Trennung der Veränderlichen < DGL < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] y'-\bruch{1}{x}*y=0 [/mm] |
Trennung der Veränderlichen:
[mm] \bruch{dy}{dx}=\bruch{1}{x}*y
[/mm]
[mm] \integral\bruch{1}{y}dy=\integral\bruch{1}{x}dx
[/mm]
ln(y) = ln(x)+ln(c)
ln(y) = ln(x*c)
y=x*c
doch ich könnte doch auch rechnen
[mm] e^{ln(y)}=e^{ln(x)}+e^{ln(c)}
[/mm]
y=x+c
aber wieso ist letzteres falsch?
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> [mm]y'-\bruch{1}{x}*y=0[/mm]
> Trennung der Veränderlichen:
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> [mm]\bruch{dy}{dx}=\bruch{1}{x}*y[/mm]
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> [mm]\integral\bruch{1}{y}dy=\integral\bruch{1}{x}dx[/mm]
>
> ln(y) = ln(x)+ln(c)
>
> ln(y) = ln(x*c)
>
> y=x*c
>
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> doch ich könnte doch auch rechnen
>
> [mm]e^{ln(y)}=e^{ln(x)}+e^{ln(c)}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Wenn Du auf die Gleichung [mm] $\ln(y) [/mm] = [mm] \ln(x)+\ln(c)$ [/mm] beidseitig die Exponentialfunktion anwendest, dann erhältst Du etwas anderes, nämlich [mm] $e^{\ln(y)}=e^{\ln(x)+\ln(c)}$. [/mm] Weil die rechte Seite dieser Beziehung gleich [mm] $e^{\ln(y)}\cdot e^{\ln(c)}$ [/mm] ist, erhältst Du auch auf diesem Wege dieselbe allgemeine Lösung: [mm] $y=x\cdot [/mm] c$.
>
> y=x+c
> aber wieso ist letzteres falsch?
Es ist jedenfalls nicht die allgemeine Lösung der DGL. Des weiterer hast Du Dich bei der Herleitung dieser Beziehung verrechnet (siehe oben).
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> > [mm]y'-\bruch{1}{x}*y=0[/mm]
> > Trennung der Veränderlichen:
> >
> > [mm]\bruch{dy}{dx}=\bruch{1}{x}*y[/mm]
> >
> > [mm]\integral\bruch{1}{y}dy=\integral\bruch{1}{x}dx[/mm]
> >
> > ln(y) = ln(x)+ln(c)
> >
> > ln(y) = ln(x*c)
> >
> > y=x*c
> >
> >
> > doch ich könnte doch auch rechnen
> >
> > [mm]e^{ln(y)}=e^{ln(x)}+e^{ln(c)}[/mm]
> Wenn Du auf die Gleichung [mm]\ln(y) = \ln(x)+\ln(c)[/mm]
> beidseitig die Exponentialfunktion anwendest, dann erhältst
> Du etwas anderes, nämlich [mm]e^{\ln(y)}=e^{\ln(x)+\ln(c)}[/mm].
> Weil die rechte Seite dieser Beziehung gleich
> [mm]e^{\ln(y)}\cdot e^{\ln(c)}[/mm] ist, erhältst Du auch auf diesem
> Wege dieselbe allgemeine Lösung: [mm]y=x\cdot c[/mm].
> >
> > y=x+c
> > aber wieso ist letzteres falsch?
> Es ist jedenfalls nicht die allgemeine Lösung der DGL. Des
> weiterer hast Du Dich bei der Herleitung dieser Beziehung
> verrechnet (siehe oben).
y=x*c ist doch die homogene lösung und da keine partiele lösung auftaucht, weil es sich um eine homogone differentialgleichung handelt, ist die homogene lösung gleichzeitig auch die allgemeine lösung.
zumindes nehme ich an das obige gleichung eine homogone DGL ist weil da sthet [mm] y'-\bruch{y}{x}=0 [/mm] , also auf grund der "gleich 0" ist es eine homogene DGL.
aber andereseits dacht ich auch dass eine homogene DGL gegeben ist wenn der term gleich null ist und nur y vorkommen keine t´s.
original lautet die aufgabe:
[mm] y'-\bruch{y}{x}=x^2 [/mm] doch ich hab das [mm] x^2 [/mm] weggelassen weil ich zunächst nur eine homogene DGL rechnen wollte.
versuche nämlich grad in meinem kopf die verschienden lösungsmethoden der DGL zu sortieren.
dass
ln(y)=ln(x)+ln(c)
ln(y)=ln(x*c)
[mm] e^{ln(y)}=e^{ln(x*c)}
[/mm]
y=x*c
das ist für mich ersichtlich
es gilt doch:
a=b+c |*2
2a=2a+2c
somit auch:
a=b+c |*e
[mm] e^a=e^b+e^c
[/mm]
also versteh ich immernoch nicht wieso
ln(y)=ln(x)+ln(c)
[mm] e^{ln(y)}=e^{ln(x)}+e^{ln(c)}
[/mm]
y=x+c
nicht geht
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:18 Mi 27.08.2008 | | Autor: | abakus |
> > > [mm]y'-\bruch{1}{x}*y=0[/mm]
> > > Trennung der Veränderlichen:
> > >
> > > [mm]\bruch{dy}{dx}=\bruch{1}{x}*y[/mm]
> > >
> > > [mm]\integral\bruch{1}{y}dy=\integral\bruch{1}{x}dx[/mm]
> > >
> > > ln(y) = ln(x)+ln(c)
> > >
> > > ln(y) = ln(x*c)
> > >
> > > y=x*c
> > >
> > >
> > > doch ich könnte doch auch rechnen
> > >
> > > [mm]e^{ln(y)}=e^{ln(x)}+e^{ln(c)}[/mm]
> > Wenn Du auf die Gleichung [mm]\ln(y) = \ln(x)+\ln(c)[/mm]
> > beidseitig die Exponentialfunktion anwendest, dann erhältst
> > Du etwas anderes, nämlich [mm]e^{\ln(y)}=e^{\ln(x)+\ln(c)}[/mm].
> > Weil die rechte Seite dieser Beziehung gleich
> > [mm]e^{\ln(y)}\cdot e^{\ln(c)}[/mm] ist, erhältst Du auch auf
> diesem
> > Wege dieselbe allgemeine Lösung: [mm]y=x\cdot c[/mm].
> > >
> > > y=x+c
> > > aber wieso ist letzteres falsch?
> > Es ist jedenfalls nicht die allgemeine Lösung der DGL. Des
> > weiterer hast Du Dich bei der Herleitung dieser Beziehung
> > verrechnet (siehe oben).
>
>
>
>
> y=x*c ist doch die homogene lösung und da keine partiele
> lösung auftaucht, weil es sich um eine homogone
> differentialgleichung handelt, ist die homogene lösung
> gleichzeitig auch die allgemeine lösung.
>
> zumindes nehme ich an das obige gleichung eine homogone DGL
> ist weil da sthet [mm]y'-\bruch{y}{x}=0[/mm] , also auf grund der
> "gleich 0" ist es eine homogene DGL.
>
> aber andereseits dacht ich auch dass eine homogene DGL
> gegeben ist wenn der term gleich null ist und nur y
> vorkommen keine t´s.
>
>
>
> original lautet die aufgabe:
>
> [mm]y'-\bruch{y}{x}=x^2[/mm] doch ich hab das [mm]x^2[/mm] weggelassen weil
> ich zunächst nur eine homogene DGL rechnen wollte.
Eine spezielle Lösung müsste [mm] y=0,5*x^3 [/mm] sein??
>
> versuche nämlich grad in meinem kopf die verschienden
> lösungsmethoden der DGL zu sortieren.
>
>
> dass
>
> ln(y)=ln(x)+ln(c)
>
> ln(y)=ln(x*c)
>
> [mm]e^{ln(y)}=e^{ln(x*c)}[/mm]
>
> y=x*c
>
> das ist für mich ersichtlich
>
>
> es gilt doch:
>
> a=b+c |*2
> 2a=2a+2c
>
> somit auch:
>
> a=b+c |*e
> [mm]e^a=e^b+e^c[/mm]
>
> also versteh ich immernoch nicht wieso
>
> ln(y)=ln(x)+ln(c)
>
> [mm]e^{ln(y)}=e^{ln(x)}+e^{ln(c)}[/mm]
>
> y=x+c
>
> nicht geht
Weil du selbst neue Rechenregeln erfindest, die nicht gelten.
Nehmen wir ein Beispiel:
Es sei [mm] x=e^2 [/mm] und [mm] c=e^3.
[/mm]
Dann gilt [mm] ln(x)+ln(c)=ln(e^2)+ln(e^3)=2+3=5 [/mm] ,
also ln(y)=5 und damit [mm] y=e^5.
[/mm]
Nach deiner Variante müsste y=x+c, also im Beispiel [mm] y=e^2+e^3 [/mm] sein.
Es ist aber [mm] e^2+e^3 [/mm] NICHT [mm] e^5, [/mm] wie du dich mit einem Taschenrechner schnell überzeugen kannst.
Gruß Abakus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:30 Mi 27.08.2008 | | Autor: | BlubbBlubb |
also gut dann merk ich mir jetzt einfach, dass beim exponenzieren auf beiden seiten der komplette term einmal exponenziert wird,und zwar im ganzen und nicht stückweise.
thx.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:13 Mi 27.08.2008 | | Autor: | Somebody |
> also gut dann merk ich mir jetzt einfach, dass beim
> exponenzieren auf beiden seiten der komplette term einmal
> exponenziert wird,und zwar im ganzen und nicht stückweise.
Was Du Dir vor allem merken musst ist dies: Funktionsanwendung von $f$ auf eine Summe wie $a+b$ ist nicht das selbe wie Multiplikation von $a+b$ mit einer Zahl $f$. - Auch wenn Anfänger eine Schreibweise wie $f(a+b)$ manchmal mit [mm] $f\cdot [/mm] (a+b)$ also einem Produkt verwechseln, von dem Sie dann glauben es auf [mm] $f\cdot a+f\cdot [/mm] b$ und schliesslich auf $f(a)+f(b)$ umformen zu dürfen.
Dieses Problem hat auch überhaupt nichts mit dem "Exponenzieren" zu tun. Es gilt allgemein, dass aus $a=b+c$ durch beidseitige Anwendung einer Funktion $f$ nur folgt, dass $f(a)=f(b+c)$ ist. Ob Du dann auf der rechten Seite $f(b+c)$ weiter zu $f(b)+f(c)$ umformen darfst, hängt nur davon ab, ob die Funktion $f$ diese Eigenschaft hat - oder nicht. Die Exponentialfunktion und viele, viele andere Funktionen (insbesondere alle nicht-linearen Funktionen) haben diese Eigenschaft jedenfalls nicht.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:05 Mi 27.08.2008 | | Autor: | BlubbBlubb |
achso, ich verstehe was du sagen willst, das ergibt jetzt auch alles einen sinn. danke
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