Trazpezsumme < Integr.+Differenz. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:16 Do 26.03.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Wir haben im ersten Kapitel der Numerischen Integration ein Integral über die Trapezsumme angenähert.
Die zugehörige Formel (Quadraturformel) war folgende:
[mm] I=T^{(n)}:=\summe_{i=1}^{n}T_i [/mm] mit [mm] T_i:=\bruch{h_i}{2}(f(t_{i-1})+f(t_i))
[/mm]
Das ist mir klar, ich zerteile mein Intervall in mehrere Abschnitte, jeder Abschnitt ist ein Trapez unter dem Graphen und dann berechne ich von jedem Trapez den Flächeninhalt und summiere alle Flächeninhalte auf.
Ist doch richtig so, oder?
So, jetzt haben wir Romberg-Integration *stöhn*
Im Grundgedanken haben wir gesagt, dass wir zu Beginn des Themas ein Integral mit der Trapezsumme wie folgt approximiert haben:
[mm] T^{(n)}=h*(\bruch{1}{2}*(f(a)+f(b))+\summe_{i=1}^{n-1}f(a+ih)) [/mm] mit [mm] h=\bruch{b-a}{n}
[/mm]
Hmm, jetzt mein Problem:
Für mich stellen diese beiden Formeln irgendwie nicht das gleiche dar.
Also wenn ich in der zweiten Formel mal die Summe weglasse, dann habe ich ja im Endeffekt wieder einen Trapezflächeninhalt, aber warum addiere ich jetzt noch alle Funktionswerte dazwischen drauf?
Wenn das zweite auch die Trapezformel sein soll, müsste sich das [mm] \bruch{1}{2} [/mm] dann nicht nur auf [mm]\ f(a)[/mm] und [mm]\ f(b)[/mm] sondern auch auf alle anderen Funktionswerte, also auf die Summe mit beziehen?
Weil dann hätte ich ja quasi das gleiche wie oben, nur mit dem [mm]\ h[/mm] und dem [mm] \bruch{1}{2} [/mm] aus der Summe rausgezogen?
Kann mir jemand diese zweite Formel für die Trapezregel erklären?
LG, Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:30 Do 26.03.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo zusammen!
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> Wir haben im ersten Kapitel der Numerischen Integration ein
> Integral über die Trapezsumme angenähert.
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> Die zugehörige Formel (Quadraturformel) war folgende:
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> [mm]I=T^{(n)}:=\summe_{i=1}^{n}T_i[/mm] mit
> [mm]T_i:=\bruch{h_i}{2}(f(t_{i-1})+f(t_i))[/mm]
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> Das ist mir klar, ich zerteile mein Intervall in mehrere
> Abschnitte, jeder Abschnitt ist ein Trapez unter dem
> Graphen und dann berechne ich von jedem Trapez den
> Flächeninhalt und summiere alle Flächeninhalte auf.
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> Ist doch richtig so, oder?
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> So, jetzt haben wir Romberg-Integration *stöhn*
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> Im Grundgedanken haben wir gesagt, dass wir zu Beginn des
> Themas ein Integral mit der Trapezsumme wie folgt
> approximiert haben:
>
> [mm]T^{(n)}=h*(\bruch{1}{2}*(f(a)+f(b))+\summe_{i=1}^{n-1}f(a+ih))[/mm]
> mit [mm]h=\bruch{b-a}{n}[/mm]
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> Hmm, jetzt mein Problem:
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> Für mich stellen diese beiden Formeln irgendwie nicht das
> gleiche dar.
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> Also wenn ich in der zweiten Formel mal die Summe weglasse,
> dann habe ich ja im Endeffekt wieder einen
> Trapezflächeninhalt, aber warum addiere ich jetzt noch alle
> Funktionswerte dazwischen drauf?
>
> Wenn das zweite auch die Trapezformel sein soll, müsste
> sich das [mm]\bruch{1}{2}[/mm] dann nicht nur auf [mm]\ f(a)[/mm] und [mm]\ f(b)[/mm]
> sondern auch auf alle anderen Funktionswerte, also auf die
> Summe mit beziehen?
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> Weil dann hätte ich ja quasi das gleiche wie oben, nur mit
> dem [mm]\ h[/mm] und dem [mm]\bruch{1}{2}[/mm] aus der Summe rausgezogen?
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> Kann mir jemand diese zweite Formel für die Trapezregel
> erklären?
Hallo,
Nehmen wir mal an, Die Fläche wäre nur in 4 Trapeze zerlegt. Die Zwischenwerte zwischen a und b seinen [mm] a_1, a_2 [/mm] und [mm] a_3 [/mm] in gleichem Abstand h.
Die Summe der Trapzflächen ist dann
[mm] 0,5h(f(a)+f(a_1))+0,5h(f(a_1)+f(a_2))+0,5h(f(a_2)+f(a_3))+0,5h(f(a_3)+f(b)).
[/mm]
Die Funktionswerte [mm] f(a_1), f(a_2) [/mm] und [mm] f(a_3) [/mm] kommen je zweimal vor, die Randwerte f(a) und f(b) nur einmal.
Deshalb wird nach dem Ausklammern von h die Summe 0,5f(a)+0,5f(b) separat berechnet. Die übrigen Funktionswerte sind doppelt, damit gleicht sich der Faktor 0,5 aus und verschwindet.
Gruß Abakus
>
> LG, Nadine
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 Do 26.03.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Abakus!
Vielen Dank für deine schnelle Antwort.
Ich denke, ich habe es nun verstanden.
Also ist doch beides das Gleiche?
Wann ist denn welche Formel vorzuziehen?
LG, Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:11 Do 26.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Da du bei beiden Formeln dasselbe ausrechnest ist das egal. im ersten Fall musst du - wenn du nicht sorgfaeltig vorgehst jeden fkt-Wert 2 mal berechnen. Also ist die 2 te Formel die einfachere.
aber die 2te Formel zeigt auch direkt, dass das Trapezverfahren das arithmetische Mittel der ober und Untersumme des "Treppenverfahrens" ist. zeigt also direkt, dass es i.A. besser als eines der beiden ist.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:03 Do 26.03.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Leduart, hallo Abakus,
vielen Dank für eure Hilfe.
LG, Nadine
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