Trigonometrie-Mischaufgaben < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:18 Mo 15.06.2009 | | Autor: | ItzKathi |
| Aufgabe | | Aus einem Segelflugzeug, das in 420m Höhe über dem Erboden fliegt, wird die Spitze eines Kirchturms unter einem Tiefenwinkel [mm] \alpha=25,6°, [/mm] der Fuß des Turms unter [mm] \beta=29,2° [/mm] angepeilt. Bei gleichbleibender Höhe überfliegt das Segelflugzeug 45 Sekunden später den Kirchturm. Berechne die Geschwindigkeit des Segelflugzeugs und die Höhe des Kirchturms. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also eigentlich will ich nur wissen, ob die Aufgaben auf Chinesisch oder Koreanisch sind..
Okay, im Ernst, ich habe ein riesen Problem mit Trigonometrie! Die Skizzen zu diesen Aufgaben muss ich mir wohl irgendwie zusammenreimen. Aber da diese Aufgaben "Gemischte Aufgaben zur Trigonometrie" sind, scheint es für mich einfach unmöglich bei diesen ganzen Sätzen, die es da so gibt, einen Ansatz zu finden :( Ich hoffe jemand kann mir helfen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:02 Mo 15.06.2009 | | Autor: | rabilein1 |
Meistens hilft eine Skizze weiter, um sich das alles besser vorzustellen.
Die muss nicht maßstabsgerecht sein.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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So, ich musste mich erst einmal einlesen, bin aber schließlich auf ein brauchbares Ergebnis gekommen. Da ich heute gut drauf bin und du wirklich Hilfe nötig zu haben scheinst, rechne ich es ausführlich vor.
Zunächst müssen wir wissen, was ein Tiefenwinkel ist!
"Vertikalwinkel sind in einer lotrechten Ebene gemessene Winkel.
In der Geodäsie und Astronomie sind dies insbesondere die auf die Lotrichtung bezogenen Winkel:
* Tiefenwinkel t, als Winkel eines Punktes unter dem Horizont;"
![[]](/images/popup.gif) img
Das bedeutet, der Tiefelnwinkel ist eine Angabe im Bezug auf den Horizont und der Horizont ist immer waagrecht zu meiner Blickrichtung. Das bedeutet für unser Flugzeug, dass die angegebenen Winkel vom Horizont, also einer Waagrechten zum Boden, bis zur Spitze bzw dem Fuß reichen, der Winkel also nicht z.B. zu einem gedachten Lot unter dem Flugzeug steht. Im angehängten Bild fliegt unser Flugzeug also auf der horizontalen Geraden und der angegebene Winkel ist der Winkel zu t, also vom Horizont zur Spitze bzw. zum Fuß.
Das bedeutet, wir haben jetzt einen kleineren Winkel bis zur Spitze und einen größeren bis zum Fuß des Turms. Das ganze können wir uns jetzt noch um einen 90° Winkel ergänzt vorstellen, nämlich vom Horizont bis zu einem senkrechten Lot direkt vom Flugzeug zum Boden. Diese Strecke beträgt ja 420 m, denn das Flugzeug fliegt in dieser Höhe und verlässt diese auch nicht!
Noch eine Skizze zur Verdeutlichung:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Daraus können wir die Winkel ablesen. Da zwischen Horizont und Höhe h ein rechter Winkel sein muss, können wir den fehlenden Winkel ableiten:
$ 90°-25,60°-29,20°=35,20° $
Damit können wir auch den letzten Winkel des Fußdreiecks ausrechnen, also 180-90°-35,20°=54,80°
Jetzt kommt die Trigonometrie ins Spiel. Was wir brauchen, ist die zurückgelegte Wegstrecke x, denn die physikalische Geschwindigkeit v ergibt sich aus zurückgelegter Weg pro Zeit, also $ [mm] v=\bruch{s}{t} [/mm] $
Die einzige Seite, die wir vom Dreieck haben, ist die Höhe mit 420 m. Daher kommt auch nur ein cosinus in Frage, denn der lautet ja $ [mm] cosinus=\bruch{Ankathete}{Hypotenuse} [/mm] $
Der cosinus vom oberen Winkel $ [mm] \alpha=35,20° [/mm] $ ist also $ [mm] \bruch{420m}{Hypotenuse} [/mm] $
Demnach gilt: $ [mm] cos(35,20°)=\bruch{420m}{x} \gdw x=\bruch{420m}{cos(35,20°)}=514 [/mm] $
Damit haben wir die Höhe h von 420 m und die Stecke vom Flugzeug zum Fuß des Kirchturms mit 514 m. Was uns fehlt, ist der zurückgelegte Weg, also die Verbindung von der Höhe zum Kirchturmfuß. Hier können wir jetzt einfach Pythagoras nutzen, oder aber [mm] sinus(\beta), [/mm] da der Sinus ja die Gegenkathete durch die Hypotenuse ist. Einfacher aber Pythagoras:
[mm] $420^2m^2+x^2m^2=514^2m^2 \gdw x=\wurzel{514^2m^2-420^2m^2} \approx [/mm] 296 m$
Jetzt noch die letzte Rechnung für die Geschwindigkeit:
$ [mm] v=\bruch{296m}{45s}=6,6 \bruch{m}{s}=23,76 \bruch{km}{h} [/mm] $
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:15 Mo 15.06.2009 | | Autor: | mmhkt |
Guten Abend,
zuerst mal ![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") für diese ausführliche Erläuterung!
Eine kleine Anmerkung, bzw. Korrektur zur Geschwindigkeit des Seglers muss allerdings sein:
Ohne das andere nachgerechnet zu haben - bei der Umrechnung von [mm] \bruch{m}{s} [/mm] in [mm] \bruch{km}{h} [/mm] hast Du offensichtlich durch 3,6 geteilt, anstatt damit zu multiplizieren.
@ ItzKathi:
Wenn 6,6 Meter pro Sekunde zurückgelegt werden, schafft das Flugzeug in einer Stunde diese Strecke 3600 mal.
Das Ergebnis sind [mm] \bruch{m}{h}, [/mm] das muss dann durch 1000 geteilt werden um [mm] \bruch{km}{h} [/mm] zu erhalten.
Mal 3600 und dann geteilt durch 1000 kann man eben auch gleich als mal 3,6 rechnen.
Schönen Gruß
mmhkt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:32 Di 16.06.2009 | | Autor: | Adamantin |
Das is wirklich hart, ich schaffe niemals diese blöde Umrechnung, und warum? Weil ich denke, na klar ich brauche km und Stunde, km erhalte ich, indem ich mal 1000 rechne und Stunde, indem ich mal 3600 rechne, also ergibt das [mm] \bruch{1000}{3600}, [/mm] aber irgendwie stimmt diese Überlegung eben nicht, weil ich mal [mm] \bruch{3600}{1000} [/mm] nehmen muss...
Danke für den Hinweis, hätte ich auch selber drauf kommen können, dass ne Geschwindigkeit von 1,8 km/h doch für nen Flugzeug eher wenig ist
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