Trapez- und Simpsonregel < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:33 Sa 03.12.2011 | | Autor: | LaBella |
Hallo, wir haben letztens die Trapez- und Simpsonregel durchgemacht aber leider keine Bsp dazu gerechnet...nur haben wir folgendes als HÜ [mm] auf:\integral_{0}^{1}{e^{-x} dx}
[/mm]
wir sollen es analytisch, mit der Trapez und mit der Simpsonregel berechnen..jeweils mit 5 Stützpunkten.
komischerweise kommt aber bei mir auf allen drei arten was anderes raus...und ich bin mir nicht ganz sicher ob ich richtig eingesetzt habe...Ich poste jetzt einfach mal wie ich vorgegangen bin.
1. Analytisch: [mm] \integral_{0}^{1}{e^{-x} dx} [/mm] = [mm] e^{-x}+C [/mm] dann 0 und 1 einsetzen und subtrahieren: da kommt mir ne minus zahl raus...das kommt mir ja schonmal komisch vor :-? -0,63
2. Trapezregel mit 5 Stützpunkten
Hab mit folgender Formel gerechnet: [mm] (\bruch{f(xo)}{2}+f(x1)....f(xn-1)+\bruch{f(xn)}{2})*\bruch{b-a}{n}
[/mm]
um f(xo), f(x1) usw..zu bekommen hab ich dann in [mm] e^{-x} [/mm] die jeweiligen Zahlen (0,1...) eingesetzt...stimmt das überhaupt so oder muss ich da was anderes einsetzen? und was setz ich für "n" ein ? 5- wegen der 5 Stützpunkte? So hab ichs hald gemacht und bin dann auf 0,2167 gekommen.
3. Für die Simspon-REgel hab ich diese Formel gehabt: [mm] \bruch{b-a}{3n}*(yo+4y1+2y2+4y3....2yn-2*4yn-1+yn) [/mm] Hier war ich unsicher was ich für y0,y1 usw.. einsetzen muss...hab dann hald wieder die jeweiligen werte (1,2,..) in die e^-x Formel eingesetzt? es ist mir 0,37 rausgekommen....müsste nicht bei allen Varianten das gleiche rauskommen? bzw könnt ihr mir vl sagen was ich beim einsetzen anders machen muss? Danke euch
lg
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> Hallo, wir haben letztens die Trapez- und Simpsonregel
> durchgemacht aber leider keine Bsp dazu gerechnet...nur
> haben wir folgendes als HÜ auf: [mm]\integral_{0}^{1}{e^{-x} dx}[/mm]
>
> wir sollen es analytisch, mit der Trapez und mit der
> Simpsonregel berechnen..jeweils mit 5 Stützpunkten.
> komischerweise kommt aber bei mir auf allen drei arten was
> anderes raus...
Grundsätzlich ist das ja auch zu erwarten, denn es
handelt sich ja um die exakte Lösung (natürlich dann
auch gerundet) und zwei unterschiedlich gute Näherungen.
Natürlich sollten die Werte trotzdem nahe beieinander
liegen.
> und ich bin mir nicht ganz sicher ob ich
> richtig eingesetzt habe...Ich poste jetzt einfach mal wie
> ich vorgegangen bin.
> 1. Analytisch: [mm]\integral_{0}^{1}{e^{-x} dx}[/mm] = [mm]e^{-x}+C[/mm] dann
> 0 und 1 einsetzen und subtrahieren: da kommt mir ne minus
> zahl raus...das kommt mir ja schonmal komisch vor :-?
> -0,63
Du hast falsch eingesetzt. Es gilt (falls F'=f) :
[mm] $\integral_{a}^{b}f(x)\,dx\ [/mm] =\ F(b)-F(a)$
> 2. Trapezregel mit 5 Stützpunkten
> Hab mit folgender Formel gerechnet:
> [mm](\bruch{f(xo)}{2}+f(x1)....f(xn-1)+\bruch{f(xn)}{2})*\bruch{b-a}{n}[/mm]
> um f(xo), f(x1) usw..zu bekommen hab ich dann in [mm]e^{-x}[/mm]
> die jeweiligen Zahlen (0,1...) eingesetzt...stimmt das
> überhaupt so oder muss ich da was anderes einsetzen? und
> was setz ich für "n" ein ? 5- wegen der 5 Stützpunkte? So
> hab ichs hald gemacht und bin dann auf 0,2167 gekommen. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
5 Stützpunkte (wovon 2 an den Integrationsgrenzen)
bedeutet 4 Teilintervalle, also n=4. Die Nummerierung
der Stützstellen geht von [mm] x_0 [/mm] bis und mit [mm] x_4. [/mm]
> 3. Für die Simspon-REgel hab ich diese Formel gehabt:
> [mm]\bruch{b-a}{3n}*(yo+4y1+2y2+4y3....2yn-2*4yn-1+yn)[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Dies solltest du mittels Formeleditor verständlich schreiben !
> Hier war ich unsicher was ich für y0,y1 usw.. einsetzen
> muss...hab dann hald wieder die jeweiligen werte (1,2,..)
> in die e^-x Formel eingesetzt?
Die y-Werte sind natürlich dieselben wie für die
Rechnung nach Trapezregel, also z.B.
$\ [mm] y_3\ [/mm] =\ [mm] f(x_3)\ [/mm] =\ [mm] f\left(0+\frac{3}{4}*(1-0)\right)\ [/mm] =\ [mm] e^{-0.75}\ \approx\ [/mm] 0.472367$
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 Sa 03.12.2011 | | Autor: | LaBella |
Danke, das hat mir schon sehr geholfen! Nur wo du die letzte fOrmel her hast Mt y3=... weiß ich nicht genau! Und wenn das ganze in vier Teile aufgeteilt wird, muss ich mir dann die breite der teilintervalle ausrechnen und das für x1,x2..einsetzen oder einfach 1,2,3..?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:07 Sa 03.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
di [mm] x_i [/mm] sind doch die stützstellen, also welche sind das?
und die breite geht ja mit (b-a)/n ein. [mm] y_3 [/mm] ist der Funktionswert an der Stelle [mm] x_3 [/mm] wo ist die bei dir?
Gruss leduart
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