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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:10 So 02.10.2005 | | Autor: | Mathe0 |
Hallo,
habe hier eine Aufgabe für die mir der Lösungsweg/Durchblick fehlt.
Aufgabenstellung:
für jedes [mm] t\in\IR [/mm] ist die Funktion [mm] f_{t} [/mm] : x [mm] \mapsto [/mm] (3-t)*sin(2x) + t*cos(x);
x [mm] \in [0;2\pi] [/mm] gegeben. Ihr Schaubild ist [mm] K_t.
[/mm]
c) Ermitteln Sie die Menge aller [mm] t\in \IR, [/mm] für die [mm] K_t [/mm] genau zwei Schnittpunkte mit der x-Achse hat.
Wenn ich mit dem Taschenrechner rumspiele sehe ich, dass für t>6 vier Nullstellen vorhanden sind. Wie argumentiere ich jetzt aber richtig / löse diese Aufgabe richtig?
Normaleweise für Nullstellen Gleichung = 0 setzen aber wie dann weiter?
Habe hier noch eine andere Teilaufgabe, zu dieser Aufgabe, bei der ich einfach nicht auf das richtige Ergebnis komme. Vielleicht kann mir jemand sagen wo mein Fehler liegt?
Aufgabestellung:
c) [mm] K_2 [/mm] und [mm] K_t [/mm] schließen im vierten Quadranten zwei Flächenstücke ein. Berechnen sie alle [mm] t\in \IR, [/mm] für die die Summe der Flächeninhalte 5FE beträgt.
Rauskommen muss 0 oder 4.
Wenn ich das Intergral bilde und mit dem Taschenrechner (TI-92 Plus) löse komme aber auf ein falsches Ergebnis.
[mm] \integral_{\pi/2}^{ 3/2\pi} [/mm] {f(x,t)-f(x,2) dx}=5
[mm] \pi/2 [/mm] und [mm] 3/2\pi [/mm] sind ja die Schnittstellen von den beiden Kurven die auch bei einem sich ändernden t gleich bleiben und müssten somit meine Integrationsgrenzen sein. Wenn ich das jetzt in den Taschenrechner eingebe und versuche nach t aufzulösen kommt etwas mit [mm] 5\pi [/mm] raus. Wo liegt mein Fehler?
Schonmal vielen Dank
Mfg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:31 So 02.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mathe0,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
> Wenn ich mit dem Taschenrechner rumspiele sehe ich, dass
> für t>6 vier Nullstellen vorhanden sind. Wie argumentiere
> ich jetzt aber richtig / löse diese Aufgabe richtig?
> Normaleweise für Nullstellen Gleichung = 0 setzen aber wie
> dann weiter?
Der Trick ist hier, zunächst ein Additionstheorem für [mm] $\sin(2x)$ [/mm] anzuwenden:
[mm] $\sin(2x) [/mm] \ = \ [mm] 2*\sin(x)*\cos(x)$
[/mm]
Dies setzen wir nun mal ein:
$0 \ = \ [mm] (3-t)*2*\sin(x)*\cos(x) [/mm] + [mm] t*\cos(x)$
[/mm]
Nun klammern wir mal [mm] $\cos(x)$ [/mm] aus:
$0 \ = \ [mm] \cos(x)*\left[(3-t)*2*\sin(x) + t\right]$
[/mm]
Ein Produkt ist genau dann gleich Null, wenn (mindestens) einer der Faktoren gleich Null ist. Es gilt also:
[mm] $\cos(x) [/mm] \ = \ 0$ oder [mm] $(3-t)*2*\sin(x) [/mm] + t \ = \ 0$
Da der [mm] $\cos$ [/mm] in dem genannten Intervall bereits zwei Nullstellen hat, darf der andere Term also nie Null werden, damit wir genau 2 Nullstellen erhalten.
Es muß also gelten: [mm] $(3-t)*2*\sin(x) [/mm] + t \ [mm] \not= [/mm] \ 0$
Umgeformt nach [mm] $\sin(x)$ [/mm] ergibt das: [mm] $\sin(x) [/mm] \ [mm] \not= [/mm] \ [mm] \bruch{-t}{2*(3-t)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{t}{2*(t-3)}$
[/mm]
Der [mm] $\sin$ [/mm] nimmt innerhalb des genannten Intervalles jeden Wert zwischen $-1 \ [mm] \le [/mm] \ y \ [mm] \le [/mm] \ +1$ an.
Daraus folgt nun, dass unser Bruch größer als $+1_$ oder kleiner als $-1_$ sein muss.
Oder kurz: [mm] $\left|\bruch{t}{2*(t-3)}\right| [/mm] \ > \ 1$
Nun musst Du diese Ungleichung lösen, um die gesuchten $t_$ zu ermitteln (Fallunterscheidung!).
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 So 02.10.2005 | | Autor: | Mathe0 |
Vielen Dank für diese sehr gute Antwort. Warum kann unser Mathelehrer das nur nicht so erklären?
Demnach müsste das Ergebnis t=2 und t=4 sein, wenn ich die Gleichung auflöse.
Wo ich noch echte Verständnisschwierigkeiten habe ist, wie man darauf kommt das der Bruch > oder < 1 sein muss und wie das davon abgeleitet wird das der Sinus jeden WErt zwischen -1 und 1 im Interball annimmt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:01 So 02.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mathe0!
> Demnach müsste das Ergebnis t=2 und t=4 sein, wenn ich die
> Gleichung auflöse.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Da habe ich etwas anderes (das widerspricht ja auch etwas Deiner Feststellung, die Du zuvor mit dem TR ermittelt hattest).
$2 \ < \ t \ < \ 6$
Den Fall $t \ = \ 3$ kannst Du nicht über die Ungleichung bestimmen bzw. untersuchen, sondern musst ihn durch Einsetzen in die Funktionsgleichung gesondert betrachten.
Siehe auch hier:
[Dateianhang nicht öffentlich]
(Diese Skizze betrachtet ausschließlich den zu untersuchenden Bruch!)
Welche Fallunterscheidungen hast Du denn gemacht (es müssten insgesamt $4_$ sein) ?
> Wo ich noch echte Verständnisschwierigkeiten habe ist, wie
> man darauf kommt das der Bruch > oder < 1 sein muss und wie
> das davon abgeleitet wird das der Sinus jeden WErt zwischen
> -1 und 1 im Interball annimmt.
Wir waren uns ja einig, dass die 2. Klammer keine weitere Lösungen für die Nullstellenermittlung erzeugen darf, oder?
Und in einer ganzen Periode von $0 \ [mm] \le [/mm] \ x \ [mm] \le [/mm] \ [mm] 2\pi$ [/mm] nimmt der $sin$ jeden Wert zwischen $-1 \ [mm] \le [/mm] \ y \ [mm] \le [/mm] \ +1$ an.
Wir müssen also dafür sorgen, dass die (vermeintlichen) Werte des [mm] $\sin$ [/mm] nun genau außerhalb dieses Intervalles [mm] $\left[-1; \ +1\right]$ [/mm] liegen. Der Bruch muss also entweder kleiner als $-1_$ oder größer als $+1_$ sein.
(Genauer gesagt: der [mm] $\sin$ [/mm] darf für den entstehenden Bruch keine Lösung in [mm] $\IR$ [/mm] haben!)
Nun klar(er) und ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]") ??
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 So 02.10.2005 | | Autor: | Mathe0 |
Hallo,
hab natürlich 6 rausbekommen nicht 4, hab mich hier nur verschrieben.
Warum eigentlich/was heißt eigentlich vier Fallunterscheidungen?
Ich habe t/2*(t-3)>1 nach t aufgelöst und t<6 bekommen und
t/2(t-3)<-1 nach t>2. Allerdings habe ich festgestellt das je nachdem auf welche Seite ich das t bringe auch t>6 rauskommt.
Den Rest habe ich jetzt dank der super Erklärung kapiert.
Nochmal vielen Dank für die ausführliche und schnelle Antwort.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:45 So 02.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mathe0!
> Ich habe t/2*(t-3)>1 nach t aufgelöst und t<6 bekommen und
> t/2(t-3)<-1 nach t>2. Allerdings habe ich festgestellt das
> je nachdem auf welche Seite ich das t bringe auch t>6
> rauskommt.
Du multiplizierst ja jeweils im ersten Umrechnungsschritt mit $2*(t-3)_$ auf beiden Seiten der Ungleichung, oder?
Da musst Du natürlich aufpassen, ob dieser Faktor größer oder kleiner als Null ist, da ja bei der Multiplikation mit negativen Zahlen das Ungleichheitszeichen sich umkehrt!
Daher hast Du dann je Rechnung die beiden Fallunterscheidungen $t-3 \ > \ 0$ bzw. $t-3 \ < \ 0$ .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:24 So 02.10.2005 | | Autor: | Mathe0 |
Hallo Loddar,
habe ich das jetzt richtig verstanden, dass ich für t/2*(t-3)>1 einmal das Ergebniss t>6 und t<6 herausbekomme weil der Faktor negativ sein kann und somit sich das Ungleichheitszeichen umdreht, und genauso für die andere Ungleichung und daraus folgt vier Fallunterscheidungen?
Aber woher weiß ich dann was meine richtige Lösung für t ist?
In diesem Fall ja 2<t<6
Sorry wenn ich ein wenig auf dem Schlauch stehe. Habe bisher mit solchen Sachen in Mathe noch nichts zu tun gehabt.
Mfg
Mathe0
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:46 So 02.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mathe0!
Na, dann gehen wir mal die eine der beiden Rechnungen schrittweise durch!
[mm] $\bruch{t}{2*(t-3)} [/mm] \ < \ -1$ [mm] $\left| \ * 2 \ > 0$
$\bruch{t}{t-3} \ < \ -2$ $\left| \ * (t-3)$
Nun die Fallunterscheidungen ...
[u]Fall 1[/u]: $t-3 \ > \ 0$ $\gdw$ $t \ > \ 3$
In diesem Fall bleibt das Ungleichheitszeichen so wie es ist:
$t \ \red{<} \ -2*(t-3) \ = \ -2t+6$
$\gdw$ $3t \ < \ 6$
$\gdw$ $t \ < \ 2$
Dies steht jedoch im Widerspruch zur Behauptung des 1. Falles mit $t \ > \ 3$ , daher für diesen Fall [b]keine[/b] Lösung.
[u]Fall 2[/u]: $t-3 \ < \ 0$ $\gdw$ $t \ < \ 3$
Hier multiplizieren wir also mit einer negativen Zahl; das Ungleichheitszeichen kehrt sich um:
$t \ \red{>} \ -2*(t-3) \ = \ -2t+6$
$\gdw$ $3t \ > \ 6$
$\gdw$ $t \ > \ 2$
Hier ergibt sich eine Lösungsmenge, gemeinsam mit der Behauptung des 2. Falles:
$L \ = \ \{ \ 2 \ < \ t \ < \ 3 \ \}$
Schaffst Du die 2. Ungleichung $\bruch{t}{2*(t-3)} \ > \ +1$ nach diesem Schema nun selber?
Gruß
Loddar
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:41 So 02.10.2005 | | Autor: | Mathe0 |
Hallo,
so nun also mein Versuch mit der zweiten Gleichung
t/2*(t-3)>1 /*2>0
t/t-3 > 2
Nun die Fallunterscheidungen:
Fall 1: t-3>0 [mm] \Rightarrow [/mm] t>3
Hier bleibt das Ungleichheitszeichen stehen.
t > 2 (t-3) = 2t-6
[mm] \Rightarrow [/mm] 6>t
steht jedoch nicht im Widerspruch zu t>3
Fall 2: t-3<0 [mm] \Rightarrow [/mm] t<3
Ungleichheitszeichen ändert sich.
t < 2 (t-3)
t < 2t - 6
6 <t
steht jedoch im Widerspruch zu t<3 deshalb kein Lösung
[mm] \Rightarrow [/mm] L={6>t>3}
Ich glaub ich habs gerafft.
Mfg
Mathe0
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:52 So 02.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mathe0!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Sehr gut ...
Und wie bereits erwähnt: den Fall $t \ = \ 3$ separat untersuchen, da dieser Fall nicht über diese Ungleichungen abgedeckt ist!
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:47 So 02.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mathe0!
Um die Flächeninhalte zwischen den Funktionskurven zu berechnen, musst Du sämtliche Schnittstellen der beiden Funktionen berechnen und die entsprechenden Teilintegrale berechnen.
Deine genannten Werte mit [mm] $x_1 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\pi}{2}$ [/mm] und [mm] $x_2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3\pi}{2}$ [/mm] sind aber nicht die einzigen.
Ich erhalte hier noch zusätzlich (bitte, bitte überprüfen):
[mm] $x_0 [/mm] \ = \ [mm] \arcsin\left(\bruch{2-t}{4-2t}\right)$ [/mm] (Grundwert)
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:38 Mo 03.10.2005 | | Autor: | Mathe0 |
Hallo Loddar,
das müsste also der Schnittpunkt in der Mitte der beiden Funktionen sein der je nach t variiert. Nur wie kommt man darauf?
Normalerweise ermittelt man doch die Schnittpunkte, indem man die Gleichungen gleichsetzt. Nur mein Taschenrechner bringt da dann keinen variablen Wert.
Mfg und danke
Mathe0
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:03 Mo 03.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mathe0!
> Normalerweise ermittelt man doch die Schnittpunkte, indem
> man die Gleichungen gleichsetzt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ganz genau so geht's ...
Du musst dann wieder das o.g. Additionstheorem anwenden und klammerst [mm] $\cos(x)$ [/mm] aus. Dieser liefert dann die beiden bereits bekannten Schnittstellen [mm] $x_1 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\pi}{2}$ [/mm] sowie [mm] $x_2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3\pi}{2}$ [/mm] .
Aus dem "Testterm" erhältst Du dann meinen o.g. Grundwert.
Gruß
Loddar
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