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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:42 Di 13.05.2008 | | Autor: | user0009 |
| Aufgabe | | Berechne alle Lösungen von sin(z)=5! |
Im Konversatorium wurde gezeigt, dass man zunächst sin(z)=w berechnen soll.
Das habe ich mal begonnen, stehe aber nach der zweiten Zeile an.
sin(z)=w
[mm] \bruch{1}{2i}(e^{iz}-e^{-iz})=w
[/mm]
[mm] (e^{iz}-e^{-iz})=2iw
[/mm]
Ich muss jetzt auf eine quadratische Gleichung kommen, um die das System lösen zu können. Allerdings weis ich nicht wie man die Gleichung weiter berechent. Kann mir jemand helfen?
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Hallo!
Deine bisherigen Schritte sind schonmal gut.
Setze nun mal $z=a+ib$ ein.
Dann das Potenzgesetz [mm] e^{p+q}=e^p+e^q [/mm] anwenden.
Wandle anschließend die rein komplexen e-Funktionen wieder in die karthesische Form [mm] \cos()+i\sin() [/mm] um. Dann kannst du noch die Vorzeichen aus SIN und COS herausziehen, sodaß du letzendlich nur noch Terme mit reellem [mm] \sin(a) [/mm] und [mm] \cos(a) [/mm] hast.
Jetzt kannst du zwei Bedingungen fordern, unter denen die Gleichung immer erfüllt ist: Einmal soll der rein komplexe Anteil auf beiden Seiten gleich sein, und dann der rein reelle auch. Das gibt dir letztendlich zwei Gleichungen, aus denen du die Parameter bestimmen kannst.
Hilft dir das erstmal weiter?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:56 Di 13.05.2008 | | Autor: | user0009 |
So habe jetztmal das gemacht, was du vorgeschlagen hast.
Zuerst mal für z=a+ib eingesetzt.
[mm] e^{i(a+ib)}-e^{-i(a+ib)}=2iw
[/mm]
Das ergibt
[mm] cos(a)+i*sin(a)+cos(a)-i*sin(a)+e^{-b}-e^{b}=2iw
[/mm]
Fällt hier der Sinus dann weg?
Wenn ja dann hab ich so weiter gemacht:
[mm] 2cos(a)+e^{-b}-e^{b}=2iw
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}(e^{-b}-e^{b})=iw-cos(a)
[/mm]
Aber wie gehts ab hier dann weiter, sofern ich richtig liege?
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![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]"){kind=small}
Wie kommst Du darauf? Durch Anwendung der 
Potenzgesetze