Trennung der Veränderlichen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | aus einem zylndrisches gefäß mit der grundfläche [mm] F_{1} [/mm] strömt wasser durch eine öffnung mit der fläche [mm] F_{2}. [/mm] An der wasseroberfläche und an der außflussöffnung herrscht der gleiche Druck p. Die Höhe der wassersäule ist [mm] h=h_{(t)} [/mm] und die ausströmgeschwindigkeit [mm] v=v_{(t)}
[/mm]
Kontinuität: [mm] v*F_{2}
[/mm]
Bernoullsches Gesetz: [mm] v=\wurzel{2gh}
[/mm]
Damit erhält man: h'_{(t)}= [mm] -\bruch{F_{2}}{F_{1}}*\wurzel{2gh}
[/mm]
Zur Zeit t=0 sei [mm] h=h_{0}. [/mm] Gesucht ist [mm] h_{(t)}. [/mm] Bestimmen sie [mm] h_{(t)} [/mm] mit der Methode der Trennung der Veränderlichen. Wann ist der Behälter leer gelaufen? |
Mein problem ist das ich sofort am anfang hänge...
kann ich aus h'_{(t)} = [mm] \bruch{dh}{dt} [/mm] machen ?
so das ich dann
[mm] \bruch{dh}{dt}= -\bruch{F_{2}}{F_{1}}*\wurzel{2gh} [/mm] erhalte ?
oder wie sieht der ansatz bei dieser aufgabe aus ?
schonmal danke für die hilfe
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:17 Di 08.01.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo kriegerGT,
> aus einem zylndrisches gefäß mit der grundfläche [mm]F_{1}[/mm]
> strömt wasser durch eine öffnung mit der fläche [mm]F_{2}.[/mm] An
> der wasseroberfläche und an der außflussöffnung herrscht
> der gleiche Druck p. Die Höhe der wassersäule ist [mm]h=h_{(t)}[/mm]
> und die ausströmgeschwindigkeit [mm]v=v_{(t)}[/mm]
>
> Kontinuität: [mm]v*F_{2}[/mm]
>
> Bernoullsches Gesetz: [mm]v=\wurzel{2gh}[/mm]
>
> Damit erhält man: h'_{(t)}=
> [mm]-\bruch{F_{2}}{F_{1}}*\wurzel{2gh}[/mm]
>
> Zur Zeit t=0 sei [mm]h=h_{0}.[/mm] Gesucht ist [mm]h_{(t)}.[/mm] Bestimmen
> sie [mm]h_{(t)}[/mm] mit der Methode der Trennung der
> Veränderlichen. Wann ist der Behälter leer gelaufen?
> Mein problem ist das ich sofort am anfang hänge...
>
> kann ich aus h'_{(t)} = [mm]\bruch{dh}{dt}[/mm] machen ?
>
> so das ich dann
>
> [mm]\bruch{dh}{dt}= -\bruch{F_{2}}{F_{1}}*\wurzel{2gh}[/mm] erhalte
ja, genau. Und dann dividiere auf beiden Seiten durch [mm] $\sqrt{h}$ [/mm] und multipliziere mit $dt$. Danach kannst du dann die Integralzeichen auf beiden Seiten davor setzen.
LG
Will
|
|
|
| |
|
Wenn ich deinen anweisungen folge komme ich dann zu
[mm] \bruch{1}{\wurzel{h}}*dh=-\bruch{F2}{F1}*\wurzel{2g}*dt
[/mm]
jetzt integrieren:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{h}}*dh} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{-\bruch{F2}{F1}*\wurzel{2g}*dt} [/mm]
den linken teil weiter integriert:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{h}}*dh} [/mm] = [mm] \integral{h^{-\bruch{1}{2}}*dh} [/mm] = [mm] -\bruch{2}{3}*h^{\bruch{3}{2}}+c
[/mm]
liege ich soweit richtig ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:44 Di 08.01.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> Wenn ich deinen anweisungen folge komme ich dann zu
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{h}}*dh=-\bruch{F2}{F1}*\wurzel{2g}*dt[/mm]
>
> jetzt integrieren:
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{h}}*dh}[/mm] =
> [mm]\integral_{}^{}{-\bruch{F2}{F1}*\wurzel{2g}*dt}[/mm]
bis hier gut!
> den linken teil weiter integriert:
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{h}}*dh}[/mm] = [mm]\integral{h^{-\bruch{1}{2}}*dh}[/mm] = [mm]-\bruch{2}{3}*h^{\bruch{3}{2}}+c[/mm]
da ist was falsch. Kontrollier nochmal...
Gruß
Will
|
|
|
| |
|
[mm] \integral{\bruch{1}{\wurzel{h}}*dh} [/mm] = [mm] \integral{h^{-\bruch{1}{2}}*dh} [/mm] = [mm] \bruch{h^{\bruch{1}{2}}}{\bruch{1}{2}} [/mm] = [mm] 2h^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
ich hoffe ich habe nun richtig integriert, habe da immer so meine probleme mit ...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:56 Mi 09.01.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> [mm]\integral{\bruch{1}{\wurzel{h}}*dh}[/mm] =
> [mm]\integral{h^{-\bruch{1}{2}}*dh}[/mm] =
> [mm]\bruch{h^{\bruch{1}{2}}}{\bruch{1}{2}}[/mm] = [mm]2h^{\bruch{1}{2}}[/mm]
so ist es richtig ... wobei du noch einen beliebigen Summanden (+c) anfügen darfst. 
Gruß
Will
|
|
|
|
