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| Aufgabe | Geben Sie die trigonometrische Form von [mm] z_{1} [/mm] an.
[mm] z_{1}=-1+i [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich weis, das die trigonometrische Form im Allgemeinen so aussieht:
z= r*(cos [mm] \alpha [/mm] + i sin [mm] \alpha)
[/mm]
und r ist in meiner Aufgabe: r = [mm] \wurzel {(-1)^{2} + 1^{2}}= \wurzel{{2}}
[/mm]
und [mm] \alpha [/mm] kann ich auf verschiedene Wege ausrechnen:
a=r*cos [mm] \alpha [/mm] oder b=r*sin [mm] \alpha [/mm] oder tan [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{b}{a}
[/mm]
Mein Problem besteht nun darin, dass zu der mir bevorstehenden Prüfung keinerlei Hilfsmittel zugelassen sind und somit auch keine Tabelle in der ich die passenden Winkelwerte ablesen kann.
Kann mir bitte jemand erklären,wie ich am Besten auf den gesuchten Winkel komme? Ich habe die Lösung zur Kontrolle, war aber bisher nicht in der Lage auf das Ergebnis zu kommen.
Vielen Dank schon mal für alles was mir weiterhilft.
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Hallo Cherrykiss!
Skizziere Dir diese komplexe Zahl in der Gauß'schen Zahlenebene. Dann kannst Du fast durch Hinsehen erkennen, dass gilt:
[mm] $$\alpha [/mm] \ = \ [mm] 135^{\circ}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo roadrunner,
das ist eine gute Idee, allerdings würde ich dadurch nur einen Näherungswert herausbekommen und nicht den genauen Wert, wie du ihn genannt hast.
Wie hast du denn den genauen Wert herausbekommen?
danke für deine Hilfe...
cherrykiss
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Hallo Sandy,
> Hallo roadrunner,
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> das ist eine gute Idee, allerdings würde ich dadurch nur
> einen Näherungswert herausbekommen und nicht den genauen
> Wert, wie du ihn genannt hast.
>
> Wie hast du denn den genauen Wert herausbekommen?
Na, den Wert kannst du doch genau ablesen.
Der Punkt $-1+i$ liegt doch auf der Winkelhalbierenden im 2.Quadranten, schließt also mit der x-Achse im positiven Sinne einen Winkel von [mm] $\frac{3}{4}\pi$ [/mm] bzw. [mm] $135^{\circ}$ [/mm] ein.
Rechnerisch kannst du das über die "Arctan"-Formel lösen, zu beachten ist aber der Quadrant, in dem die Zahl liegt.
Schaue dazu mal ![[]](/images/popup.gif) hier rein...
>
> danke für deine Hilfe...
>
> cherrykiss
Gruß
schachuzipus
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Danke hier erstmal. Mit dem Zeichnen komme ich gut zurecht und hoffe, dass auch zur Prüfung Zahlenwerte dran kommen, von denen man das Ergebnis leicht ablesen kann, wie in diesem Beispiel.
Ich würde trotzdem gern noch etwas nachfragen. Und zwar hab ich mir die arctan Funktion angesehn und sie scheint auch wirklich kein guter Weg zu sein. Nur sehe ich keine Möglichkeit diese zu berechnen ohne Hilfsmittel wie Tafelwerk oder Taschenrechner. Gibt es da einen Weg, das im Kopf zu berechnen? Wenn nicht, bleib ich bei der Methode des Aufzeichnens.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:04 Di 06.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
es ist in Prüfungen üblich einfache Winkel anzugeben, d.h. 0°,30°,60° 45°, 90° und dann die entsprechenden um 90 oder 180 oder 270° weiter in den anderen Quadranten.
die sin und cos und tan Werte dazu kann man leicht merken. ich mach immer ne Skizze: für 30°,60° gleichseitiges Dreieck mit Seite 1 und Höhe [mm] 1/2*\wurzel{3} [/mm] und für 45° gleichschenkliges rechtw. Dreieck mit Kathete 1. daran kann man das alles ablesen, nd muss nur phythagoras (für die Höhe und die hypothenuse) wissen.
Gruss leduart
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> Hallo
> es ist in Prüfungen üblich einfache Winkel anzugeben,
> d.h. 0°, 30°, 45°, 60°, 90° und dann die entsprechenden
> um 90 oder 180 oder 270° weiter in den anderen
> Quadranten.
> die sin und cos und tan Werte dazu kann man leicht
> merken. ich mach immer ne Skizze: für 30°,60°
> gleichseitiges Dreieck mit Seite 1 und Höhe [mm]1/2*\wurzel{3}[/mm]
> und für 45° gleichschenkliges rechtw. Dreieck mit Kathete
> 1. daran kann man das alles ablesen, und muss nur
> Pythagoras (für die Höhe und die Hypotenuse) wissen.
> Gruss leduart
Hallo,
eine Schülerin hat mir mal einen ganz speziellen Tipp
gegeben, wie man sich die Sinuswerte für die Winkel
0°, 30°, 45°, 60°, 90°
merken kann. Es sind die Werte [mm] \frac{\sqrt{k}}{2} [/mm] für [mm] k\in \{0,1,2,3,4\} [/mm] , also:
sin(0°) = [mm] \frac{\sqrt{0}}{2} [/mm] = 0
sin(30°) = [mm] \frac{\sqrt{1}}{2} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}
[/mm]
sin(45°) = [mm] \frac{\sqrt{2}}{2}
[/mm]
sin(60°) = [mm] \frac{\sqrt{3}}{2}
[/mm]
sin(90°) = [mm] \frac{\sqrt{4}}{2} [/mm] = 1
Die Cosinustabelle ist dasselbe in umgekehrter Reihenfolge,
und die Tangenswerte erhält man aus
[mm] tan(\alpha)=\frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}
[/mm]
LG Al-Chw.
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