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| Aufgabe | Treppenfunktionen lassen sich schreiben als endliche Summe charakteristischer Funktionen disjunkter Quader $ [mm] Q_i \subset \IR^n [/mm] $:
$ [mm] \phi(x) [/mm] = [mm] \summe_{i,endlich} c_i [/mm] * [mm] 1_{Q_i}(x) [/mm] $ |
Dieser Satz steht bei uns im Skript. Ich verstehe nicht, warum die Summe endlich sein muss, bzw. überhaupt endlich sein kann.
Denn um z.B. zu entscheiden, ob ein Integral [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] Riemann-integrierbar ist, schaut man ja ob Ober- und Unterintegral, also das Infimum der Integrale über Treppenfunktionen (TF) $ [mm] \phi(x) \ge [/mm] f(x) $ und das Supremum der Integrale über TF $ [mm] \phi(x) \le [/mm] f(x) $, gleich sind. Wenn $ f(x) $ nun aber eine glatte Kurve ist, dann brauch ich doch eine unendlich feine Unterteilung der x-Achse, damit das Oberintegral gegen das Unterintegral geht. Wenn ich einen Sinus auf einem Intervall der Länge $ 2 [mm] \pi [/mm] $ habe und TF, die überall größer als der Sinus sind, und TF, die überall kleiner sind, betrachte, dann wird doch das Integral darüber nie gleich werden. Außer man lässt die TF beliebig "fein" werden, aber dann ist die Summe wie in dem Satz nicht mehr endlich...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:31 Mi 01.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
alles sehr richtig.
Mache dir klar, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] eben nicht "$ [mm] n=\infty [/mm] $" bedeutet !
> Außer man lässt
> die TF beliebig "fein" werden, aber dann ist die Summe wie
> in dem Satz nicht mehr endlich...
Doch !
Weil beliebig fein eben nicht "unendlich fein" ist, sondern eine Partition meint, deren Norm kleiner als ein beliebiges positive [mm] \varepsilon [/mm] ist.
Gruß Sax.
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> Hi,
>
> alles sehr richtig.
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> Mache dir klar, dass [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] eben nicht
> "[mm] n=\infty [/mm]" bedeutet !
Hm... da bin ich mir nicht ganz sicher. Wenn du Dir [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=1}^{n} f_i(x) [/mm] anschaust, wirst Du das ja auch als [mm] \summe_{i=1}^{\infty} f_i(x) [/mm] schreiben, oder? Zumindest wird das bei uns so gemacht.
> > Außer man lässt
> > die TF beliebig "fein" werden, aber dann ist die Summe wie
> > in dem Satz nicht mehr endlich...
>
> Doch !
> Weil beliebig fein eben nicht "unendlich fein" ist,
> sondern eine Partition meint, deren Norm kleiner als ein
> beliebiges positive [mm]\varepsilon[/mm] ist.
Aber solange die Norm nicht unendlich klein ist werden Ober- und Unterintegral nicht übereinstimmen/identisch sein.. :S
LG, cat
> Gruß Sax.
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:22 Do 02.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Hm... da bin ich mir nicht ganz sicher. Wenn du Dir
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=1}^{n} f_i(x)[/mm]
> anschaust, wirst Du das ja auch als [mm]\summe_{i=1}^{\infty} f_i(x)[/mm]
> schreiben, oder? Zumindest wird das bei uns so gemacht.
Bei uns auch, aber es ist eben nur eine Schreibweise. Stets handelt es sich um Summen mit endlich vielen Summanden, man betrachtet dann den Grenzwert der Folge dieser Summenwerte.
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> > > Außer man lässt
> > > die TF beliebig "fein" werden, aber dann ist die Summe wie
> > > in dem Satz nicht mehr endlich...
> >
> > Doch !
> > Weil beliebig fein eben nicht "unendlich fein" ist,
> > sondern eine Partition meint, deren Norm kleiner als ein
> > beliebiges positive [mm]\varepsilon[/mm] ist.
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> Aber solange die Norm nicht unendlich klein ist werden
> Ober- und Unterintegral nicht übereinstimmen/identisch
> sein.. :S
>
Die Werte von Ober- und Untersumme müssen auch für kein n identisch sein; damit eine Funktion R-integrierbar ist, müssen ihre Grenzwerte übereinstimmen.
Gruß Sax.
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