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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Trennung der Veränderlichen
Trennung der Veränderlichen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Trennung der Veränderlichen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:00 Fr 10.05.2013
Autor: xsuernx

Aufgabe 1
Berechnen Sie mit Hilfe der Seperationsmethode die Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung:
$ [mm] y´=e^{-y+4x} [/mm] $ , $ y(0)=1$ .

Aufgabe 2
$ [mm] y´=-2xy^2 [/mm] $ , $ y(0)=-0,5$

Bei der zweiten Aufgabe habe ich als Ergebnis [mm] $y=-1/{-x^2+2}$ [/mm] raus was glaube ich stimmt

nur bei der ersten Aufgabe komme ich nicht weiter
ich habe
[mm] $y´=e^{-y+4x}$ [/mm]
[mm] $dy/dx=e^{-y+4x}$ [/mm]
$ln|dy|/ln|dx|=-y+4x$
$ln|dy|-ln|dx|=-y+4x$
$ln|dy|/y=4x dx$
$e^ydy=e^4xdx$
Stimmt  das? bin mir ziemlich Unsicher
Nach Intergration wäre es
[mm] $e^y=1/4e^{4x}+C$ [/mm]
$y=ln|1/4|*4x*ln|C|$

Mit der anfangsbedingung
$y(0)=1$
würde
$1=ln|1/4|*4*0*ln|C| $
folgen
was ja nicht sein Kann?

Kann mir jemand die Nummer 2 bestätigen und sagen, was bei der eins falsch läuft oder bin ich komplett auf dem Holzweg?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

MFG Sören

        
Bezug
Trennung der Veränderlichen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:18 Fr 10.05.2013
Autor: notinX

Hallo,

> Berechnen Sie mit Hilfe der Seperationsmethode die Lösung
> der gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung:
>  [mm]y´=e^{-y+4x}[/mm] , [mm]y(0)=1[/mm] .
>  [mm]y´=-2xy^2[/mm] , [mm]y(0)=-0,5[/mm]
>  Bei der zweiten Aufgabe habe ich als Ergebnis
> [mm]y=-1/{-x^2+2}[/mm] raus was glaube ich stimmt
>
> nur bei der ersten Aufgabe komme ich nicht weiter
>  ich habe
> [mm]y´=e^{-y+4x}[/mm]
>  [mm]dy/dx=e^{-y+4x}[/mm]
>  [mm]ln|dy|/ln|dx|=-y+4x[/mm]

Allgemein gilt [mm] $\ln(\frac{a}{b})\neq\frac{\ln a}{\ln b}$ [/mm]
Trenne die Variablen und integriere dann.

>  [mm]ln|dy|-ln|dx|=-y+4x[/mm]
>  [mm]ln|dy|/y=4x dx[/mm]
>  [mm]e^ydy=e^4xdx[/mm]
>  Stimmt  das? bin mir ziemlich Unsicher

So stimmts: [mm] $e^y\,\mathrm [/mm] d [mm] y=e^{4x}\,\mathrm [/mm] d x$

>  Nach Intergration wäre es
>  [mm]e^y=1/4e^{4x}+C[/mm]
>  [mm]y=ln|1/4|*4x*ln|C|[/mm]

Was ist denn hier passiert? Aus [mm] $e^y=1/4e^{4x}+C$ [/mm] folgt:
[mm] $y(x)=\ln\left(\frac{e^{4x}}{4}+C\right)$ [/mm]

>  
> Mit der anfangsbedingung
> [mm]y(0)=1[/mm]
> würde
> [mm]1=ln|1/4|*4*0*ln|C|[/mm]
>  folgen
> was ja nicht sein Kann?

Nimm die richtige Funktion und versuchs nochmal.

>  
> Kann mir jemand die Nummer 2 bestätigen und sagen, was bei
> der eins falsch läuft oder bin ich komplett auf dem
> Holzweg?

Die Lösung zur zweiten DGL ist falsch.

>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> MFG Sören

Gruß,

notinX

Bezug
                
Bezug
Trennung der Veränderlichen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:35 Fr 10.05.2013
Autor: xsuernx

Ich verstehe nicht ganz
>  
> Allgemein gilt [mm]\ln(\frac{a}{b})\neq\frac{\ln a}{\ln b}[/mm]

Ok aber

>  >  [mm]ln|dy|/y=4x dx[/mm]

Stimmt wieder?

>  
> Trenne die Variablen und integriere dann.
>  

Hab ich doch oder nicht?

> >  [mm]ln|dy|-ln|dx|=-y+4x[/mm]

>  >  [mm]ln|dy|/y=4x dx[/mm]
>  >  [mm]e^ydy=e^4xdx[/mm]
>  >  Stimmt  das? bin mir ziemlich Unsicher
>  
> So stimmts: [mm]e^y\,\mathrm d y=e^{4x}\,\mathrm d x[/mm]
>  

Tippfehler...

> >  Nach Intergration wäre es

>  >  [mm]e^y=1/4e^{4x}+C[/mm]
>  >  [mm]y=ln|1/4|*4x*ln|C|[/mm]
>  
> Was ist denn hier passiert? Aus [mm]e^y=1/4e^{4x}+C[/mm] folgt:
>  [mm]y(x)=\ln\left(\frac{e^{4x}}{4}+C\right)[/mm]
>  

Ist das jetzt der einzige fehler? Oder muss ich oben neu anfangen?

> >  

> > Mit der anfangsbedingung
> > [mm]y(0)=1[/mm]
> > würde
> > [mm]1=ln|1/4|*4*0*ln|C|[/mm]
>  >  folgen
> > was ja nicht sein Kann?
>  
> Nimm die richtige Funktion und versuchs nochmal.
>  
> >  

> > Kann mir jemand die Nummer 2 bestätigen und sagen, was bei
> > der eins falsch läuft oder bin ich komplett auf dem
> > Holzweg?
>  
> Die Lösung zur zweiten DGL ist falsch.

Verdammt dann schreib ich da gleich auch mal meine rechnung ab ok?

>  
> >  

> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
>  >  
> > MFG Sören
>
> Gruß,
>  
> notinX

Danke

Bezug
                        
Bezug
Trennung der Veränderlichen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:41 Fr 10.05.2013
Autor: notinX


> Ich verstehe nicht ganz
>  >  
> > Allgemein gilt [mm]\ln(\frac{a}{b})\neq\frac{\ln a}{\ln b}[/mm]
>  
> Ok aber
> >  >  [mm]ln|dy|/y=4x dx[/mm]

>  Stimmt wieder?

Ich bin mir nicht sicher, zeig mal noch ein paar Rechenschritte mehr, dann kann ichs Dir sagen.

>  >  
> > Trenne die Variablen und integriere dann.
>  >  
> Hab ich doch oder nicht?

Na ja, am Ende siehts schon so aus als hättest Du das getan, aber Deine Zwischenschritte kann ich nicht nachvollziehen...

>  > >  [mm]ln|dy|-ln|dx|=-y+4x[/mm]

>  >  >  [mm]ln|dy|/y=4x dx[/mm]
>  >  >  [mm]e^ydy=e^4xdx[/mm]
>  >  >  Stimmt  das? bin mir ziemlich Unsicher
>  >  
> > So stimmts: [mm]e^y\,\mathrm d y=e^{4x}\,\mathrm d x[/mm]
>  >  
> Tippfehler...
>  
> > >  Nach Intergration wäre es

>  >  >  [mm]e^y=1/4e^{4x}+C[/mm]
>  >  >  [mm]y=ln|1/4|*4x*ln|C|[/mm]
>  >  
> > Was ist denn hier passiert? Aus [mm]e^y=1/4e^{4x}+C[/mm] folgt:
>  >  [mm]y(x)=\ln\left(\frac{e^{4x}}{4}+C\right)[/mm]
>  >  
> Ist das jetzt der einzige fehler? Oder muss ich oben neu
> anfangen?

Wie gesagt, ich kann Deine Rechnung nicht nachvollziehen. Aber bis auf das stimmt Dein Ergebnis.

> > >  

> > > Mit der anfangsbedingung
> > > [mm]y(0)=1[/mm]
> > > würde
> > > [mm]1=ln|1/4|*4*0*ln|C|[/mm]
>  >  >  folgen
> > > was ja nicht sein Kann?
>  >  
> > Nimm die richtige Funktion und versuchs nochmal.
>  >  
> > >  

> > > Kann mir jemand die Nummer 2 bestätigen und sagen, was bei
> > > der eins falsch läuft oder bin ich komplett auf dem
> > > Holzweg?
>  >  
> > Die Lösung zur zweiten DGL ist falsch.
>  Verdammt dann schreib ich da gleich auch mal meine
> rechnung ab ok?

Klar.

>  >  
> > >  

> > > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > > Internetseiten gestellt.
>  >  >  
> > > MFG Sören
> >
> > Gruß,
>  >  
> > notinX
> Danke

Gruß,

notinX

Bezug
                                
Bezug
Trennung der Veränderlichen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:59 Fr 10.05.2013
Autor: xsuernx

ok also
ich habe als erstes
das $y´$
durch $dy/dx$ ersetzt
damit habe ich [mm] $dy/dx=e^{-y+4x}$ [/mm]
also
$ln|(dy/dx)|=-y+4x$

wenn $ln|(dy/dx)| = ln|dy|-ln|dx|$   <- stimmt das?

hieße das $ ln|dy|-ln|dx|=-y+4x$

Separation:
$ln|dy|+y=ln|dx|+4x$
müsste ja
[mm] $e^y dy=e^{4x}$ [/mm] sein

Integration
[mm] $e^y=1/4*e^{4x}$ [/mm]

hoffe es ist verständlicher



Bezug
                                        
Bezug
Trennung der Veränderlichen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:26 Fr 10.05.2013
Autor: MathePower

Hallo xsuernx,

> ok also
> ich habe als erstes
>  das [mm]y´[/mm]
> durch [mm]dy/dx[/mm] ersetzt
>  damit habe ich [mm]dy/dx=e^{-y+4x}[/mm]
>  also
>  [mm]ln|(dy/dx)|=-y+4x[/mm]
>  
> wenn [mm]ln|(dy/dx)| = ln|dy|-ln|dx|[/mm]   <- stimmt das?
>  


Formal ist das richtig.


> hieße das [mm]ln|dy|-ln|dx|=-y+4x[/mm]
>  
> Separation:
>  [mm]ln|dy|+y=ln|dx|+4x[/mm]
>  müsste ja
> [mm]e^y dy=e^{4x}[/mm] sein
>  
> Integration
> [mm]e^y=1/4*e^{4x}[/mm]

>


Hier fehlt auf der rechten Seite die Integrationskonstante.

[mm]e^y=1/4*e^{4x}}\red{+C}[/mm]


> hoffe es ist verständlicher
>


Verständlicher ja, aber etwas umständlich.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
Trennung der Veränderlichen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:43 Fr 10.05.2013
Autor: xsuernx


> Hallo xsuernx,
>  
> > ok also
> > ich habe als erstes
>  >  das [mm]y´[/mm]
> > durch [mm]dy/dx[/mm] ersetzt
>  >  damit habe ich [mm]dy/dx=e^{-y+4x}[/mm]
>  >  also
>  >  [mm]ln|(dy/dx)|=-y+4x[/mm]
>  >  
> > wenn [mm]ln|(dy/dx)| = ln|dy|-ln|dx|[/mm]   <- stimmt das?
>  >  
>
>
> Formal ist das richtig.
>  
>
> > hieße das [mm]ln|dy|-ln|dx|=-y+4x[/mm]
>  >  
> > Separation:
>  >  [mm]ln|dy|+y=ln|dx|+4x[/mm]
>  >  müsste ja
> > [mm]e^y dy=e^{4x}[/mm] sein
>  >  
> > Integration
> > [mm]e^y=1/4*e^{4x}[/mm]
>  >
>  
>
> Hier fehlt auf der rechten Seite die
> Integrationskonstante.
>  
> [mm]e^y=1/4*e^{4x}}\red{+C}[/mm]
>
>
> > hoffe es ist verständlicher
> >
>
>
> Verständlicher ja, aber etwas umständlich.
>  
>
> Gruss
>  MathePower

umständlich ist ja egal hauptsache richtig :/
ja mit dem C...

dann würde es ja heißen dass ich nur noch den logarithmieren muss und fertig bin?

also
[mm] $e^y=1/4*e^{4x}+C$ [/mm]

[mm] §y=ln|1/4*e^{4x}+C|$ [/mm]

da kann ich die randbedingung
$y(0)=1$
einsetzen und komme auf
[mm] $1=ln|1/4e^{4*0}+C|$ [/mm]
$1=ln|1/4*1+C|$
$1=ln|1/4+C|$
[mm] $e^1=1/4+C$ [/mm]
[mm] §C=e^1-1/4$ [/mm]

ist aber auch ein komisches ergebnis...

Bezug
                                                        
Bezug
Trennung der Veränderlichen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:50 Fr 10.05.2013
Autor: MathePower

Hallo xsuernx,

> > Hallo xsuernx,
>  >  
> > > ok also
> > > ich habe als erstes
>  >  >  das [mm]y´[/mm]
> > > durch [mm]dy/dx[/mm] ersetzt
>  >  >  damit habe ich [mm]dy/dx=e^{-y+4x}[/mm]
>  >  >  also
>  >  >  [mm]ln|(dy/dx)|=-y+4x[/mm]
>  >  >  
> > > wenn [mm]ln|(dy/dx)| = ln|dy|-ln|dx|[/mm]   <- stimmt das?
>  >  >  
> >
> >
> > Formal ist das richtig.
>  >  
> >
> > > hieße das [mm]ln|dy|-ln|dx|=-y+4x[/mm]
>  >  >  
> > > Separation:
>  >  >  [mm]ln|dy|+y=ln|dx|+4x[/mm]
>  >  >  müsste ja
> > > [mm]e^y dy=e^{4x}[/mm] sein
>  >  >  
> > > Integration
> > > [mm]e^y=1/4*e^{4x}[/mm]
>  >  >
>  >  
> >
> > Hier fehlt auf der rechten Seite die
> > Integrationskonstante.
>  >  
> > [mm]e^y=1/4*e^{4x}}\red{+C}[/mm]
> >
> >
> > > hoffe es ist verständlicher
> > >
> >
> >
> > Verständlicher ja, aber etwas umständlich.
>  >  
> >
> > Gruss
>  >  MathePower
>
> umständlich ist ja egal hauptsache richtig :/
> ja mit dem C...
>  
> dann würde es ja heißen dass ich nur noch den
> logarithmieren muss und fertig bin?
>  
> also
> [mm]e^y=1/4*e^{4x}+C[/mm]
>  
> [mm]§y=ln|1/4*e^{4x}+C|$[/mm]
>  
> da kann ich die randbedingung
> [mm]y(0)=1[/mm]
>  einsetzen und komme auf
>  [mm]1=ln|1/4e^{4*0}+C|[/mm]
>  [mm]1=ln|1/4*1+C|[/mm]
>  [mm]1=ln|1/4+C|[/mm]
>  [mm]e^1=1/4+C[/mm]
>  [mm]§C=e^1-1/4$[/mm]
>  
> ist aber auch ein komisches ergebnis...


Ist aber richtig. [ok]


Gruss
MathePower


Bezug
                                                                
Bezug
Trennung der Veränderlichen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:06 Fr 10.05.2013
Autor: xsuernx

cool danke

dann bleibt ja nur noch aufgabe 2
ich habe

[mm] $y´=-2xy^2$ [/mm]

[mm] $dy/dx=-2xy^2$ [/mm]

Seperation

[mm] $1/y^2 [/mm] dy=-2xdx$

Integration:

$ [mm] -1/y=-x^2+C$ [/mm]

[mm] $y=-1/(-x^2+C)$ [/mm]

also

[mm] $y=1/(x^2+C)$ [/mm]

mit Anfangsbedingung
[mm] $-1/2=1/(0^2+C)$ [/mm]
soweit richtig?

p.s. wie macht man einen vernünftigen Bruchstrich?
p.p.s. gibt es eigentlich eine methode sein ergebnis zu überprüfen?

MFG Sören

Bezug
                                                                        
Bezug
Trennung der Veränderlichen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:16 Fr 10.05.2013
Autor: MathePower

Hallo xsuernx,

> cool danke
>
> dann bleibt ja nur noch aufgabe 2
> ich habe
>  
> [mm]y´=-2xy^2[/mm]
>  
> [mm]dy/dx=-2xy^2[/mm]
>  
> Seperation
>  
> [mm]1/y^2 dy=-2xdx[/mm]
>  
> Integration:
>  
> [mm]-1/y=-x^2+C[/mm]
>  
> [mm]y=-1/(-x^2+C)[/mm]
>  
> also
>  
> [mm]y=1/(x^2+C)[/mm]
>  


Eigentlich muss es hier lauten:

[mm]y=\bruch{1}{x^{2}-C}[/mm]


> mit Anfangsbedingung
>  [mm]-1/2=1/(0^2+C)[/mm]
>  soweit richtig?
>  
> p.s. wie macht man einen vernünftigen Bruchstrich?


Obige Formel sieht im Formeleditor so aus: y=\bruch{1}{x^{2}-C}


>  p.p.s. gibt es eigentlich eine methode sein ergebnis zu
> überprüfen?


Setze  das Ergebnis in die DGL ein.


>  
> MFG Sören


Gruss
MathePower


Bezug
                                                                                
Bezug
Trennung der Veränderlichen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:45 Fr 10.05.2013
Autor: xsuernx


>
> Eigentlich muss es hier lauten:
>  
> [mm]y=\bruch{1}{x^{2}-C}[/mm]
>  
>

also
[mm] $-\bruch{1}{2}=\bruch{1}{0^{2}-C}$ [/mm]
daraus folgt doch C=2 oder nicht

>
> >  p.p.s. gibt es eigentlich eine methode sein ergebnis zu

> > überprüfen?
>  
>
> Setze  das Ergebnis in die DGL ein.
>  
>

dann passt C=2 aber nicht mehr:(

> > MFG Sören
>
>
> Gruss
>  MathePower
>  

Bezug
                                                                                        
Bezug
Trennung der Veränderlichen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:50 Fr 10.05.2013
Autor: MathePower

Hallo xsuernx,


> >
> > Eigentlich muss es hier lauten:
>  >  
> > [mm]y=\bruch{1}{x^{2}-C}[/mm]
>  >  
> >
> also
>  [mm]-\bruch{1}{2}=\bruch{1}{0^{2}-C}[/mm]
>  daraus folgt doch C=2 oder nicht
>  
> >
> > >  p.p.s. gibt es eigentlich eine methode sein ergebnis zu

> > > überprüfen?
>  >  
> >
> > Setze  das Ergebnis in die DGL ein.
>  >  
> >
> dann passt C=2 aber nicht mehr:(
>  

In die DGL kannst Du doch beliebige Lösungen

[mm]y=\bruch{1}{x^{2}-C}[/mm]

einsetzen.

Und das ist unabhängig von der Konstanten C.


> > > MFG Sören
> >
> >
> > Gruss
>  >  MathePower
>  >    



Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                                
Bezug
Trennung der Veränderlichen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:05 Fr 10.05.2013
Autor: xsuernx

Aber ich habe doch eine Anfangsbedingung gegeben...

ich sehe glaube ich den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr...

nochmal ganz allgemein bzw von anfang an

[mm] $y´=-2xy^2$ [/mm]
ist mit seperationsmethode und anfangsbedingung [mm] $y(0)=-\bruch{1}{2}$ [/mm]

[mm] $y=\bruch{-1}{-x^2+2}$ [/mm]
?
Mfg Sören

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Trennung der Veränderlichen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:11 Fr 10.05.2013
Autor: MathePower

Hallo xsuernx,

> Aber ich habe doch eine Anfangsbedingung gegeben...
>  
> ich sehe glaube ich den Wald vor lauter Bäumen nicht
> mehr...
>  
> nochmal ganz allgemein bzw von anfang an
>  
> [mm]y´=-2xy^2[/mm]
>  ist mit seperationsmethode und anfangsbedingung
> [mm]y(0)=-\bruch{1}{2}[/mm]
>  
> [mm]y=\bruch{-1}{-x^2+2}[/mm]
>  ?


Ja.


>  Mfg Sören


Gruss
MathePower

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