal überarbeitet habe, dann auch so gemacht.
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