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| Aufgabe | | Folgern Sie, dass x [mm] \in [/mm] C genau dann gilt, wenn x eine triadische Darstellung hat mit [mm] x_{j} \in\{0,2\} [/mm] für alle j [mm] \in \mathbb{N}. [/mm] |
Ich bin mir nicht ganz sicher, wie ich diese Aufgabe zeigen soll - ich hätte es jatzt mal folgendermaßen probiert:
Man zeigt: x [mm] \in \bigcup_{j=1}^{2^{n+1}} K_{n, j} [/mm] genau dann, wenn x eine triadische Entwicklung [mm] x=\sum \limits_{k=1}^{\infty} x_{k} 3^{-k} [/mm] besitzt, für die [mm] x_{k} \in\{0,2\} [/mm] für alle k=1, [mm] \ldots, [/mm] n+1 gilt.
Denn x [mm] \in \bigcup_{j=1}^{2^{n+1}} K_{n, j} [/mm] genau dann, wenn für den linken Eckpunkt [mm] \alpha [/mm] eines der [mm] K_{n, j} \left(j=1, \ldots, 2^{n+1}\right)
[/mm]
gilt
[mm] \alpha \leqslant [/mm] x [mm] \leqslant \alpha+3^{-n-1}
[/mm]
mit [mm] \alpha=\sum \limits_{k=1}^{n+1} \alpha_{k} 3^{-k} [/mm] und [mm] \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n+1} \in\{0,2\}.
[/mm]
Behauptung: [mm] \alpha \leqslant [/mm] x [mm] \leqslant \alpha+3^{-n-1} [/mm] genau dann, wenn [mm] \alpha_{k}=x_{k} [/mm] für k=1, [mm] \ldots, [/mm] n+1.
Ist [mm] x=\alpha+3^{-n-1}, [/mm] so ist [mm] x=\sum \limits_{k=1}^{n+1} \alpha_{k} 3^{-k}+\sum \limits_{k=n+2}^{\infty} [/mm] 2 [mm] \cdot 3^{-k} [/mm] und die Behauptung ist richtig.
Ist [mm] \alpha \leqslant x<\alpha+3^{-n-1}, [/mm] muss in jeder triadischen Entwicklung [mm] x=\sum \limits_{k=1}^{\infty} x_{k} 3^{-k} [/mm] mit [mm] x_{k} \in\{0,1,2\}, [/mm] k [mm] \in \mathbb{N}, [/mm] gelten, dass [mm] \alpha_{k}=x_{k} [/mm] für k=1, [mm] \ldots, [/mm] n+1 (Koeffizientenvergleich).
Damit folgt sofort: Das Cantorsche Diskontinuum enthält genau diejenigen x [mm] \in[0,1], [/mm] die eine triadische Entwicklung besitzen in der die Ziffer 1 nicht vorkommt.
Kann ich die gegebene Aufgabe so zeigen?
In weitere Folge soll ich dann auch noch zeigen:
Sei x [mm] \in[0,1]. [/mm] Schließen Sie, dass x [mm] \in A_{k} [/mm] genau dann gilt, wenn x eine triadische Darstellung hat mit [mm] x_{j} \in\{0,2\} [/mm] für alle [mm] \( [/mm] j=1, [mm] \ldots, [/mm] k .
[mm] A_{k} [/mm] ist hierbei folgendermaßen definiert:
[mm] A_{k}:=\frac{1}{3} A_{k-1} \cup \frac{1}{3}\left(A_{k-1}+2\right) [/mm] für k [mm] \in \mathbb{N}.
[/mm]
Wie könnte ich das anschaulich zeigen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Fr 20.10.2023 | | Autor: | fred97 |
Zunächst solltest du klären, was für eine Menge C ist.
Desweiteren ist die Definition von [mm] K_{n,j} [/mm] nirgendwo zu sehen.
Weiter fehlt die Bedeutung von [mm] A_0.
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:42 Sa 21.10.2023 | | Autor: | Euler123 |
Hallo fred97,
Da hast du natürlich recht - dumm von mir, dass ich vergessen habe die Definition beizufügen:
Bei C handelt es sich in diesem Fall um die Cantor-Menge.
Kn,j stet für die Intervalle [mm] K_{n, j}=\left[\alpha_{n, j}, \alpha_{n, j}+\right. \left.3^{-n-1}\right], [/mm] j=1, [mm] \ldots, 2^{n+1}.
[/mm]
[mm] A_{0} [/mm] ist außerdem folgendermaßen definiert [mm] A_{0}:=[0,1]
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:20 Mi 25.10.2023 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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