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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:03 Mi 07.04.2010 | | Autor: | thadod |
Sehr geehrtes Matheraum Team,
leider habe ich ein kleines Verständnisproblem:
Es geht um folgende umformung, zu welcher es leider keinen eindeutlin Rechenweg gibt.
[mm] -\omega*C*u*sin(\omega*t+\varphi) \Rightarrow \omega*C*u*cos(\omega*t+\varphi+\bruch{\pi}{2})
[/mm]
es gilt: [mm] sin(x)=cos(x-\bruch{\pi}{2}); cos(x)=sin(x+\bruch{\pi}{2})
[/mm]
Doch wie kann ich das mit den trigonometrischen Funktionen
sin(x+y)=sinx*cosy+cosx*siny
cos(x+y)=cosx*cosy-sinx*siny
lösen? Irgendwie fällt mir hierzu kein gescheiter weg ein, sondern macht nur noch alles schlimmer
Beispiel: [mm] -\omega*C*u*sin(\omega*t+\varphi)=-\omega*C*u(sin\omega*t*cos\varphi+cos\omega*t*sin\varphi)
[/mm]
Ich weiß leider grad nicht so recht weiter und hoffe ihr könnt mir helfen!!!
Mit freundlichen Grüßen thadod
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> Sehr geehrtes Matheraum Team,
>
> leider habe ich ein kleines Verständnisproblem:
>
> Es geht um folgende umformung, zu welcher es leider keinen
> eindeutlin Rechenweg gibt.
>
> [mm]-\omega*C*u*sin(\omega*t+\varphi) \Rightarrow \omega*C*u*cos(\omega*t+\varphi+\bruch{\pi}{2})[/mm]
der sinus ist punktsymmetrisch, das heisst, es gilt f(-x)=-f(x)
also wird hier erstmal aus -a*sin(t+x) a*sin(-(t+x)) gemacht
da nun [mm] sin(t)=cos(t-\pi/2) [/mm] ist, ergo also nun
[mm] -a*sin(t+x)=a*sin(-t-x)=a*cos(-t-x-\pi/2)
[/mm]
nun wieder das minus im argument ausklammern, und ausnutzen, dass der cosinus achsensymmetrisch ist, also f(-x)=f(x) gilt:
[mm] a*cos(-t-x-\pi/2)=a*cos(-(t+x+\pi/2))=a*cos(t+x+\pi/2)
[/mm]
>
> es gilt: [mm]sin(x)=cos(x-\bruch{\pi}{2}); cos(x)=sin(x+\bruch{\pi}{2})[/mm]
>
> Doch wie kann ich das mit den trigonometrischen Funktionen
> sin(x+y)=sinx*cosy+cosx*siny
> cos(x+y)=cosx*cosy-sinx*siny
> lösen? Irgendwie fällt mir hierzu kein gescheiter weg
> ein, sondern macht nur noch alles schlimmer
> Beispiel:
> [mm]-\omega*C*u*sin(\omega*t+\varphi)=-\omega*C*u(sin\omega*t*cos\varphi+cos\omega*t*sin\varphi)[/mm]
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> Ich weiß leider grad nicht so recht weiter und hoffe ihr
> könnt mir helfen!!!
>
> Mit freundlichen Grüßen thadod
gruß tee
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:01 Mi 07.04.2010 | | Autor: | thadod |
Das mit dem Punkt- und Achsensymmetrisch hatte ich dummerweise schonwieder vergessen. Danke dir für diesen Hinweis und vorallem deine Hilfe
Ich habe leider noch eine andere Gleichung:
[mm] \alpha [/mm] cos(x+y)* [mm] \beta [/mm] cos(x+y)
diese habe ich nun versucht mit den schon im 1. Thread bekannten Gleichungen sin(x+y)=sinx*cosy+cosx*siny; cos(x+y)=cosx*cosy-sinx*siny
zu lösen. Leider liegen trigonometrische Gleichungen bei mir schon sehr sehr lange zurück und ich komme hiermit nur noch bedingt zurecht
[mm] \alpha [/mm] cos(x+y)* [mm] \beta [/mm] cos(x+y)=( [mm] \alpha [/mm] cosxcosy- [mm] \alpha [/mm] sinxsiny)( [mm] \beta [/mm] cosxcosy- [mm] \beta [/mm] sinxsiny)= [mm] \alpha \beta [/mm] cos²xcos²y+ [mm] \alpha \beta [/mm] sin²xsin²y
leider verlässt mich hier schonwieder mein Verständnis komme ich eventuell mit sin²x+cos²x=1 weiter?
mfg thadod
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:46 Mi 07.04.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo thadod!
Vielleicht wäre es ganz ratsam, wenn Du uns verrätst, wo Du mit der Umformung überhaupt landen möchtest ...
Auf jeden Fall gilt doch schonmal:
[mm] $$\alpha*\cos(x+y)*\beta*\cos(x+y) [/mm] \ = \ [mm] \alpha*\beta*\cos^2(x+y)$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:07 Do 08.04.2010 | | Autor: | thadod |
Hallo zusammen
Mein Problem bezieht sich auf die Leistung in der Elektrotechnik bei Wechselgrößen. Hier treten Phasenverschiebungen auf.
Es gilt: p(t)=û * [mm] cos(\omega t+\varphi_{U})* [/mm] î [mm] *cos(\omega t+\varphi_{I})=\bruch{\hat u * \hat i }{2} [/mm] * [mm] (cos(\varphi_{U} [/mm] - [mm] \varphi_{I})+cos(2\omega t+\varphi_{U}+\varphi_{I})))
[/mm]
wobei [mm] \varphi_{U} [/mm] - [mm] \varphi_{I}=\varphi
[/mm]
ich hatte nun versucht mit Hilfe der trigonometrischen Beziehungen von Gleichung 1 auf Gleichung 2 zu schließen. Doch leider misslingt mir das bisher!!!
mfg Thadod> Hallo thadod!
>
>
> Vielleicht wäre es ganz ratsam, wenn Du uns verrätst, wo
> Du mit der Umformung überhaupt landen möchtest ...
>
> Auf jeden Fall gilt doch schonmal:
> [mm]\alpha*\cos(x+y)*\beta*\cos(x+y) \ = \ \alpha*\beta*\cos^2(x+y)[/mm]
>
> Gruß
> Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 Do 08.04.2010 | | Autor: | thadod |
Hallo zusammen. Ich bin jetzt ziemlich gut auch allein vorangekommen.
Ich wäre euch sehr verbunden, wenn ihr mal drüber schauen könntet. Bin mir beim letzten Schritt nicht sicher.
Wie gesagt möchte auf folgendes schließen:
[mm] u*cos(\omega t+\varphi_{U})*i*cos(\omega t+\varphi_{I})=\bruch{u*i}{2}(cos(\varphi_{U}-\varphi_{I})+cos(2\omega t+\varphi_{U}+\varphi_{I}))
[/mm]
Hier mal mein Rechenweg:
[mm] \Rightarrow (u*cos(\omega t)cos(\varphi_{U})-u*sin(\omega t)sin(\varphi_{U}))*(i*cos(\omega t)cos(\varphi_{I})-i*sin(\omega t)sin(\varphi_{I}))
[/mm]
[mm] \Rightarrow u*i*cos^2(\omega t)cos(\varphi_{U})cos(\varphi_{I})- [/mm] [mm] {u*i*cos(\omega t)cos(\varphi_{U})sin(\omega t)sin(\varphi_{I})-u*i*sin(\omega t)sin(\varphi_{U})cos(\omega t)cos(\varphi_{I})} [/mm] [mm] +u*i*sin^2(\omega t)sin(\varphi_{U})sin(\varphi_{I})
[/mm]
Ich brauche nun leider nur noch Hilfe für meinen (Hoffentlich) rot dargestellten rest. den Rest habe ich nun auf einem Blatt papier nun schon allein geschafft zu lösen.
Bitte wirklich um Hilfe. mfg thadod
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:15 Sa 10.04.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo thadod,
von der linken Seite Deiner Gleichung kommst Du in einem Schritt zur rechten Seite, wenn Du die Argumente der beiden Cosinusfunktionen mal mit x und y bezeichnest und dann folgendes anwendest:
$$ [mm] \cos [/mm] x [mm] \cos [/mm] y = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ( [mm] \cos(x-y) [/mm] + [mm] \cos [/mm] (x+y)) $$
Der erste Terme lässt Dir die Phasen übrig, der zweite Term ergibt den mit der doppelten Kreisfrequenz.
Viele Grüße,
Infinit
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