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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:55 Di 27.05.2008 | | Autor: | Woaze |
| Aufgabe | | Triagonalisieren sie folgende Matrix: A [mm] =\pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 } [/mm] in [mm] \IR [/mm] |
So und ich schaffs aber einfach nicht.
Ich habe einen Eigenvektor gefunden: v = [mm] \pmat{ 1 \\ 0 \\ -2 }. [/mm] Und der stimmt.
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 }*\pmat{ 1 \\ 0 \\ -2 } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 \\ 0 \\ -2 }. [/mm]
Nun wähle ich die Basis [mm] (v,e_2,e_3) [/mm] und nach dem Basiswechsel müsste doch eigentlich sowas raus kommen: B [mm] =\pmat{ 1 & a_12 & a_13 \\ 0 & a_22 & a_23 \\ 0 & a_23 & a_33 } [/mm] Da eigenwert 1. Aber es klappt einfach nicht.
Das ist doch normal ein ganz harmloses Beispiel.
s^-1 = [mm] \pmat{ 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
s^-1As = B
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> Triagonalisieren sie folgende Matrix: A [mm]=\pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 }[/mm]
> in [mm]\IR[/mm]
> So und ich schaffs aber einfach nicht.
Hallo,
immerhin wirst Du ja das charakteristische Polynom berechnet haben, welches Dir die Gewißheit gibt, daß die Matrix triangulierbar ist, also die Mühe nicht vergeblich.
>
> Ich habe einen Eigenvektor gefunden: v = [mm]\pmat{ 1 \\ 0 \\ -2 }.[/mm]
> Und der stimmt.
Ja.
>
> [mm]\pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 }*\pmat{ 1 \\ 0 \\ -2 }[/mm]
> = [mm]\pmat{ 1 \\ 0 \\ -2 }.[/mm]
>
> Nun wähle ich die Basis [mm](v,e_2,e_3)[/mm] und nach dem
> Basiswechsel müsste doch eigentlich sowas raus kommen: B
> [mm]=\pmat{ 1 & a_{12} & a_{13} \\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ 0 & a_{23} & a_{33} }[/mm]
> Da eigenwert 1. Aber es klappt einfach nicht.
Es muß klappen.
>
> Das ist doch normal ein ganz harmloses Beispiel.
> s^-1 = [mm]\pmat{ 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
Hier liegt der casus knacktuns: die Transformationsmatrix S für den Übergang von der Standardbasis zu Deiner neuen ist doch
[mm] S=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 },
[/mm]
und diese hast Du falsch invertiert, insofern ist es nicht so verwunderlich, daß das Falsche herauskommt.
Generell:
Dir ist aber klar, daß Dein zweiter Basisvektor [mm] b_2 [/mm] so beschaffen sein muß, daß
[mm] Ab_2=kv+lb_2 [/mm] ergibt?
Den dritten kannst Du dann beliebig ergänzen.
Gruß v. Angela
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