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Forum "Uni-Analysis" - Trigonometrie
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Trigonometrie: Infos gesucht
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:20 Di 23.08.2005
Autor: Bastiane

Hallo!

Ich beschäftige mich gerade mit [mm] \sin [/mm] und [mm] \cos, [/mm] und zwar so, wie sie aus [mm] \exp [/mm] hergeleitet wurden. Ich würde dazu gerne ein bisschen mehr lesen, weiß aber nicht, unter welchem Stichwort ich suchen soll. Wenn ich "Trigonometrie" bei google eingebe, dann kommen da nur Definitionen am Dreieck oder am Einheitskreis. Wer kann mir da helfen?

Viele Grüße
Bastiane
[banane]


        
Bezug
Trigonometrie: Eulersche Identität
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:26 Di 23.08.2005
Autor: MatthiasKr

Hallo Bastiane,

wenn Du unter 'Eulersche Identität' nachschaust bzw. googlest, solltest du einiges an brauchbaren infos finden.

Viele Grüße
Matthias

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Bezug
Trigonometrie: noch was?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:05 Di 23.08.2005
Autor: Bastiane

Hallo Matthias!

Danke für die Antwort. Allerdings wird da in den meisten Artikeln nur der Wikipedia Artikel über die eulersche Identität zitiert. Vielleicht fällt jemanden ja noch ein anderes Stichwort ein? Würde auch gerne ein paar einfache Aufgaben dazu finden.

Viele Grüße
Bastiane
[cap]


Bezug
                        
Bezug
Trigonometrie: Buchtipp
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:25 Di 23.08.2005
Autor: djmatey

Hi Bastiane,
kennst Du das Buch Funktionentheorie von Wolfgang Fischer und Ingo Lieb? Das Kapitel "Elementare Funktionen" darin behandelt genau Dein Thema und ist eigentlich sehr verständlich geschrieben - kann ich Dir empfehlen! Aufgaben dazu gibt's da auch!
LG djmatey

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Bezug
Trigonometrie: bedingt Off topic
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:08 Di 23.08.2005
Autor: MatthiasKr

Hallo,

jaja Ingo Lieb.... *anunizeitendenk* hat sonst noch jemand von den alten hasen hier bei lieb in bonn vorlesungen gehört? ich die analysis 1-4, wobei die funktionentheorie natürlich der höhepunkt war! ;-)

jetzt ist er ja vermutlich schon in pension.

Viele Grüße
Matthias

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Bezug
Trigonometrie: alte Zeiten
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:17 Di 23.08.2005
Autor: statler

Hallo,

ich kenne ihn noch als Assistent von Grauert in Göttingen, wer bietet mehr?

Dieter


Bezug
                                                
Bezug
Trigonometrie: Respekt...
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:22 Di 23.08.2005
Autor: MatthiasKr

da kann ich nicht mithalten... ;-)

Matthias

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Bezug
Trigonometrie: Biete mehr
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:35 Di 23.08.2005
Autor: Stefan

Hallo!

Also, ich habe drei Prüfungen bei ihm gemacht:

Zwischenprüfung (Lehramt), Vordiplom (Ana I-IV) und Diplom (Komplexe Analysis mehrerer Veränderlicher). Weiterhin habe ich bei ihm insgesamt sieben Vorlesungen gehört  und zwei Seminare belegt. Und er war mein Vertrauensdozent.

Das sollte ungetoppt bleiben... ;-)

Liebe Grüße
Stefan

Bezug
                                                                
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Trigonometrie: Schon gut schon gut....
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:56 Di 23.08.2005
Autor: statler

Stefan, ich dachte es gehe darum wer ihn am längsten kennt, ich war offenbar in der falschen Disziplin angetreten.

Also 1 : 0 für dich, Ehre wem Ehre gebührt.

Dieter

Bezug
                                                                        
Bezug
Trigonometrie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:59 Di 23.08.2005
Autor: Stefan

Hallo Dieter!

> Stefan, ich dachte es gehe darum wer ihn am längsten kennt,

Stimmt, ich habe es noch einmal überflogen, so war es wohl. ;-) Aber das ist ja unfair, denn du bist ja ein paar Semester älter. ;-) Und aus dem Kindergarten kann ich ihn einfach nicht kennen... ;-)

> ich war offenbar in der falschen Disziplin angetreten.

Ich denke eher ich.
  

> Also 1 : 0 für dich, Ehre wem Ehre gebührt.

Sagen wir 1:1...

Liebe Grüße
Stefan  


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Bezug
Trigonometrie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:54 Di 23.08.2005
Autor: Stefan

Hallo Matthias!

> jaja Ingo Lieb.... *anunizeitendenk* hat sonst noch jemand
> von den alten hasen hier bei lieb in bonn vorlesungen
> gehört? ich die analysis 1-4, wobei die funktionentheorie
> natürlich der höhepunkt war! ;-)

Ich nehme an, dass wir die Vorlesungen zusammen gehört haben, weil ich sie nach meiner Zwischenprüfung zum Teil (während ich bereits das Hauptstudium auf Lehramt machte) noch gehört habe, in der Gewissheit auf Diplom wechseln und bei ihm Vordiplom machen zu wollen. Die Funktionentheorie-Vorlesung war wirklich genial, und ich selber besitze zwar ca. 70 Funktionentheorie-Bücher, auch sehr moderne, aber keines kommt an den Klassiker Fischer/Lieb ran, finde ich. Auch das zweite Buch (Ausgewählte Kapitel...) ist super, ich habe es komplett durchgearbeitet. Jetzt hat er noch ein Buch zur komplexen Analysis mehrerer Veränderlicher herausgegeben vor ein paar Jahren, das er (kennst du ihn? Rasmus) zum Teil mitformuliert und Korrektur gelesen hat.
  

> jetzt ist er ja vermutlich schon in pension.

In der Tat, denn ich war bei seiner Verabschiedung (stimmt gar nicht, das war sein 60. Geburtstag! Habe ich verwechselt mit Karchers Emeritiertung) (Kolloquium) dabei. Aber emeritiert müsste er trotzdem sein... (Jahrgang 39, wenn ich mich nicht irre...)  

Schade, dass er nicht mehr Professor (und Dekan) ist!

Liebe Grüße
Stefan

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Trigonometrie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:50 Di 23.08.2005
Autor: MatthiasKr

Hallo Stefan,

vermutlich haben wir zusammen in den ana 1-4 vorlesungen gesessen, ja(94-96). ich mochte seine ruhige art auch sehr gerne, auch wenn sie vielleicht manchmal (zb. montag morgen um 8h) ein bißchen zu monoton war ... ;-) jedenfalls hatte ich meine erste vordiplomsprüfung bei ihm und war natürlich sehr aufgeregt vorher. aber seine superruhige und nette art hat mich in der prüfung direkt angesteckt!
ich selbst bin nicht weiter als funktionentheorie bei ihm gekommen, kenne aber einige leute, die bei ihm in komplexer analysis diplom gemacht haben. Rasmus kenne ich glaube ich zumindest vom sehen.

Viele Grüße
Matthias

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Trigonometrie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:57 Di 23.08.2005
Autor: Stefan

Hallo Matthias!

> vermutlich haben wir zusammen in den ana 1-4 vorlesungen
> gesessen, ja(94-96).

Genau! [ok]

> ich mochte seine ruhige art auch sehr
> gerne, auch wenn sie vielleicht manchmal (zb. montag morgen
> um 8h) ein bißchen zu monoton war ... ;-) jedenfalls hatte
> ich meine erste vordiplomsprüfung bei ihm und war natürlich
> sehr aufgeregt vorher. aber seine superruhige und nette art
> hat mich in der prüfung direkt angesteckt!

Ja, so ging es mir auch... Bei ihm kann man nicht nervös werden... ;-)

>  ich selbst bin nicht weiter als funktionentheorie bei ihm
> gekommen, kenne aber einige leute, die bei ihm in komplexer
> analysis diplom gemacht haben.

Wen denn? (Gerne auch per PN...) Mir wäre das zu schwierig gewesen. Ich habe zwar bei ihm dann mehrere Vorlesungen zur Komplexen Analysis mehrerer Veränderlichen gehört, die auch ganz gut verstanden, aber ich hätte mir niemals zugetraut dort Diplomarbeit zu schreiben. Aber die Diplomprüfung war schon ziemlich einfach, damit hatte ich eh totales Glück (die anderen Prüfungen hatte ich bei Albeverio, der eh nur eine Note kennt...) . ;-)

> Rasmus kenne ich glaube ich
> zumindest vom sehen.

Ich hoffe ich sehe ihn bald mal wieder (er kommt nach Deutschland zurück), denn er war mal ein ganz guter Freund (und Zimmernachbar) von mir. :-)

Liebe Grüße
Stefan


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Trigonometrie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:38 Di 23.08.2005
Autor: Stefan

Liebe Christiane!

Gut, dann versuche mal die beiden folgenden Aufgaben:

1) leichte Aufgabe

Leite aus der Eulerschen Identität (die üblichen) Additionstheoreme [mm] $\sin(x+y) [/mm] = [mm] \ldots$ [/mm] und [mm] $\cos(x+y) [/mm] = [mm] \ldots$ [/mm] für die Sinus- und die Cosinusfunktion her.


2) etwas schwierigere Aufgabe (aus dem bereits zitierten Fischer/Lieb)

Zeige mit Hilfe der Eulerschen Identität:

[mm] $\sum\limits_{k=0}^n \cos(kz) [/mm] = [mm] \frac{1}{2} [/mm] + [mm] \frac{1}{2} \frac{\sin\left(\left( n + \frac{1}{2} \right)z\right)}{\sin\left( \frac{1}{2} z \right)}$ [/mm]

für alle $z [mm] \notin 2\pi \IZ$ [/mm] und leite eine ähnliche Formel für [mm] $\sum\limits_{k=0}^n \sin(kz)$ [/mm] her.

Liebe Grüße
Stefan

Bezug
                                
Bezug
Trigonometrie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:36 Di 23.08.2005
Autor: Bastiane

Lieber Stefan!

> 1) leichte Aufgabe
>  
> Leite aus der Eulerschen Identität (die üblichen)
> Additionstheoreme [mm]\sin(x+y) = \ldots[/mm] und [mm]\cos(x+y) = \ldots[/mm]
> für die Sinus- und die Cosinusfunktion her.

Die Aufgabe bzw. auch die Lösung steht auch im Forster drin. ;-) Habe sie aber nochmal so gemacht - ist ja wirklich nicht schwierig, wenn man weiß, wie man anfängt.

> 2) etwas schwierigere Aufgabe (aus dem bereits zitierten
> Fischer/Lieb)
>  
> Zeige mit Hilfe der Eulerschen Identität:
>  
> [mm]\sum\limits_{k=0}^n \cos(kz) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \frac{\sin\left(\left( n + \frac{1}{2} \right)z\right)}{\sin\left( \frac{1}{2} z \right)}[/mm]
>  
> für alle [mm]z \notin 2\pi \IZ[/mm] und leite eine ähnliche Formel
> für [mm]\sum\limits_{k=0}^n \sin(kz)[/mm] her.

Kannst du mir hier vielleicht mal sagen, wie ich anfangen soll? Irgendwie bin ich da noch auf keinen grünen Zweig gekommen...

viele Grüße
Christiane
[cap]


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Trigonometrie: edit: rechts und links...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:16 Di 23.08.2005
Autor: Stefan

Liebe Christiane!

Ein Vergleich der beiden Realteile von

[mm] $\sum\limits_{k=0}^n e^{ikz} [/mm] = [mm] \frac{1-e^{i(n+1)z}}{1 - e^{iz}}$ [/mm]

führt zum Ziel (rechts ;-) natürlich vorher geschickt mit [mm] $e^{i \frac{z}{2}}$ [/mm] kürzen!).

Liebe Grüße
Stefan

Bezug
                                                
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Trigonometrie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:40 Di 23.08.2005
Autor: Bastiane

Lieber Stefan!

> Ein Vergleich der beiden Realteile von
>  
> [mm]\sum\limits_{k=0}^n e^{ikz} = \frac{1-e^{i(n+1)z}}{1 - e^{iz}}[/mm]
>  
> führt zum Ziel (rechts ;-) natürlich vorher geschickt mit
> [mm]e^{i \frac{z}{2}}[/mm] kürzen!).

Was ist denn der Realteil von [mm] \sum\limits_{k=0}^n e^{ikz}? [/mm] Ich komme bisher nur so weit:

[mm] e^{ikz}=\summe_{j=0}^{\infty}\bruch{(ikz)^j}{j!} [/mm]

Also

[mm] \sum\limits_{k=0}^n e^{ikz} [/mm] = [mm] \sum\limits_{k=0}^n \summe_{j=0}^{\infty}\bruch{(ikz)^j}{j!} [/mm]

Und wie komme ich dann auf den Realteil?

Viele Grüße
Christiane
[hand]



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Bezug
Trigonometrie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:48 Di 23.08.2005
Autor: Stefan

Liebe Christiane!

> Was ist denn der Realteil von [mm]\sum\limits_{k=0}^n e^{ikz}?[/mm]
> Ich komme bisher nur so weit:
>  
> [mm]e^{ikz}=\summe_{j=0}^{\infty}\bruch{(ikz)^j}{j!}[/mm]

Das bringt nichts. Wir haben:

[mm] $\sum\limits_{k=0}^n e^{ikz} [/mm] = [mm] \sum\limits_{k=0}^n (\cos(kz) [/mm] + i [mm] \sin(kz)) [/mm] = [mm] \sum\limits_{k=0}^n \cos(kz) [/mm] + i [mm] \sum\limits_{k=0}^n \sin(kz)$. [/mm]

Ist es jetzt klar? :-)

Liebe Grüße
Stefan

Bezug
                                                                
Bezug
Trigonometrie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:05 Di 23.08.2005
Autor: Bastiane

Lieber Stefan!
> > Was ist denn der Realteil von [mm]\sum\limits_{k=0}^n e^{ikz}?[/mm]
> > Ich komme bisher nur so weit:
>  >  
> > [mm]e^{ikz}=\summe_{j=0}^{\infty}\bruch{(ikz)^j}{j!}[/mm]
>  
> Das bringt nichts. Wir haben:
>  
> [mm]\sum\limits_{k=0}^n e^{ikz} = \sum\limits_{k=0}^n (\cos(kz) + i \sin(kz)) = \sum\limits_{k=0}^n \cos(kz) + i \sum\limits_{k=0}^n \sin(kz)[/mm].
>  
> Ist es jetzt klar? :-)

Naja, dann ist der Realteil davon [mm] \sum\limits_{k=0}^n \cos(kz). [/mm]

Aber was ist der Realteil von [mm] \frac{1-e^{i(n+1)z}}{1 - e^{iz}}? [/mm] Hier habe ich das jetzt genauso versucht, dann mit dem konjugiert komplexen erweitert, da erhalte ich dann als Nenner [mm] -2\cos{z}+1. [/mm] Den Zähler habe ich noch nicht berechnet, weil es dummes Rechnen ist und ich mir nicht sicher bin, ob das wirklich zum Ziel führt!?

Viele Grüße
Christiane
[cap]


Bezug
                                                                        
Bezug
Trigonometrie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:09 Di 23.08.2005
Autor: Stefan

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Liebe Christiane!

Hast du meinen Tipp überlesen?

Bitte mit $e^{i\frac{z}{2}}$ kürzen!

Dann erhältst du

$\frac{e^{- i\frac{z}{2}} - e^{i \left( n + \frac{1}{2} \right)z}}{e^{-i \frac{z}{2}} - e^{i\frac{z}{2}}$.

Fangen wir mal mit dem Nenner an. Eine komplexe Zahl minus ihre konjugiert Komplexe ergibt...

Liebe Grüße
Stefan

Bezug
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