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Forum "Differenzialrechnung" - Trennung der Veränderlichen
Trennung der Veränderlichen < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Trennung der Veränderlichen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:37 Mi 22.04.2015
Autor: Skyrula

Aufgabe
Meine Kondition wird beschrieben durch: [mm] a=\frac{\beta}{v+v_0} [/mm]
a=Beschleunigung
v=Geschwindikeit

Ich starte bei dem Punkt t=0 aus der Ruhe. Berechne v(t), indem die Differentialgleichung durch Trennung der Veränderlichen gelöst wird.

Hallo zusammen, es ist die gefühlte 100 Aufgabe die ich in den letzten paar tagen hochgeladen habe aber was solls... Rom wurde auch nicht an einem Tag erbaut.

Mein Ansatz:

1: Prüfen ob die DGL separabel ist, d.h: y'=f(x)*g(x).
In der Tat, unsere DGL ist separabel (was für eine Überraschung):

[mm] v'=\frac{\beta}{v+v_0} [/mm]

2: Trennung der Variablen (Hier ist auch meine erste Schwierigkeit, weswegen die Folgenen Punkte noch nicht ausgearbeitet sind):

3: Ein unbestimmtes Integral auf beiden Seiten aufstellen

4: Auflösung der impliziten Gleichung


Falls mir jemand bei Punkt 2 helfen kann versuche ich die restlichen Punkte alleine und melde mich wieder wenn es doch nicht klappen wird.

Danke euch

        
Bezug
Trennung der Veränderlichen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:43 Mi 22.04.2015
Autor: fred97

Zu 2.:



$ [mm] v'=\frac{\beta}{v+v_0} [/mm] $ ----->   $ [mm] \bruch{dv}{dt}=\frac{\beta}{v+v_0} [/mm] $ ----> [mm] (v+v_0)dv=\beta [/mm] dt ----> [mm] \integral_{}^{}(v+v_0)dv= \integral_{}^{}\beta [/mm] dt +C

FRED

Bezug
                
Bezug
Trennung der Veränderlichen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:14 Mi 22.04.2015
Autor: Skyrula

Danke für die tolle Antwort!

Ich habe es nachvollziehen können und versucht das unbestimmte Integral zu lösen:

$ [mm] \integral_{}^{}(v+v_0)dv= \integral_{}^{}\beta\cdot [/mm] dt+C $

meine Lösung lautet:

[mm] \frac{v_0}{2}+v\cdot v_0=c+\beta\cdot [/mm] t

stimmt diese Gleichung? Jetzt würde ich es noch nach t auflösen. Ist das korrekt?


Bezug
                        
Bezug
Trennung der Veränderlichen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:35 Mi 22.04.2015
Autor: fred97


> Danke für die tolle Antwort!
>  
> Ich habe es nachvollziehen können und versucht das
> unbestimmte Integral zu lösen:
>  
> [mm]\integral_{}^{}(v+v_0)dv= \integral_{}^{}\beta\cdot dt+C[/mm]
>  
> meine Lösung lautet:
>  
> [mm]\frac{v_0}{2}+v\cdot v_0=c+\beta\cdot[/mm] t
>  
> stimmt diese Gleichung?


Nein. Richtig ist: [mm] $\frac{1}{2}v^2+v_0v=c+\beta [/mm] t$

Löse diese Gl. nach v auf.

FRED

> Jetzt würde ich es noch nach t
> auflösen. Ist das korrekt?
>  


Bezug
                                
Bezug
Trennung der Veränderlichen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:29 Mi 22.04.2015
Autor: Skyrula

Ich bekomme es einfach nicht auf die Kette $ [mm] \frac{1}{2}v^2+v_0v=c+\beta [/mm] t $
nach v aufzulösen.

Wie gehe ich mit [mm] v_0 [/mm] um und könnte mir vielleicht jemand helfen?

Mein Problem ist es, das ich v nicht auf eine Seite bekomme und ich mir nicht sicher bin wie ich mit [mm] v_0 [/mm] umzugehen habe. Hier mein Ansatz, aber er ist sicher nicht richtig:

$ [mm] \frac{1}{2}v^2+v_0v=c+\beta [/mm] t $
[mm] \gdw \frac{1}{2}v^2=c+\beta t-v_{0}v [/mm]
[mm] \gdw v^2=2(c+\beta t-v_{0}v) [/mm]
[mm] \gdw v=\sqrt{2(c+\beta t-v_{0}v)} [/mm]

Hier der nächste Versuch. Er sieht schon besser aus. Ich bitte um Feedback:

$ [mm] \frac{1}{2}v^2+v_0v=c+\beta [/mm] t $

Jetzt die gegebene Anfangsbedingung benutzen die oben in der Aufgabe steht:

Ich starte bei dem Punkt t=0 aus der Ruhe. Berechne v(t), indem die Differentialgleichung durch Trennung der Veränderlichen gelöst wird.

das heißt doch, dass zu dem Zeitpunkt t=0 auch die Geschwindigkeit v(t)=0 war, weil ich aus der Ruhe gestartet bin. Also setzte ich ein und übrig bleibt:

[mm] \frac{v^2}{2}=C [/mm]
[mm] \gdw v^2=2C [/mm]
[mm] \gdw v=\sqrt{2C} [/mm]

danke.

danke!

Bezug
                                        
Bezug
Trennung der Veränderlichen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:59 Mi 22.04.2015
Autor: chrisno

$ [mm] \frac{1}{2}v^2+v_0v=c+\beta [/mm] t $
$ [mm] v^2+v \cdot [/mm] 2 [mm] \cdot v_0 [/mm] - [mm] 2(c+\beta [/mm] t)= 0 $
[mm] $x^2 [/mm] + [mm] p\cdot [/mm] x + q = 0$
x = ?

Bezug
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