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Trapezformel: Aufgabe 1"
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:45 So 17.12.2006
Autor: NatiSt

Aufgabe
Aufgabe
Fur eine naturliche Zahl n wird als n-te Trapezzahl T(n) die Anzahl der Punkte im n-ten
Punktmuster der nachfolgenden Punktmusterfolge bezeichnet:
                    .
                   ..  
          .       ...
        ..        ...
.       ..        ...
n=1  n=2  n=3  ...

c)  Zeigen Sie an einem allgemeinen Punktmuster, dass T(n) = T(n-1) + 3(n-1) +1 gilt.
d)  Zeigen Sie durch vollstandige Induktion, dass T(n-1) + 3n – 2 = 0,5. [mm] (3n^2 [/mm] - n) fur alle
naturlichen Zahlen n gilt.  
e)  Zeigen Sie fur alle n ? IN:  T(n) kongruent n (mod 3)  

Hat jemand tipps wie man das macht?
Wäre sehr dankbar







Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Trapezformel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:10 So 17.12.2006
Autor: ullim

Hi,

für Deine Werte T(n) gilt folgender Zusammenhang:

Die gesamte Anzahl der Punkte besteht aus 2n-1 Reihen. Die ersten n Reihen vergrößern sich von 1 bis zu n Punkten. Danach bleiben also noch n-1 Reihen mit jeweils n Punkten. In Formeln lautet das

[mm] T(n)=\summe_{i=1}^{n}i+(n-1)n [/mm]

Die Summe ausgerechnet ergibt [mm] \bruch{n(n+1)}{2} [/mm] also gilt für T(n)

[mm] T(n)=\bruch{n}{2}(3n-1) [/mm] (das ist Aufgabe d )


Aufgabe e)

[mm] T(n)-n=\br{3}{2}n(n-1) [/mm] also ist T(n) kongruent n mod 3


Aufgabe c kann man wahrscheinlich mit der gewonnenen Formel für T(n) nachrechnen.

mfg ullim

Bezug
                
Bezug
Trapezformel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:48 So 17.12.2006
Autor: NatiSt

Aufgabe

Aufgabe e)

$ [mm] T(n)-n=\br{3}{2}n(n-1) [/mm] $ also ist T(n) kongruent n mod 3

kannst du das erweitert erklären?

Bezug
                        
Bezug
Trapezformel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:56 So 17.12.2006
Autor: ullim

Hi,

T(n) ist kongruent zu n mod 3 wenn

T(n)-n durch 3 teilbar ist, was der Fall ist, weil entweder n oder n-1 durch 2 teilbar ist.

mfg ullim



Bezug
                                
Bezug
Trapezformel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:15 So 17.12.2006
Autor: NatiSt

Aufgabe
T(n) ist kongruent zu n mod 3 wenn

T(n)-n durch 3 teilbar ist, was der Fall ist, weil entweder n oder n-1 durch 2 teilbar ist.


T(n) ist kongruent zu n mod 3 wenn

T(n)-n durch 3 teilbar ist, "das is aber t mir klar,aber wie beweise ich dass das der Fall ist, " .?



Bezug
                                        
Bezug
Trapezformel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:24 So 17.12.2006
Autor: ullim

Hi,

[mm] T(n)-n=\br{3}{2}n(n-1) [/mm] und das ist durch 3 teilbar, wenn [mm] \br{1}{2}n(n-1) [/mm] ganzzahlig ist, was der Fall ist, wie vorher ausgeführt.

mfg ullim

Bezug
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