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Hallo miteinander!
Ich habe ein geometrisches Problem ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Und zwar möchte ich in Matlab eine aufgeklappte, trapezförmige Figur plotten.
Das programmieren mit Matlab ist kein Problem!
Ich komme grade nicht weiter bei der Bestimmung von x und y Koordinaten der insgesamt 8 Punkte, die ich dazu brauche.
Damit das ein bisschen anschaulicher ist, hab ich mal ein bisschen gezeichnet ;)
![[]](/images/popup.gif) [Externes Bild http://www.bilder-hochladen.net/files/thumbs/aye1-2.jpg]
Die 4 Trapeze haben alle die gleichen Seitenlängen und Winkel!
Ich fange mal unten links an und arbeite mich dann gegen den Uhrzeigersinn die Trapeze entlang.
Die ersten vier Punkte sind natürlich klar:
Trapez #1
[mm] \vektor{0 \\ 0},\vektor{l2 \\ 0},\vektor{\bruch{l2-l1}{2} \\ h_1},\vektor{l2-\bruch{l2-l1}{2} \\ h_1}
[/mm]
[mm] (h_1 [/mm] ist die höhe vom trapez, die man mit pythagoras ausrechnen kann)
Trapez #2
Für dieses Trapez fehlen mir jetzt noch die Punkte Nr. 5 und 6, die kann man auch noch relativ problemlos bestimmen:
(hier mal mein matlab code)
[mm] alpha=asin(h_1/l_ [/mm] kante);
beta=pi-2*alpha;
[mm] h_2=sin(beta)*l_2;
[/mm]
[mm] h_3=sin(beta)*l_1;
[/mm]
[mm] x_1=h_2/tan(beta);
[/mm]
[mm] x_2=h_3/tan(beta);
[/mm]
l_kante ist die Länge der Kante (lässt sich auch mit Pythagoras ausrechnen)
Somit krieg ich die Punkte
[mm] \vektor{l2-\bruch{l2-l1}{2}+x_2\\ h_1+h_3},\vektor{x_1+l_2 \\ h_2}
[/mm]
Jetzt fehlen mir noch die 4 Punkte des letzten Trapezes. Ich hab mir schon zig Bilder gemalt, Geraden durch die Punkte gezeichnet und nach einem Dreieck gesucht, mit dem ich die x und y Werte der Punkte ausrechnen kann, aber ich finde einfach keins...
Falls mir da jemand bei helfen kann wäre ich sehr dankbar ;)
mit freundlichen Grüßen
Christoph
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Hallo Christoph,
ich würde dir vorschlagen, das Ganze mittels Vektoren,
und zwar zunächst in Polarkoordinaten zu beschreiben.
Zudem würde ich einfache und systematische Bezeich-
nungen benützen, also etwa $\ a$ und $\ c$ anstelle von [mm] l_2 [/mm]
und [mm] l_1 [/mm] und $\ b$ für die Schenkellänge der (gleich-
schenkligen) Trapeze.
Ferner kann man sehen, dass die Verlängerungen aller
dieser Schenkel sich in einem gemeinsamen Punkt $\ S$
schneiden. Ich würde zuerst diesen Punkt S ermitteln
sowie seine Entfernung $\ r$ vom Nullpunkt $\ O(0/0)$. Dann
liegen die $\ 5$ "äußeren" und die $\ 5$ "inneren" Punkte der
Figur gleichmäßig verteilt auf je einem Kreis um $\ S$ mit
dem Radius $\ r$ bzw. $\ r-b$. Die Vektoren von $\ S$ zu allen
$\ 10$ Punkten lassen sich also in Polarkoordinaten ganz
einheitlich darstellen. Am Schluss wird alles in recht-
winklige Koordinaten umgerechnet.
LG Al-Chwarizmi
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den Radius hab ich auch schonmal errechnet und dann die zwei Kreise um den Mittelpunkt gelegt, aber wenn die Seiten l1 und l2 jetzt gleich lang sind, funktioniert das nicht mehr, weil ich dann ja keinen kreis mehr hab.
am liebsten würde ich das daher mit der methode machen, die ich da grad beschrieben habe
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> den Radius hab ich auch schonmal errechnet und dann die
> zwei Kreise um den Mittelpunkt gelegt, aber wenn die Seiten
> l1 und l2 jetzt gleich lang sind, funktioniert das nicht
> mehr, weil ich dann ja keinen kreis mehr hab.
> am liebsten würde ich das daher mit der methode machen,
> die ich da grad beschrieben habe
Der Fall mit $\ [mm] l_1\ [/mm] =\ [mm] l_2$ [/mm] ist natürlich ein einfacher Spezial-
fall (der einzige), den man separat betrachten muss, aber
ganz leicht fast ohne Rechnung erledigen kann: die Trapeze
sind doch dann Rechtecke, die nebeneinander angeordnet sind.
Ich finde nur, dass es angenehm wäre, wenn man nicht ein
Trapez nach dem anderen speziell betrachten muss, sondern
die Koordinaten jedes gesuchten Punktes nach einer einheit-
lichen Formel berechnen kann.
Hier kurz einige meiner Bezeichnungen und Überlegungen:
[mm] a:=l_2
[/mm]
[mm] c:=l_1
[/mm]
b:=Schenkellänge
e:=Projektion des Schenkels auf die Trapezgrundseite
S(u/v):= Schnittpunkt der verlängerten Schenkel
[mm] r_a:=\left|\overrightarrow{OS}\right| [/mm] = [mm] \sqrt{u^2+v^2} [/mm] = Radius des äusseren Kreises
[mm] r_i:=r_a-b [/mm] = Radius des inneren Kreises
[mm] \varepsilon:= [/mm] Winkel zwischen den beiden Schenkeln eines Trapezes
[mm] \varphi_k:= [/mm] Richtungswinkel für die zwei Punkte auf dem von S
ausgehenden Strahl Nummer k (wobei [mm] k\in\{0,1,2,3,4\})
[/mm]
[mm] A_k=k-ter [/mm] Punkt auf dem Aussenkreis
[mm] I_k=k-ter [/mm] Punkt auf dem Innenkreis
Dann gilt:
[mm] e=\frac{a-c}{2}
[/mm]
[mm] b=\frac{e}{cos \alpha}
[/mm]
[mm] r_a=\frac{a*b}{a-c}
[/mm]
[mm] u=r_a*cos(\alpha)\qquad v=r_a*sin(\alpha)
[/mm]
[mm] \varepsilon=\pi-2\,\alpha
[/mm]
[mm] \varphi_k=(k-1)*\varepsilon-\alpha
[/mm]
[mm] \overrightarrow{SA_k}=r_a*\vektor{cos(\varphi_k)\\sin(\varphi_k)}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{SI_k}=r_i*\vektor{cos(\varphi_k)\\sin(\varphi_k)}
[/mm]
LG Al-Chw.
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ok dann hast du mich jetzt überzeugt
ist wohl wirklich schöner und vor allem auch einfacher!
vielen dank für die hilfe !
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