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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:31 Do 31.05.2007 | | Autor: | laryllan |
| Aufgabe | Zeigen sie, dass die folgenden Aussagen korrekt oder unwahr sind:
a) Ist eine Folge von Treppenfunktionen punktweise gegen eine Treppenfunktion konvergent, so ist die Konvergenz gleichmäßig.
b) Seien [tex]\tau_{1}[/tex] und [tex]\tau_{2}[/tex] Treppenfunktionen auf [a,b] und eine neue Funktion [tex] f: [a,b] \rightarrow R [/tex] sei durch [tex] f(x):= max \{ \tau_{1}(x), \tau_{2}(x) \} [/tex] erklärt. Dann ist auch [tex]f[/tex] eine Treppenfunktion. |
Aloha hé,
bin jetzt schon eine Weile am Grübeln. Gerade weil die Aufgaben so klein und kurz anmuten, bin ich umso unsicherer.
Ich habe mir bislang folgendes gedacht:
a) Für allgemeine Funktionen gilt: Aus gleichmäßiger Kovnergenz folgt auch punktweise; umgekehrt nicht. Hier liegen nun Treppenfunktionen vor. Gleichmäßige Konvergenz heißt ja, dass ich um eine Funktion einen [mm] \epsilon [/mm] - Schlauch legen kann, so dass gilt: [tex] \forall \epsilon > 0 \exist n_{0} \in \IN \forall x \in M \forall n \ge n_{0} : d(f_n(x),f(x)) \le \epsilon [/tex].
Das einzige was dabei in die Quere kommen kann, ist die "Steigung" der Funktionen, die ja an irgend einer Stelle "ausbrechen" könnte bei punktweiser Stetigkeit beliebiger Funktionen. Hier haben wir nun jedoch Treppenfunktionen, also solche Funktionen, die für ein bestimmtes Teilintervall aus [a,b] einen konstanten Wert annehmen. Dementsprechend sollte es auch kein Problem sein, dieses [tex] n_{0} [/tex] zu finden. Nun weiß ich nicht, wie man das sinngebend aufschreiben kann/soll.
b) Hier bin ich mir sehr unsicher. Aber rein von der Überlegung her, denke ich, dass es nicht stimmt.
Beispielsweise könnte man ja [tex]\tau_{1}[/tex] und [tex]\tau_{2}[/tex] wie folgt hernehmen:
[tex]\tau_{1} (x) = 4 [/tex] für [tex] x < \bruch{a+b}{2}[/tex]
[tex]\tau_{1} (x) = 2 [/tex] für [tex] x \ge \bruch{a+b}{2}[/tex]
[tex]\tau_{2} (x) = 3 [/tex] für [tex] x \le \bruch{a+b}{2}[/tex]
[tex]\tau_{2} (x) = 1 [/tex] für [tex] x > \bruch{a+b}{2}[/tex]
In diesem Falle wäre f ja nach Definition:
[tex]f(x)=4[/tex] für [tex] x < \bruch{a+b}{2}[/tex]
[tex]f(x)=1[/tex] für [tex] x > \bruch{a+b}{2}[/tex]
[tex]f(x)=3[/tex] für [tex] x = \bruch{a+b}{2}[/tex]
Per Definition ist nimmt eine Treppenfunktion immer auf einem Intervall einen bestimmten konstanten Wert an. [ [tex]\bruch{a+b}{2} , \bruch{a+b}{2}[/tex] ] ist aber kein "echtes" Intervall. Somit liegt auch keine Treppenfunktion vor.
Insbesondere lässt sich auf gleiche Weise eine Treppenfunktion definieren, die unendlich viele solcher "springenden" Punkte hat (indem ich das Intervall [a,b] einfach in beliebig viele Teilintervalle zerlege und dazu Treppenfunktionen erstelle).
Meint ihr, das ginge so?
Namárie,
sagt ein Lary, wo sich über einen Hinweis sehr freuen würde.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:52 Do 31.05.2007 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
ich antworte hier einfach mal aus dem Bauch heraus, das ganze solltest Du also nochmal kritisch überdenken....
zu a): dass die Steigung bei der Treppenfunktion lokal nicht ausreissen kann ist schon richtig, allerdings ist die Intervallgröße ja nirgendwo festgelegt. Wenn man jetzt eine Treppenfuktion auf [mm] $]0;\infty[$ [/mm] betrachtet, bei der die Intervalle zur Null hin immer kleiner werden (z.B. Intervalle der Form [mm] [\bruch{1}{n+1},\bruch{1}{n}] [/mm] und die Sprünge zwischen den Intervallen groß genug macht sollte man rein gefühlsmäßig schon eine "Steigung" hinbekommen, die die gleichmäßige Konvergenz knackt....
Der Ansatz zu b) hört sich für mich erstmal gut an...
Gruß
piet
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:19 Fr 01.06.2007 | | Autor: | laryllan |
Aloha hé Piet,
erstmal herzlichen Dank für's drüberschauen und für deine Idee bei a).
Ich hab nochmal etwas meine Aufzeichnungen gewälzt. Rein von der Idee her find ich dein Argument einleuchtend. Allerdings hatten wir bislang keine punktweise Konvergenz mit Funktionen auf abhängigen Intervallen. Aber der Hinweis, dass die Funktion trotz der "konstanten Werte" den [mm] \epsilon [/mm] - Schlauch knacken kann, scheint mir nach einer weiteren Nacht des Nachdenkens durchaus unabdingbar.
Nach ein wenig Suchen, fand ich in meinem Analysis Buch die folgende Funktion:
[tex]f_{n} : \IR \rightarrow \IR; x \mapsto \bruch{x}{n} [/tex].
Diese Funktion konvergiert (wie man sieht) gegen die Nullfunktion, jedoch konvergiert sie nicht gleichmäßig.
Nun habe ich mir überlegt, dass ich sowas ja auch als Treppenfunktion "nachbauen" kann.
Vielleicht könnte man es ja so anstellen:
[tex]\tau_{n} : \IR \rightarrow \IR; x \mapsto \bruch{ \perp x \perp}{n} [/tex]
Hierbei soll [tex] \perp x \perp} [/tex] das Abrunden à la Gauß beschreiben.
Die [tex]\tau_{n}[/tex] sind nun sicher wieder Treppenfunktionen (wie die Gauß'sche Treppenfunktion selbst) und konvergieren wie die Funktionen [tex]\f_{n}[/tex] gegen die Nullfunktion.
Sofern ich den Zusammenhang zwischen punktweiser und gleichmäßiger Konvergenz richtig verstanden habe, sollte ich doch jetzt fertig sein. Das Argument was bei [tex]\f_{n}[/tex] funktionier, sollte auch bei [tex]\tau_{n}[/tex] greifen, oder?
Namárie,
sagt ein Lary, wo hofft, dass der nächtliche Geistesblitz ihn vorran bringt
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