Transzendenz < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweisen Sie, dass aus der Transzendenz von [mm] $\omega\in [/mm] C$ bereits die Transzendenz der beiden Werte
[mm] \omega_+=\omega+\frac{1}{\omega}
[/mm]
[mm] \omega_-=\omega-\frac{1}{\omega}
[/mm]
folgt.
Tipp: Wenn Sie z.B. davon ausgehen, dass [mm] \omega_+ [/mm] algebraisch ist, erhalten Sie einen Ausdruck in [mm] \omega, [/mm] der gleich 0 ist. Durch geeignete Multiplikation lässt sich daraus ein polynomialer Ausdruck erzeugen. |
ch habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt
Hallo Zusammen!
Ich weiß hier leider nicht weiter, kann mir jemand helfen?
Folgendes hab ich mal gemacht:
Annahme: [mm] \omega_+ [/mm] sei algebraisch, d.h. es gibt ein Polynom
[mm] P(\omega_+)=a_0\cdot\omega_++a_1\cdot\omega_++a_2\cdot\omega_++...+a_n\cdot\omega_+=0
[/mm]
mit rationalen Koeffizienten [mm] a_k\in [/mm] Q, k=0,...,n
Da [mm] \omega_+=\omega^2+1 [/mm] ist, gilt:
[mm] P(\omega^2+1)&=a_0(\omega^2+1)^0+a_1\cdot(\omega^2+1)^1+a_2\cdot(\omega^2+1)^2+...+a_n\cdot(\omega^2+1)^n=0
[/mm]
[mm] =a_0+a_1\omega^2+a_1+a_2(\omega^4+2\omega^2+1)+a_3(\omega^6+2\omega^4+\omega^2+\omega^4+2\omega^2+1)+...
[/mm]
Was muss ich hier nun tun? Und ist das Vorgehen bei [mm] \omega_- [/mm] dasselbe?
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> Beweisen Sie, dass aus der Transzendenz von [mm]\omega\in C[/mm]
> bereits die Transzendenz der beiden Werte
>
> [mm]\omega_+=\omega+\frac{1}{\omega}[/mm]
> [mm]\omega_-=\omega-\frac{1}{\omega}[/mm]
> folgt.
> Tipp: Wenn Sie z.B. davon ausgehen, dass [mm]\omega_+[/mm]
> algebraisch ist, erhalten Sie einen Ausdruck in [mm]\omega,[/mm] der
> gleich 0 ist. Durch geeignete Multiplikation lässt sich
> daraus ein polynomialer Ausdruck erzeugen.
> ch habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt
>
> Hallo Zusammen!
> Ich weiß hier leider nicht weiter, kann mir jemand
> helfen?
> Folgendes hab ich mal gemacht:
> Annahme: [mm]\omega_+[/mm] sei algebraisch, d.h. es gibt ein
> Polynom
>
> [mm]P(\omega_+)=a_0\cdot\omega_++a_1\cdot\omega_++a_2\cdot\omega_++...+a_n\cdot\omega_+=0[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
[mm]P(\omega_+)=a_0+a_1\cdot\omega_++a_2\cdot\omega_+^2+...+a_n\cdot\omega_+^n=0[/mm]
>
> mit rationalen Koeffizienten [mm]a_k\in[/mm] Q, k=0,...,n
> Da [mm]\omega_+=\omega^2+1[/mm] ist
[mm]\omega_+=\omega+1/\omega[/mm]
, gilt:
[mm]P(\omega_+)&=a_0(\omega+1/\omega)^0+a_1\cdot(\omega+1/\omega)^1+a_2\cdot(\omega+1/\omega)^2+...+a_n\cdot(\omega+1/\omega)^n=0[/mm]
>
> Was muss ich hier nun tun? Und ist das Vorgehen bei
> [mm]\omega_-[/mm] dasselbe?
Jetzt multiplizierst du die ganze Gleichung - ohne vorher auszurechnen - mit [mm] \omega^n. [/mm] Dann muss auch wieder 0 herauskommen. Das [mm] \omega^n [/mm] ziehst du in jede Klammer (ohne diese auszurechnen) nur mit der Potenz, die an der Klammer steht, hinein:
[mm]a_0\cdot\omega^n\cdot(\omega+1/\omega)^0+a_1\cdot\omega^n\cdot(\omega+1/\omega)^1+a_2\cdot\omega^n\cdot(\omega+1/\omega)^2+...+a_n\cdot\omega^n\cdot(\omega+1/\omega)^n=0[/mm]
[mm]a_0\cdot\omega^n\cdot(\omega+1/\omega)^0+a_1\cdot\omega^{n-1}\cdot(\omega^2+1)^1+a_2\cdot\omega^{n-2}\cdot(\omega^2+1)^2+...+a_n\cdot\omega^0\cdot(\omega^2+1)^n=0[/mm]
Jede der Klammern [mm] (\omega^2+1)^k [/mm] gibt nun ein Polynom in [mm] \omega, [/mm] da [mm] \omega [/mm] nicht mehr unter dem Bruchstrich steht (bei der ersten Klammer hoch Null kommt immer 1 heraus). Multipliziert mit [mm] a_k [/mm] und einer weiteren Potenz von [mm] \omega [/mm] ist damit jeder Summand und damit die gesamte Summe ein Polynom in [mm] \omega, [/mm] das den Wert 0 gibt. Also ist [mm] \omega [/mm] algebraisch im Widerspruch zur Annahme.
Wie das mit [mm] \omega_- [/mm] geht, dürfte dann klar sein.
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Hallo!
Vielen Dank für deine schnelle Antwort. Kannst du mir vielleicht noch genau erklären, was du damit meinst:
Jede der Klammern $ [mm] (\omega^2+1)^k [/mm] $ gibt nun ein Polynom in $ [mm] \omega, [/mm] $ da $ [mm] \omega [/mm] $ nicht mehr unter dem Bruchstrich steht (bei der ersten Klammer hoch Null kommt immer 1 heraus).
Vielen Dank
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Nehmen wir ein Beispiel: n ist 7, irgendwo steht nun z.B. der Summand
[mm] 4,5\cdot\omega^7\cdot(\omega+1/\omega)^3 [/mm] du solltest ja mit [mm] \omega^7 [/mm] malnehmen.
Daraus machst du
[mm] 4,5\cdot\omega^4\cdot\omega^3\cdot(\omega+1/\omega)^3 [/mm]
und ziehst [mm] \omega^3 [/mm] mit in die Klammer zu
[mm] 4,5\cdot\omega^4\cdot(\omega\cdot(\omega+1/\omega))^3
[/mm]
[mm] =4,5\cdot\omega^4\cdot(\omega^2+1)^3
[/mm]
Die Klammer gibt nun - ausgerechnet, was du dir aber verkneifst, - ein Polynom (der Bruch [mm] 1/\omega [/mm] ist weg), mit [mm] 4,5\cdot\omega^4 [/mm] multipliziert ebenfalls ein (verändertes) Polynom. Somit geben alle Summanden zusammen ein Gesamtpolynom in [mm] \omega, [/mm] das 0 ist, und damit wäre [mm] \omega [/mm] algebraisch.
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Anmerkungen:
Du musst mit [mm] \omega^7 [/mm] malnehmen, damit du auch in der Klammer mit der höchsten Potenz (also 7 im Beispiel) durch Hereinziehen des Faktors [mm] \omega [/mm] aus dem Bruchterm [mm] \omega+1/\omega [/mm] einen ganzrationalen Term (nämlich [mm] \omega^2+1) [/mm] bekommst.
Bei [mm] (\omega+1/\omega)^0 [/mm] kannst du die ganze Klammer weglassen und durch den Faktor 1 ersetzen, hast also keine Probleme mit dem Hereinziehen: [mm] a_0\cdot\omega^n\cdot(\omega+1/\omega)^0 [/mm] = [mm] a_0\cdot\omega^n [/mm] = ebenfalls Polynom in [mm] \omega.
[/mm]
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| Aufgabe | b.) Verwenden Sie das Ergebnis aus a.) um zu zeigen, dass für jedes algebraische [mm] \alpha\ne0 [/mm] die Funktionswerte [mm] sin(\alpha), [/mm]
[mm] cos(\alpha), tan(\alpha) [/mm] und [mm] cot(\alpha) [/mm] transzendent sind. |
Hallo zusammen!
das ist der zweite Teil der ersten Aufgabe. Meine Frage ist hier, ob ich richtig argumentiert habe und ob das alles so reicht.
Beweis:
Es ist [mm] sin(\alpha)=\frac{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{2i} [/mm] und [mm] cos(\alpha)=\frac{e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}}{2}
[/mm]
Nach dem Satz von Lindemann-Weierstraß ist [mm] e^{i\alpha} [/mm] transzendent, da i und [mm] \alpha [/mm] und daher auch [mm] i\alpha [/mm] algebraisch sind. Das gleiche gilt für [mm] e^{-i\alpha}. [/mm] Aus a) folgt dann, dass [mm] e^{i\alpha} [/mm] + [mm] e^{-i\alpha} [/mm] und auch [mm] e^{i\alpha} [/mm] - [mm] e^{-i\alpha} [/mm] transzendent sind.
Wegen der Abgeschlossenheit der algebraischen Zahlen bzgl. der Multiplikation kann man dann im Umkehrschluss folgern, dass eine transzendente Zahl [mm] \beta [/mm] nach Multiplikation mit einer algebraischen Zahl wieder transzendent sein muss. Daraus folgt schließlich die Transzendenz von sin( [mm] \alpha) [/mm] und [mm] cos(\alpha).
[/mm]
Weiter [mm] gilt: tan(\alpha)= \frac{ sin(\alpha)}{cos(\alpha)} =\frac{sin(α)}{\sqrt{1 -sin^2(\alpha)}} [/mm]
[mm] P=a_0\sqrt{(1 -sin(\alpha)^2}^n+a_1 \sqrt{(1 -sin(\alpha)^2}^{n-1} sin(\alpha)+a_2 (\sqrt{(1 -sin(\alpha)^2}^{n-2} (sin(\alpha) )^2+⋯+a_n (\sqrt{(1 -sin(\alpha)^2})^n=0
[/mm]
Da [mm] sin(\alpha) [/mm] transzendent ist, kann man wegen der Abgeschlossenheit der algebraischen Zahlen bezüglich der Addition, Multiplikation und Wurzel ziehen folgern, dass eine transzendente Zahl β nach Addition und Multiplikation mit einer algebraischen Zahl und Wurzel ziehen wieder transzendent sein muss.
Betrachtet man das Polynom P, so wird klar, dass das Polynom nicht das Nullpolynom sein kann. Die trigonometrische Funktionen können sich an algebraischen Stellen nicht auslöschen, sondern nur bei 0 oder bei Vielfachen von [mm] \pi. [/mm] Damit müsste aber [mm] \alpha=0 [/mm] oder ein Vielfaches von [mm] \pi [/mm] sein. Da [mm] $\alpha\ne [/mm] 0$ und algebraisch in der Aufgabenstellung vorausgesetzt wurde, kann [mm] tan(\alpha) [/mm] niemals 0 werden und somit ist die Annahme [mm] $tan(\alpha)$ [/mm] sei algebraisch falsch.
Der Beweis von [mm] cot(\alpha) [/mm] wird genauso geführt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:03 Fr 24.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> b.) Verwenden Sie das Ergebnis aus a.) um zu zeigen, dass
> für jedes algebraische [mm]\alpha\ne0[/mm] die Funktionswerte
> [mm]sin(\alpha),[/mm]
> [mm]cos(\alpha), tan(\alpha)[/mm] und [mm]cot(\alpha)[/mm] transzendent
> sind.
>
> Hallo zusammen!
> das ist der zweite Teil der ersten Aufgabe. Meine Frage
> ist hier, ob ich richtig argumentiert habe und ob das alles
> so reicht.
>
> Beweis:
> Es ist [mm] sin(\alpha)=\frac{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{2i}[/mm]
> und
> [mm]cos(\alpha)=\frac{e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}}{2}[/mm]
>
> Nach dem Satz von Lindemann-Weierstraß ist [mm]e^{i\alpha}[/mm]
> transzendent, da i und [mm]\alpha[/mm] und daher auch [mm]i\alpha[/mm]
> algebraisch sind. Das gleiche gilt für [mm]e^{-i\alpha}.[/mm] Aus
> a) folgt dann, dass [mm]e^{i\alpha}[/mm] + [mm]e^{-i\alpha}[/mm] und auch
> [mm]e^{i\alpha}[/mm] - [mm]e^{-i\alpha}[/mm] transzendent sind.
Dazu brauchst du aber gar nicht explizit, dass [mm] $e^{-i\alpha}$ [/mm] transzendent ist. Das richtige Argument ist, dass [mm] $e^{-i\alpha} [/mm] = [mm] \frac{1}{e^{i\alpha}}$ [/mm] ist.
> Wegen der Abgeschlossenheit der algebraischen Zahlen bzgl.
> der Multiplikation kann man dann im Umkehrschluss folgern,
> dass eine transzendente Zahl [mm]\beta[/mm] nach Multiplikation mit
> einer algebraischen Zahl wieder transzendent sein muss.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Daraus folgt schließlich die Transzendenz von sin( [mm]\alpha)[/mm]
> und [mm]cos(\alpha).[/mm]
>
> Weiter [mm]gilt: tan(\alpha)= \frac{ sin(\alpha)}{cos(\alpha)} =\frac{sin(α)}{\sqrt{1 -sin^2(\alpha)}}[/mm]
Soweit ok. Am einfachsten ist es, wenn du zeigst, dass [mm] $\sin(\alpha)$ [/mm] algebraisch ueber [mm] $\IQ(\tan(\alpha))$ [/mm] ist. Dann mus [mm] $\tan(\alpha)$ [/mm] auch transzendent sein, da ansonsten [mm] $\sin(\alpha)$ [/mm] algebraisch waer.
Und jetzt wird's etwas verwirrend:
> [mm]P=a_0\sqrt{(1 -sin(\alpha)^2}^n+a_1 \sqrt{(1 -sin(\alpha)^2}^{n-1} sin(\alpha)+a_2 (\sqrt{(1 -sin(\alpha)^2}^{n-2} (sin(\alpha) )^2+⋯+a_n (\sqrt{(1 -sin(\alpha)^2})^n=0[/mm]
Du nimmst also an, es gibt ein Polynom $P(T) [mm] \in \IQ[T]$ [/mm] mit [mm] $P(\tan(\alpha)) [/mm] = 0$ vom Grad $n$, und mutiplizierst die Geichung [mm] $P(\tan(x)) [/mm] = 0$ mit [mm] $\sqrt{1 - \sin^2(\alpha)}^n$ [/mm] durch?
> Da [mm]sin(\alpha)[/mm] transzendent ist, kann man wegen der
> Abgeschlossenheit der algebraischen Zahlen bezüglich der
> Addition, Multiplikation und Wurzel ziehen folgern, dass
> eine transzendente Zahl β nach Addition und Multiplikation
> mit einer algebraischen Zahl und Wurzel ziehen wieder
> transzendent sein muss.
Das kann man auch beweisen. Schwer ist das nicht.
> Betrachtet man das Polynom P, so wird klar, dass das
> Polynom nicht das Nullpolynom sein kann. Die
> trigonometrische Funktionen können sich an algebraischen
> Stellen nicht auslöschen, sondern nur bei 0 oder bei
> Vielfachen von [mm]\pi.[/mm] Damit müsste aber [mm]\alpha=0[/mm] oder ein
> Vielfaches von [mm]\pi[/mm] sein. Da [mm]\alpha\ne 0[/mm] und algebraisch in
> der Aufgabenstellung vorausgesetzt wurde, kann [mm]tan(\alpha)[/mm]
> niemals 0 werden und somit ist die Annahme [mm]tan(\alpha)[/mm] sei
> algebraisch falsch.
Das ist handwaving at it's best. Entweder argumentierst du mathematisch exakt, oder du laesst es bleiben.
> Der Beweis von [mm]cot(\alpha)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
wird genauso geführt.
Na, $\cot(\alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)$, und aus $\beta = \tan(\alpha)$ transzendent folgt natuerlich sofort $\frac{1}{\beta}$ transzendent. Da muss man nicht nochmal argumentieren.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:54 Fr 24.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Beweisen Sie, dass aus der Transzendenz von [mm]\omega\in C[/mm]
> bereits die Transzendenz der beiden Werte
>
> [mm]\omega_+=\omega+\frac{1}{\omega}[/mm]
> [mm]\omega_-=\omega-\frac{1}{\omega}[/mm]
> folgt.
> Tipp: Wenn Sie z.B. davon ausgehen, dass [mm]\omega_+[/mm]
> algebraisch ist, erhalten Sie einen Ausdruck in [mm]\omega,[/mm] der
> gleich 0 ist. Durch geeignete Multiplikation lässt sich
> daraus ein polynomialer Ausdruck erzeugen.
> ch habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt
>
> Hallo Zusammen!
> Ich weiß hier leider nicht weiter, kann mir jemand
> helfen?
> Folgendes hab ich mal gemacht:
> Annahme: [mm]\omega_+[/mm] sei algebraisch, d.h. es gibt ein
> Polynom
>
> [mm]P(\omega_+)=a_0\cdot\omega_++a_1\cdot\omega_++a_2\cdot\omega_++...+a_n\cdot\omega_+=0[/mm]
>
> mit rationalen Koeffizienten [mm]a_k\in[/mm] Q, k=0,...,n
> Da [mm]\omega_+=\omega^2+1[/mm] ist, gilt:
> [...]
Das ist viel zu kompliziert! Ich habe hier hingeschrieben, wie es einfacher geht.
LG Felix
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