Trennung der Variablen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:34 So 08.06.2008 | | Autor: | Verdeg |
| Aufgabe | Lösung der DGL mithilfe der Methode Trennung der Variablen
y´+ [mm] y^2*sin(x)=3(xy)^2 [/mm] |
Ich verstehe dieses Thema noch nicht ganz und brauche unbedingt Hilfe. Kann mir Jemand Schritt für Schritt erklären wie das funktioniert? Ich habe zwar etwas versucht, aber ich kann mir nicht vorstellen das meine Denkweise richtig ist.
Hier die "Lösung":
1. Kann ich einfach [mm] y^2*sin(x) [/mm] auf die andere Seite ziehen?
y´= [mm] 3(xy)^2 [/mm] - [mm] y^2*sin(x)
[/mm]
2. Ist der Ansatz richtig?
[mm] \integral dy+y^2*sin(x) [/mm] = [mm] \integral 3(xy)^2 [/mm] dx
somit wüde folgen:
[mm] \bruch{1}{3}y^3 [/mm] -cos (x) = [mm] (\bruch{1}{2}x^2y)^3 [/mm] (ich wusste nicht wie ich die Stammfunktion von [mm] 3(xy)^2 [/mm] bilden sollte bzw. ob dieser Schritt überhaupt zulässig ist
3. [mm] \bruch{1}{3} y^3 [/mm] = [mm] (\bruch{1}{2}x^2y)^3 [/mm] + cos (x)
Nochmal meine Bitte: Kann Jemand meine Schritte korrigieren und mir erklären wieso man das macht? Ich habe eher ein abschreiben von Beispielaufgaben gemacht und bin deswegn auf die "Lösung" gekommen. leider verstehe ich nicht was ich da mache bzw. warum ich das mache...DANKE
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Hallo Verdeg,
> Lösung der DGL mithilfe der Methode Trennung der Variablen
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> y´+ [mm]y^2*sin(x)=3(xy)^2[/mm]
> Ich verstehe dieses Thema noch nicht ganz und brauche
> unbedingt Hilfe. Kann mir Jemand Schritt für Schritt
> erklären wie das funktioniert? Ich habe zwar etwas
> versucht, aber ich kann mir nicht vorstellen das meine
> Denkweise richtig ist.
>
> Hier die "Lösung":
> 1. Kann ich einfach [mm]y^2*sin(x)[/mm] auf die andere Seite
> ziehen?
> y´= [mm]3(xy)^2[/mm] - [mm]y^2*sin(x)[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> 2. Ist der Ansatz richtig?
> [mm]\integral dy+y^2*sin(x)[/mm] = [mm]\integral 3(xy)^2[/mm] dx
Hmm du willst doch die linke Seite der Gleichung nach y, die rechte nach x integrieren, da musst du konsequent "trennen".
Alles mit y auf die linke Seite, alles mit x nach rechts 
Also [mm] $y'=3(xy)^2-y^2\sin(x)$
[/mm]
[mm] $\gdw \frac{dy}{dx}=3x^2y^2-y^2\sin(x)$
[/mm]
[mm] $\gdw \frac{dy}{dx}=y^2\cdot{}(3x^2-\sin(x))$
[/mm]
[mm] $\gdw \frac{1}{y^2} [/mm] \ [mm] dy=(3x^2-\sin(x)) [/mm] \ dx [mm] \qquad [/mm] $ für [mm] $y\neq [/mm] 0$
Nun ist alles "schön getrennt", also kannst du auf beiden Seiten integrieren
Und ob [mm] $y\equiv [/mm] 0$ eine Lösung ist, prüfe nachher separat nach
> somit wüde folgen:
> [mm]\bruch{1}{3}y^3[/mm] -cos (x) = [mm](\bruch{1}{2}x^2y)^3[/mm] (ich
> wusste nicht wie ich die Stammfunktion von [mm]3(xy)^2[/mm] bilden
> sollte bzw. ob dieser Schritt überhaupt zulässig ist
>
> 3. [mm]\bruch{1}{3} y^3[/mm] = [mm](\bruch{1}{2}x^2y)^3[/mm] + cos (x)
>
> Nochmal meine Bitte: Kann Jemand meine Schritte korrigieren
> und mir erklären wieso man das macht? Ich habe eher ein
> abschreiben von Beispielaufgaben gemacht und bin deswegn
> auf die "Lösung" gekommen. leider verstehe ich nicht was
> ich da mache bzw. warum ich das mache...DANKE
>
LG
schachuzipus
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