Trennung der Variablen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] p'(t)=a*p(t)-b*(p(t))^2 [/mm] |
Hallo,
ich soll diese DGL durch trennung der variablen lösen. habs mal so probiert:
[mm] \bruch{dp(t)}{dt}=a*p(t)-b*(p(t))^2
[/mm]
[mm] \bruch{dp(t)}{a*p(t)-b*(p(t))^2}=dx
[/mm]
[mm] a*\integral_{}^{}{1/(p(t)dt}-b*\integral_{}^{}{1/(p(t))^2) dt}=\integral_{}^{}{xdx}
[/mm]
[mm] a*ln(|p(t)|)+c1+b*1/p(t)+c2=\bruch{x^2}{2}
[/mm]
stimmt das bis dahin mal?
Lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:02 Do 20.11.2008 | | Autor: | smarty |
Hallo,
> [mm]p'(t)=a*p(t)-b*(p(t))^2[/mm]
> Hallo,
> ich soll diese DGL durch trennung der variablen lösen.
> habs mal so probiert:
>
> [mm]\bruch{dp(t)}{dt}=a*p(t)-b*(p(t))^2[/mm]
> [mm]\bruch{dp(t)}{a*p(t)-b*(p(t))^2}=dx[/mm]
warum dx?
> [mm]a*\integral_{}^{}{1/(p(t)dt}-b*\integral_{}^{}{1/(p(t))^2) dt}=\integral_{}^{}{xdx}[/mm]
das verstehe ich nicht ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") Wo kommt rechts das x her? Wie kommen a und b aus dem Nenner in den Zählerbereich. Du hast wohl nicht einfach den Nenner getrennt, oder?
[mm] \bruch{1}{d-e}\not=\bruch{1}{d}-\bruch{1}{e}
[/mm]
Grüße
Smarty
> [mm]a*ln(|p(t)|)+c1+b*1/p(t)+c2=\bruch{x^2}{2}[/mm]
>
> stimmt das bis dahin mal?
> Lg
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Hallo green_apple,
> [mm]p'(t)=a*p(t)-b*(p(t))^2[/mm]
> Hallo,
> ich soll diese DGL durch trennung der variablen lösen.
> habs mal so probiert:
>
> [mm]\bruch{dp(t)}{dt}=a*p(t)-b*(p(t))^2[/mm]
> [mm] $\bruch{dp(t)}{a*p(t)-b*(p(t))^2}=\red{1}$
[/mm]
Das sagte Smarty ja auch schon ...
> [mm]a*\integral_{}^{}{1/(p(t)dt}-b*\integral_{}^{}{1/(p(t))^2) dt}=\integral_{}^{}{xdx}[/mm]
Was ist hier auf der linken Seite passiert?
Zu lösen ist [mm] $\int{\frac{1}{ap-bp^2} \ dp} [/mm] \ = \ [mm] \int{1 \ dt}$
[/mm]
Schreibe [mm] $\frac{1}{ap-bp^2}=\frac{1}{p\cdot{}(a-bp)}$ [/mm] und mache hier eine Partialbruchzerlegung:
[mm] $\frac{1}{p\cdot{}(a-bp)}=\frac{X}{p}+\frac{Y}{a-bp}$
[/mm]
>
> [mm]a*ln(|p(t)|)+c1+b*1/p(t)+c2=\bruch{x^2}{2}[/mm]
>
> stimmt das bis dahin mal?
> Lg
LG
schachuzipus
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danke für die verbesserung, ich war wohl gestern zu nächtlicher stunde etwas verwirrt und hab nicht nachgedacht was ich da tu. natürlich muss man hier eine partialbruchzerlegung machen:
1=X*(a-bp)+Yp
1=aX-bpX+Yp
1=p*(-bX+Y)+aX
[mm] p^0: [/mm] 1=aX [mm] \gdw [/mm] X=1/a
[mm] p^1: [/mm] 0=-bX+Y [mm] \gdw [/mm] b/a=Y
dann erhalte ich also
[mm] \int{\frac{1}{ap-bp^2} \ dp} =\bruch{1}{a}\int{\bruch{1}{p}dp}+\bruch{b}{a}\int{\bruch{1}{a-bp}dp}
[/mm]
[mm] \bruch{lnp}{a}+c_{1}+\bruch{b}{-ba}ln|a-bp|+c_{2}=t+c_{3}
[/mm]
und dann das ganze nach p auflösen?
bräucht ich für die drei konstanten drei anfangswertbedingungen?
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:13 Do 20.11.2008 | | Autor: | smarty |
Hallo,
die Konstanten kannst du alle zu einer zusammenfassen.
Viele Grüße
Smarty
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stimmt natürlich. und sonst passts?
lg
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Hallo green apple!
> und sonst passts?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Yep!
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:30 Do 20.11.2008 | | Autor: | smarty |
Hallo,
> stimmt natürlich. und sonst passts?
> lg
ja, du könntest sogar aus [mm] c_1+c_2+c_3=ln(C) [/mm] machen 
Grüße
Smarty
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