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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:15 Do 21.08.2008 | | Autor: | pagnucco |
| Aufgabe | Oft ist es hilfreich, wenn man nicht mit sinx, cosx und tanx arbeiten muss, sondern mit einfacheren Termen, die eine Näherung darstellen. Wenn x werte in der Nähe von 0 annimmt, sind folgende Näherungen möglich:
sinx~x , cosx~1-x , tanx~x
In diesem Fall kann man mit Termen linearer Funktionen arbeiten, in denen jeweils das Bogenmaß auftritt. Begründen sie diese Näherung anhand der Darstellung am Einheitskreis. Ist die Näherung jeweils größer oder kleiner als der tatsächliche Wert? Unterscheiden sie dabei zwischen x>0, x<0. |
Hallo alle zusammen,
Wenn ich für sinx Werte einsetze nahe null, ist die Näherung ja immer kleiner, bei tanx ähnlich. Bei cosx ~1-x umgekehrt, dort ist die rechte Seite immer etwas größer als die linke (bsp: cos 0,1°=0.999998477 ~ 1-0,1). Irgentwie versteh ich aber nicht genau, was ich eigentlich alles hier sagen bzw. machen muss, um die Aufgabe vollends zu beantworten?
Lg pagnucco
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:28 Do 21.08.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
zeichne einen Einheitskreis und begründe deine Aussagen daran.
Das Bogenmaß eines Winkels ist dort ja die Bogenlänge.
LG
Will
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> Wenn x Werte in der Nähe von 0
> annimmt, sind folgende Näherungen möglich:
> sinx~x , cosx~1-x , tanx~x
> In diesem Fall kann man mit Termen linearer Funktionen
> arbeiten, in denen jeweils das Bogenmaß auftritt.
Die Näherungen sin(x)~x und tan(x)~x sind
als lineare Näherungen O.K.
Für cos(x) gibt es aber eine bessere lineare
Näherung im Bereich |x]<<1 als die angegebene, nämlich:
cos(x)~1
Da die Näherungen sin(x)~x und tan(x)~x eigentlich
sogar als Näherungen 2.Ordnung (also mit quadratischer
Funktion) taugen, müsste man - um eine Approximation
entsprechender Güte auch für den Cosinus zu erhalten -
auch die quadratische Näherungsfunktion nehmen.
Diese wäre:
[m]\ cos(x)\sim 1-\bruch{x^2}{2}[/m]
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:50 Do 21.08.2008 | | Autor: | pagnucco |
Hallo nochmal,
Puh da bin ich ja froh das ich auf der richtigen Fährte war  . Belegen am Einheitskreis ist denke ich nicht so schwer. Das bekomm ich hin.
Vielen Dank für die Tipps und schönen Tag noch. Bis demnächst mal wieder.
Lg pagnucco
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> Wenn ich für sinx Werte einsetze nahe null, ist die
> Näherung ja immer kleiner, bei tanx ähnlich. Bei cosx ~1-x
> umgekehrt, dort ist die rechte Seite immer etwas größer als
> die linke (bsp: cos 0,1°=0.999998477 ~ 1-0,1).
hallo pagnucco,
in dem Beispiel hast du nicht beachtet, dass x der Winkel
im Bogenmass sein muss. Für den Winkel [mm] \alpha [/mm] =0.1°
müsste man nicht x=0.1 , sondern
[mm] x=0.1*\bruch{\pi}{180}=0.001745...
[/mm]
nehmen !
Die angegebene Näherung würde ergeben:
[mm] cos(0.1°)=cos(0.001745...)\sim [/mm] 1-0.001745... = 0.99825...
Hier sieht man auch deutlich, dass die Näherung [mm] cos(x)\sim [/mm] 1
(die ich in meiner anderen Mitteilung erwähnt habe) viel
besser ist:
|cos(0.1°)-1|=0.0000015...
aber
|cos(0.1°)-0.99825...|=0.0017...
(hier ist der Fehler über 1000 mal grösser !)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:52 Do 21.08.2008 | | Autor: | pagnucco |
Oh! vielen Dank Al-Chwarizmi ,
diesen Fehler hatte ich gar nicht bemerkt, aber hast vollkommend recht. Wenn ich dich nicht hätte ...
ciao und schönen Tag noch
pagnucco
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