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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:24 So 16.09.2007 | | Autor: | sowieso |
Hi !
10 absolut treffsichere Jäger schießen gleichzeitig auf 10 Enten. Jeder Jäger sucht sich zufällig eine Ente aus. Wie viele Enten überleben im Mittel ?
Ich hab mir gedacht die Enten entsprechen Kugeln. Jeder Jäger zieht eine Kugel und legt sie danach wieder zurück.
Damit gibt es insgesamt [mm] 10^{10} [/mm] Kombinationen, wenn man unter den gezogenen Kugeln die Anordnung beachtet.
Nun will ich ausrechen, wie wahrscheinlich ist, dass sich alle Schüsse auf p Enten verteilen (Dann überleben ja 10-p Enten). Dazu will ich die Anzahl an Kombinationen, bei denen genau p Enten sterben durch [mm] 10^{10} [/mm] teilen.
Leider weiß ich nicht, wie ich die Anzahl an Kombinationen, bei denen genau p von 10 Enten sterben, ausrechnen kann...
Kann mir da jemand helfen ??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:01 Mi 19.09.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin sowieso,
zunaecht einmal ein herzliches ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Ich will die Aufgabe mal allgemein angehen. Es gibt $n$ Enten und $n$
Jaeger. Wie wahrscheinlich ist es, dass $k$ Enten ueberleben?
Es gibt [mm] $n^n$ [/mm] Moeglichkeiten, wie die Jaeger schiessen koennen. Es
gibt ${n [mm] \choose [/mm] k}$ Moeglichkeiten, $k=0,1,2,...,n-1$ Enten
auszuwaehlen, die nicht getroffen werden. Fuer jede Auswahl von $k$
Enten, die ueberleben, werden alle anderen abgeschossen. Betrachte die
Menge $M$ der Jaeger und die Menge $N$ der Ungluecksenten. Hier muss
man auszaehlen, auf wieviel Weisen die Ungluecksenten abgemurkst werden
koennen. Diese Frage ist aequivalent mit der Frage der Anzahl der
surjektiven Abbildungen von $M$ nach $N$. Das ist ziemlich tricky,
aber im Internet findet man eine Antwort, z.B. hier
![[]](/images/popup.gif) http://www.mathematik.uni-marburg.de/~schmitt/dima/dm00s_v.pdf
Auf Seite 10 finde ich [mm] $(n-k)!S_{n,n-k}$, [/mm] wobei [mm] $S_{i,j}$ [/mm] eine
Stirlingsche Zahl 2. Art ist. Mithin ist die gesuchte
Wahrscheinlichkeit
${n [mm] \choose k}\times(n-k)!S_{n,n-k}/n^n=\frac{n!}{k!n^n}S_{n,n-k}$
[/mm]
mit $k=0,1,...,n-1$. Fuer den Erwartungswert musst du
[mm] $\sum_{k=0}^{n-1}\frac{kn!}{k!n^n}S_{n,n-k}$
[/mm]
berechnen. Ich habe keine geschlossene Form hierfuer gefunden (vielleicht kann man mit Rekursionen etwas machen), berechne aber mit einem Computerprogramm fuer $n=10$ den Erwartungswert
3.487.
lgluis
PS: So etwas macht ihr im Mathe-LK? Respekt!
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