Trigonalisierbar < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:20 Do 15.02.2007 | | Autor: | elalina |
Hallo Zusammen,
Kennt Jemand ein Beispiel für eine (3x3) Matrix die nicht trigonalisierbar ist?? Egal was ich nehme, ich bekomme immer eigenwerte heraus, und somit zerfällt das charakteristische Polynom doch auch immer in linearfaktoren..
Oder hab ich einen Fehler eingebaut??
Lieben Dank im Vorraus
ela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:03 Do 15.02.2007 | | Autor: | elalina |
Kennt wirklich niemand eine?? Oder ist die Frage zu dämlich? Wenn ja sorry, aber mir fällt wirklich keine ein..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:51 Fr 16.02.2007 | | Autor: | andreas |
hi
also die gewöhniche drehmatrix der ebene
[m] \left( \begin{array}{cc} \cos \varphi & \sin \varphi \\ - \sin \varphi & \cos \varphi \end{array} \right) [/m]
ist genau für alle [mm] $\varphi$, [/mm] die ganzzahlige vielfache von [mm] $\pi$ [/mm] sind, über [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] trigonalisierbar. insbesondere ist sie für [mm] $\varphi [/mm] = [mm] \frac{\pi}{2}$ [/mm] etwa nicht trigonalisierbar (rechne das einfach nach). setzt man diese matrix auf einen "diagonalblock" einer 3x3-matrix und nimmt als rest die einheitsmatrix, so erhält man eine nicht trigonalisierbare 3x3-matrix, also etwa
[m] \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \end{array} \right) [/m]
hoffe das reicht als beispiel.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:41 Fr 16.02.2007 | | Autor: | elalina |
Ich bin zwar nicht in der Lage es nachzurechnen, aber ich hab die Matrix mal berechnet, und bekomme
[mm] \lambda^3-\lambda^2-\lambda-1 [/mm] raus. Hab keine Nullstelle gefunden, und das ist für mich die Erklärung, dass Sie nicht trigonalisierbar ist.. Also ganz ganz lieben Dank ela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:39 Mi 21.02.2007 | | Autor: | andreas |
hi
dein chrakteristisches polynom kann irgendwie nicht stimmen, da [mm] $\lambda [/mm] = 1$ wohl ein eigenwert mit eigenvektor $(1, 0, [mm] 0)^t$ [/mm] ist. aber das die matrix nicht trigonalisierbar ist, da das charakteristische polynom außer diesem eigenwert keine weiteren nullstellen hat, stimmt schon.
grüße
andreas
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