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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Trigonometrische Funktion
Trigonometrische Funktion < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Trigonometrische Funktion: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:42 Di 13.05.2008
Autor: user0009

Aufgabe
Berechne alle Lösungen von sin(z)=5!

Im Konversatorium wurde gezeigt, dass man zunächst sin(z)=w berechnen soll.
Das habe ich mal begonnen, stehe aber nach der zweiten Zeile an.

sin(z)=w

[mm] \bruch{1}{2i}(e^{iz}-e^{-iz})=w [/mm]
[mm] (e^{iz}-e^{-iz})=2iw [/mm]

Ich muss jetzt auf eine quadratische Gleichung kommen, um die das System lösen zu können. Allerdings weis ich nicht wie man die Gleichung weiter berechent. Kann mir jemand helfen?

        
Bezug
Trigonometrische Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:17 Di 13.05.2008
Autor: Event_Horizon

Hallo!

Deine bisherigen Schritte sind schonmal gut.

Setze nun mal $z=a+ib$ ein.

Dann das Potenzgesetz  [mm] e^{p+q}=e^p+e^q [/mm] anwenden.
Wandle anschließend die rein komplexen e-Funktionen wieder in die karthesische Form [mm] \cos()+i\sin() [/mm]  um. Dann kannst du noch die Vorzeichen aus SIN und COS herausziehen, sodaß du letzendlich nur noch Terme mit reellem [mm] \sin(a) [/mm] und [mm] \cos(a) [/mm] hast.

Jetzt kannst du zwei Bedingungen fordern, unter denen die Gleichung immer erfüllt ist: Einmal soll der rein komplexe Anteil auf beiden Seiten gleich sein, und dann der rein reelle auch. Das gibt dir letztendlich zwei Gleichungen, aus denen du die Parameter bestimmen kannst.


Hilft dir das erstmal weiter?

Bezug
                
Bezug
Trigonometrische Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:56 Di 13.05.2008
Autor: user0009

So habe jetztmal das gemacht, was du vorgeschlagen hast.
Zuerst mal für z=a+ib eingesetzt.

[mm] e^{i(a+ib)}-e^{-i(a+ib)}=2iw [/mm]
Das ergibt

[mm] cos(a)+i*sin(a)+cos(a)-i*sin(a)+e^{-b}-e^{b}=2iw [/mm]
Fällt hier der Sinus dann weg?
Wenn ja dann hab ich so weiter gemacht:

[mm] 2cos(a)+e^{-b}-e^{b}=2iw [/mm]

[mm] \bruch{1}{2}(e^{-b}-e^{b})=iw-cos(a) [/mm]

Aber wie gehts ab hier dann weiter, sofern ich richtig liege?

Bezug
                        
Bezug
Trigonometrische Funktion: Schritt unklar
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:51 Di 13.05.2008
Autor: Loddar

Hallo user0009!


> So habe jetztmal das gemacht, was du vorgeschlagen hast.
> Zuerst mal für z=a+ib eingesetzt.
>  
> [mm]e^{i(a+ib)}-e^{-i(a+ib)}=2iw[/mm]
>  Das ergibt
>  
> [mm]cos(a)+i*sin(a)+cos(a)-i*sin(a)+e^{-b}-e^{b}=2iw[/mm]

[aeh] Wie kommst Du darauf? Durch Anwendung der MBPotenzgesetze erhalte ich:
[mm] $$e^{-b}*e^{a*i}-e^{b}*e^{-a*i} [/mm] \ = \ 2i*w$$
[mm] $$e^{-b}*[\cos(a)+i*\sin(a)]-e^{b}*[\cos(-a)+i*\sin(-a)] [/mm] \ = \ 2i*w$$

Gruß
Loddar


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