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Trigonometrie: Kreis und Dreieck
Status: (Question) answered Status 
Date: 07:40 Mo 13/01/2020
Author: marthasmith

Aufgabe
<br>
Die drei Punkt [mm] $A=(X_A; Y_A), [/mm] B = [mm] (X_B; Y_B), P=(X_P; Y_P) [/mm] liegen auf einem Kreis mit dem Mittelpunkt [mm] $O=(X_O; Y_O)$ [/mm] liegen. Der Innenwinkel des Dreiecks PAB am Punkt P ist [mm] $\alpha$. [/mm]

Bei gegebenen Koordinaten A, B und [mm] $\alpha$ [/mm] gilt es die Koordinaten des Punktes P zu bestimmen (siehe Bild) [img]1[img].



<br>

Ich habe den Lösungsweg, hänge aber schon an der ersten Gleichung seit gestern Abend fest und komme nicht darauf :(

Mit [mm] $l=\bar{AB}$ [/mm] ergibt sich der Radius des Kreises:

[mm] $r_1=\frac{l}{2\cdot sin(\alpha)}$ [/mm]

Könnte mir jemand einen Tip geben warum das gilt?

attachments:
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Bezug
Trigonometrie: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 18:57 Mo 13/01/2020
Author: chrisno

Da wird der Kreiswinkelsatz (Zentriwinkelsatz) benutzt.
https://de.wikipedia.org/wiki/Kreiswinkel

Jedoch bekommst Du so nicht den Ort von P. Das kannst Du ganz einfach prüfen, indem Du P auf dem Kreis bewegst. Der Winkel bleibt gleich solange Du nicht über A oder B hinausgehst.


Bezug
                
Bezug
Trigonometrie: danke
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 08:35 Di 14/01/2020
Author: marthasmith

Hallo chrisno,

vielen Dank :) Ich war darauf schon mal am Wochenende gestoßen, habe die Dinge aber nicht zusammen gebracht.
Heute Abend werde ich dann versuchen den weiteren Weg zu verstehen. Und ja, mir ist gestern tagsüber auch aufgefallen, dass P nicht bestimmt werden kann. In der Aufgabe gibt es auch noch einen zweiten Kreis, aber da ich schon vorneweg hängengeblieben bin, hatte ich das dann vergessen hinein zu schreiben.

marthasmith

Bezug
                
Bezug
Trigonometrie: letzte unklare Gleichung
Status: (Question) answered Status 
Date: 07:53 Do 16/01/2020
Author: marthasmith

Aufgabe
<br>
Es handelt sich um die letzte mir unklare Gleichung bei der Triangulation. Zu diesem Zeipunkt des Verfahrens sind bereits bekannt die Koordinaten der beiden Kreismittelpunkte [mm] $O_1, O_2$, [/mm] der beiden Kreisradien [mm] $r_1, r_2$ [/mm] sowie der Abstand der beiden Mittelpunkte voneinander $k$. Der Winkel [mm] $\theta$ [/mm] ist der Winkel zwischen [mm] $O_2,O_1,P$. [/mm] Dann ergibt sich der Winkel aus:
[mm] $\theta=cos^{-1}\left(\frac{r_1^2+k^2-r_2^2}{2\cdot r_1\cdot k} \right) [/mm] $
[Dateianhang nicht öffentlich]






<br>
Meine Fragen sind folgendermaßen:
a) Habe ich den Winkel [mm] $\theta$ [/mm] richtig in der Zeichnung eingetragen? 
b) Ich komme überhaupt nicht darauf wie die Gleichung entsteht. Hat da jemand einen Tipp zu?
Ganz herzlichen Dank und ich bin froh, wenn ich an das Thema "Triangulation" anschließend einen Haken setzen kann. 

attachments:
Attachment # 1 (Type: JPG) [nicht öffentlich]
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Trigonometrie: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 13:39 Do 16/01/2020
Author: leduart

Hallo
der cos Satz in deinem Dreieck
sagt: [mm] r_2^2 =k^2+r_1^2-2r_1*k*cos(\Theta) [/mm]
also [mm] 2r_1*k*cos(\Theta)=k^2+r_1^2-r_2^2 [/mm]
das kannst du danksicher auflösen?
Gruß ledum

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Trigonometrie: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 13:40 Do 16/01/2020
Author: leduart

Hallo
leider doppelt

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