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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:23 Fr 24.02.2012 | | Autor: | mbau16 |
| Aufgabe | Gegeben sei der Graph, dessen Punkte folgender Gleichung genügen.
y=cos(2x)*x
Ermitteln Sie den Definitionsbereich für x. Untersuchen Sie den Graphen auf vorhandene Pole,Lücken, Schnittstellen mit den Koordinatenachsen, sowie Grenzwerte für [mm] x->\pm\infty. [/mm] Entwickeln Sie dann das Taylorpolynom bis zur 2.Potenz an der Stelle [mm] x_{0}=\pi [/mm] |
Guten Abend,
diese Aufgabe beschäftigt mich gerade.
Definitionsbereich für x:
[mm] D:x\in\IR
[/mm]
Keine Pole, Lücken
Schnittstellen mit den Koordinatenachsen:
cos(2x)*x=0
[mm] x_{1}=0
[/mm]
cos(2x)=0
[mm] cos^{2}(x)-sin^{2}(x)=0
[/mm]
cos(x)-sin(x)=0
[mm] cos(x)-(\wurzel{1-cos^{2}})=0
[/mm]
[mm] cos^{2}(x)-1+cos^{2}(x)=0
[/mm]
[mm] 2cos^{2}(x)=1
[/mm]
[mm] cos^{2}=\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] cos(x)=\pm\wurzel{\bruch{1}{2}}=\pm\bruch{\wurzel{2}}{2}
[/mm]
[mm] x_{2}=\bruch{\pi}{4}+2\pi*k
[/mm]
[mm] x_{3}=\bruch{3\pi}{4}+2\pi*k
[/mm]
[mm] x_{4}=\bruch{5\pi}{4}+2\pi*k
[/mm]
[mm] x_{5}=-\bruch{\pi}{4}+2\pi*k
[/mm]
y-Achse
cos(0)*0=0
1*0=0
Kein Schnittpunkt mit y-Achse
Erstmal bis hier. Sieht es gut aus? Möchte mir gern Eure Meinung einholen!
Vielen Dank!
Gruß
mbau16
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Hallo mbau16,
> Gegeben sei der Graph, dessen Punkte folgender Gleichung
> genügen.
>
> y=cos(2x)*x
>
> Ermitteln Sie den Definitionsbereich für x. Untersuchen
> Sie den Graphen auf vorhandene Pole,Lücken, Schnittstellen
> mit den Koordinatenachsen, sowie Grenzwerte für
> [mm]x->\pm\infty.[/mm] Entwickeln Sie dann das Taylorpolynom bis zur
> 2.Potenz an der Stelle [mm]x_{0}=\pi[/mm]
> Guten Abend,
>
> diese Aufgabe beschäftigt mich gerade.
>
> Definitionsbereich für x:
>
> [mm]D:x\in\IR[/mm]
>
> Keine Pole, Lücken
>
> Schnittstellen mit den Koordinatenachsen:
>
> cos(2x)*x=0
>
> [mm]x_{1}=0[/mm]
>
> cos(2x)=0
>
> [mm]cos^{2}(x)-sin^{2}(x)=0[/mm]
>
Die Nullstellen des Cosinus sollten bekannt sein.
Damit ersparst Du Dir den weiteren Rechenweg.
> cos(x)-sin(x)=0
>
> [mm]cos(x)-(\wurzel{1-cos^{2}})=0[/mm]
>
> [mm]cos^{2}(x)-1+cos^{2}(x)=0[/mm]
>
> [mm]2cos^{2}(x)=1[/mm]
>
> [mm]cos^{2}=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm]cos(x)=\pm\wurzel{\bruch{1}{2}}=\pm\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm]
>
> [mm]x_{2}=\bruch{\pi}{4}+2\pi*k[/mm]
>
> [mm]x_{3}=\bruch{3\pi}{4}+2\pi*k[/mm]
>
> [mm]x_{4}=\bruch{5\pi}{4}+2\pi*k[/mm]
>
> [mm]x_{5}=-\bruch{\pi}{4}+2\pi*k[/mm]
>
Allgemein:
[mm]x_{k}=\bruch{2k+1}{4}*\pi, \ k \in \IZ[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> y-Achse
>
> cos(0)*0=0
>
> 1*0=0
>
> Kein Schnittpunkt mit y-Achse
>
Es gibt ein Schnittpunkt mit der y-Achse.
> Erstmal bis hier. Sieht es gut aus? Möchte mir gern Eure
> Meinung einholen!
>
> Vielen Dank!
>
> Gruß
>
> mbau16
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 Fr 24.02.2012 | | Autor: | mbau16 |
Guten Abend nochmal,
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> > Gegeben sei der Graph, dessen Punkte folgender Gleichung
> > genügen.
> >
> > y=cos(2x)*x
> >
> > Ermitteln Sie den Definitionsbereich für x. Untersuchen
> > Sie den Graphen auf vorhandene Pole,Lücken, Schnittstellen
> > mit den Koordinatenachsen, sowie Grenzwerte für
> > [mm]x->\pm\infty.[/mm] Entwickeln Sie dann das Taylorpolynom bis zur
> > 2.Potenz an der Stelle [mm]x_{0}=\pi[/mm]
> > Guten Abend,
> >
> > diese Aufgabe beschäftigt mich gerade.
> >
> > Definitionsbereich für x:
> >
> > [mm]D:x\in\IR[/mm]
> >
> > Keine Pole, Lücken
> >
> > Schnittstellen mit den Koordinatenachsen:
> >
> > cos(2x)*x=0
> >
> > [mm]x_{1}=0[/mm]
> >
> > cos(2x)=0
> >
> > [mm]cos^{2}(x)-sin^{2}(x)=0[/mm]
> >
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> Die Nullstellen des Cosinus sollten bekannt sein.
> Damit ersparst Du Dir den weiteren Rechenweg.
Guter Tipp! Danke!
>
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> > cos(x)-sin(x)=0
> >
> > [mm]cos(x)-(\wurzel{1-cos^{2}})=0[/mm]
> >
> > [mm]cos^{2}(x)-1+cos^{2}(x)=0[/mm]
> >
> > [mm]2cos^{2}(x)=1[/mm]
> >
> > [mm]cos^{2}=\bruch{1}{2}[/mm]
> >
> > [mm]cos(x)=\pm\wurzel{\bruch{1}{2}}=\pm\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm]
> >
> > [mm]x_{2}=\bruch{\pi}{4}+2\pi*k[/mm]
> >
> > [mm]x_{3}=\bruch{3\pi}{4}+2\pi*k[/mm]
> >
> > [mm]x_{4}=\bruch{5\pi}{4}+2\pi*k[/mm]
> >
> > [mm]x_{5}=-\bruch{\pi}{4}+2\pi*k[/mm]
> >
>
>
> Allgemein:
>
> [mm]x_{k}=\bruch{2k+1}{4}*\pi, \ k \in \IZ[/mm]
>
>
> > y-Achse
> >
> > cos(0)*0=0
> >
> > 1*0=0
> >
> > Kein Schnittpunkt mit y-Achse
> >
>
>
> Es gibt ein Schnittpunkt mit der y-Achse.
Muss ich das wie bei der x-Achse wieder getrennt betrachten.
cos(2x)
cos(0)=1
oder
x=0
0=0
Also gibt es bei 1 einen Schnittpunkt mit der y-Achse?
>
>
> > Erstmal bis hier. Sieht es gut aus? Möchte mir gern Eure
> > Meinung einholen!
> >
> > Vielen Dank!
> >
> > Gruß
> >
> > mbau16
> >
>
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo mbau16,
> Guten Abend nochmal,
> >
> > > Gegeben sei der Graph, dessen Punkte folgender Gleichung
> > > genügen.
> > >
> > > y=cos(2x)*x
> > >
> > > Ermitteln Sie den Definitionsbereich für x. Untersuchen
> > > Sie den Graphen auf vorhandene Pole,Lücken, Schnittstellen
> > > mit den Koordinatenachsen, sowie Grenzwerte für
> > > [mm]x->\pm\infty.[/mm] Entwickeln Sie dann das Taylorpolynom bis zur
> > > 2.Potenz an der Stelle [mm]x_{0}=\pi[/mm]
> > > Guten Abend,
> > >
> > > diese Aufgabe beschäftigt mich gerade.
> > >
> > > Definitionsbereich für x:
> > >
> > > [mm]D:x\in\IR[/mm]
> > >
> > > Keine Pole, Lücken
> > >
> > > Schnittstellen mit den Koordinatenachsen:
> > >
> > > cos(2x)*x=0
> > >
> > > [mm]x_{1}=0[/mm]
> > >
> > > cos(2x)=0
> > >
> > > [mm]cos^{2}(x)-sin^{2}(x)=0[/mm]
> > >
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> > Die Nullstellen des Cosinus sollten bekannt sein.
> > Damit ersparst Du Dir den weiteren Rechenweg.
>
> Guter Tipp! Danke!
> >
> >
> > > cos(x)-sin(x)=0
> > >
> > > [mm]cos(x)-(\wurzel{1-cos^{2}})=0[/mm]
> > >
> > > [mm]cos^{2}(x)-1+cos^{2}(x)=0[/mm]
> > >
> > > [mm]2cos^{2}(x)=1[/mm]
> > >
> > > [mm]cos^{2}=\bruch{1}{2}[/mm]
> > >
> > > [mm]cos(x)=\pm\wurzel{\bruch{1}{2}}=\pm\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm]
> > >
> > > [mm]x_{2}=\bruch{\pi}{4}+2\pi*k[/mm]
> > >
> > > [mm]x_{3}=\bruch{3\pi}{4}+2\pi*k[/mm]
> > >
> > > [mm]x_{4}=\bruch{5\pi}{4}+2\pi*k[/mm]
> > >
> > > [mm]x_{5}=-\bruch{\pi}{4}+2\pi*k[/mm]
> > >
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> >
> > Allgemein:
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> > [mm]x_{k}=\bruch{2k+1}{4}*\pi, \ k \in \IZ[/mm]
> >
> >
> > > y-Achse
> > >
> > > cos(0)*0=0
> > >
> > > 1*0=0
> > >
> > > Kein Schnittpunkt mit y-Achse
> > >
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> > Es gibt ein Schnittpunkt mit der y-Achse.
>
> Muss ich das wie bei der x-Achse wieder getrennt
> betrachten.
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> cos(2x)
>
> cos(0)=1
>
> oder
>
> x=0
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> 0=0
>
> Also gibt es bei 1 einen Schnittpunkt mit der y-Achse?
Ja. Schnittpunkt mit der y-Achse heißt doch x=0.
> >
> >
> > > Erstmal bis hier. Sieht es gut aus? Möchte mir gern Eure
> > > Meinung einholen!
> > >
> > > Vielen Dank!
> > >
> > > Gruß
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> > > mbau16
> > >
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> >
> > Gruss
> > MathePower
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Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:34 Sa 25.02.2012 | | Autor: | mbau16 |
Guten Morgen zusammen,
nachdem mir MathePower gestern Abend schon einige gute Tipps gegeben hat, eröffnen sich mir heute morgen noch einige Fragen zu dieser Aufgabe, die ich gerne mit Euch besprechen möchte!
Gegeben sei der Graph, dessen Punkte folgender Gleichung
genügen.
y=cos(2x)*x
Ermitteln Sie den Definitionsbereich für x. Untersuchen
Sie den Graphen auf vorhandene Pole,Lücken, Schnittstellen
mit den Koordinatenachsen, sowie Grenzwerte für
[mm]x->\pm\infty.[/mm] Entwickeln Sie dann das Taylorpolynom bis zur
2.Potenz an der Stelle [mm]x_{0}=\pi[/mm]
Definitionsbereich für x:
[mm]D:x\in\IR[/mm]
Keine Pole, Lücken
Schnittstellen mit den Koordinatenachsen:
x-Achsenschnittpunkte:
cos(2x)*x=0
[mm]x_{1}=0[/mm]
cos(2x)=0
[mm]cos^{2}(x)-sin^{2}(x)=0[/mm]
cos(x)-sin(x)=0
[mm]cos(x)-(\wurzel{1-cos^{2}})=0[/mm]
[mm]cos^{2}(x)-1+cos^{2}(x)=0[/mm]
[mm]2cos^{2}(x)=1[/mm]
[mm]cos^{2}=\bruch{1}{2}[/mm]
[mm]cos(x)=\pm\wurzel{\bruch{1}{2}}=\pm\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm]
[mm]x_{2}=\bruch{\pi}{4}+2\pi*k[/mm]
[mm]x_{3}=\bruch{3\pi}{4}+2\pi*k[/mm]
[mm]x_{4}=\bruch{5\pi}{4}+2\pi*k[/mm]
[mm]x_{5}=-\bruch{\pi}{4}+2\pi*k[/mm]
y-Achsenschnittpunkt:
cos(2x)
cos(0)=1
oder
x=0
0=0
(0/1)
Leider habe ich noch nie eine Grenzwertbetrachtung [mm] x->\pm\infty [/mm] bei einer trigonometrischen Gleichung vorgenommen.
Grenzwerte für [mm] x->\pm\infty
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}
[/mm]
[mm] cos(2x)*x=\infty
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}
[/mm]
[mm] cos(2x)*x=-\infty
[/mm]
Ist das richtig? Wie verhält es sich bei Ausdrücken, wie [mm] cos(\infty), [/mm] oder [mm] sin(\infty)? [/mm]
Vielen Dank
Gruß
mbau16
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Hallo,
Nullstellen sind richtig, wenn auch sehr umständlich gerechnet. Wenn man sofort cos(2x)=0 setzt, dann geht das so:
cos(2*x)=0
[mm] 2*x=\bruch{\pi}{2}+2*k*\pi [/mm] ; [mm] k\in\IZ
[/mm]
=>
[mm] x_1=\bruch{\pi}{4}+k*\pi
[/mm]
[mm] x_2=\bruch{3\pi}{4}+k*\pi
[/mm]
Das erfassst ebenso alle Lösunge, wie es dein Ergebnis auch tut.
Der y-Achsenabschnitt ist falsch. Ganz offensichtich ist f(0)=0, also geht das Schaubild durch den Ursprung.
Nun zu deinem eigentlichen Denkfehler: Funktionen siesen Typs können für [mm] x->\pm\infty [/mm] kein eindeutiges Verhalten zeigen. Bedenke, dass die Kosinusfunktion niemals damit aufhört, periodich ihre Vorzeichen zu ändern. Insofern macht die Untersuchg auf irgendein asymptotisches Verhalten hier keinerlei Sinn, und die von dir angegebenen Grenzwerte sind insbesondere falsch (ein Grenzwert ist übrigens immer eindeutig!).
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:25 Sa 25.02.2012 | | Autor: | mbau16 |
Hallo nochmal,
>
> Nullstellen sind richtig, wenn auch sehr umständlich
> gerechnet. Wenn man sofort cos(2x)=0 setzt, dann geht das
> so:
>
> cos(2*x)=0
>
> [mm]2*x=\bruch{\pi}{2}+2*k*\pi[/mm] ; [mm]k\in\IZ[/mm]
>
> =>
>
> [mm]x_1=\bruch{\pi}{4}+k*\pi[/mm]
>
> [mm]x_2=\bruch{3\pi}{4}+k*\pi[/mm]
>
> Das erfassst ebenso alle Lösunge, wie es dein Ergebnis
> auch tut.
>
> Der y-Achsenabschnitt ist falsch. Ganz offensichtich ist
> f(0)=0, also geht das Schaubild durch den Ursprung.
>
> Nun zu deinem eigentlichen Denkfehler: Funktionen siesen
> Typs können für [mm]x->\pm\infty[/mm] kein eindeutiges Verhalten
> zeigen. Bedenke, dass die Kosinusfunktion niemals damit
> aufhört, periodich ihre Vorzeichen zu ändern. Insofern
> macht die Untersuchg auf irgendein asymptotisches Verhalten
> hier keinerlei Sinn, und die von dir angegebenen Grenzwerte
> sind insbesondere falsch (ein Grenzwert ist übrigens immer
> eindeutig!).
Danke für Deine Erklärung Diophant. Wie drücke ich den Sachverhalt denn am besten kürzer "mathematisch" zusammengefasst in einer Klausur aus???
Vielen Dank!
Gruß
mbau16
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Hallo,
> Danke für Deine Erklärung Diophant. Wie drücke ich den
> Sachverhalt denn am besten kürzer "mathematisch"
> zusammengefasst in einer Klausur aus???
Ich würde einfach schreiben, dass keiner der beiden Grenzwerte existiert.
Das ist wieder ein Musterbeispiel dafür, dass in der Mathematik nicht jede Rechnung auch zu einem Ergebnis führt. Man ist zwar gewohnt, nach dem Schema
Rechenanweisung = Ergebnis
sozusagen vollautomatisch vorzugehen, aber da stellt einem die Mathematik dann desöfteren, so wie hier auch, ein Bein. 
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:36 Sa 25.02.2012 | | Autor: | mbau16 |
> Hallo,
>
> Nullstellen sind richtig, wenn auch sehr umständlich
> gerechnet. Wenn man sofort cos(2x)=0 setzt, dann geht das
> so:
>
> cos(2*x)=0
>
> [mm]2*x=\bruch{\pi}{2}+2*k*\pi[/mm] ; [mm]k\in\IZ[/mm]
>
> =>
>
> [mm]x_1=\bruch{\pi}{4}+k*\pi[/mm]
>
> [mm]x_2=\bruch{3\pi}{4}+k*\pi[/mm]
>
> Das erfassst ebenso alle Lösunge, wie es dein Ergebnis
> auch tut.
>
> Der y-Achsenabschnitt ist falsch. Ganz offensichtich ist
> f(0)=0, also geht das Schaubild durch den Ursprung.
Danke für Deine Hilfe Diophant, wirklich! Nun nochmal kurz zum Schluß dieser Diskussion zum y-Achsenschnittpunkt. Ist es nicht so, dass ich das wie bei der Rechnung zum x- Achsenschnittpunkt wieder getrennt sehen muss.D.h. cos(2*0)=1 und 0=0. Somit hätte ich ja einen Schnittpunkt bei (0/1)?
> Nun zu deinem eigentlichen Denkfehler: Funktionen siesen
> Typs können für [mm]x->\pm\infty[/mm] kein eindeutiges Verhalten
> zeigen. Bedenke, dass die Kosinusfunktion niemals damit
> aufhört, periodich ihre Vorzeichen zu ändern. Insofern
> macht die Untersuchg auf irgendein asymptotisches Verhalten
> hier keinerlei Sinn, und die von dir angegebenen Grenzwerte
> sind insbesondere falsch (ein Grenzwert ist übrigens immer
> eindeutig!).
>
Vielen Dank!
Gruß
mbau16
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Hallo,
f(0)=cos(2*0)*0=cos(0)*0=1*0=0
Gruß, Diophant
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Hallo,
>
> Grenzwerte für [mm]x->\pm\infty[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm]
>
> [mm]cos(2x)*x=\infty[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty}[/mm]
>
> [mm]cos(2x)*x=-\infty[/mm]
das Problem, was Diophat angesprochen hat, würde (zumindest ich - also nicht böse sein wenn falsch) ich so darstellen:
[mm] \limes_{x\rightarrow\pm\infty}{cos{2x}*x}=(-\infty,\infty)
[/mm]
da ja cos (ebenso wie der sin) immer Vorzeichen wechselt.
sprich: [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}{cos{2x}*x}=(-\infty,\infty)
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}{cos{2x}*x}=(-\infty,\infty)
[/mm]
>
> Ist das richtig? Wie verhält es sich bei Ausdrücken, wie
> [mm]cos(\infty),[/mm] oder [mm]sin(\infty)?[/mm]
>
sinus und cosinus haben keinen Grenzwert, da sie immer zwischen -1 und 1 schwanken. Also sind sin(x) und cos(x) divergent. Allerdings besitzten sie jeweils eine obere und eine untere Schranke - demnach bestimmt divergent.
> Vielen Dank
>
> Gruß
>
> mbau16
>
LG Scherzkrapferl
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 11:11 Sa 25.02.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo scherzkrapferl,
> das Problem, was Diophat angesprochen hat, würde
> (zumindest ich - also nicht böse sein wenn falsch) ich so
> darstellen:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\pm\infty}{cos{2x}*x}=(-\infty,\infty)[/mm]
>
> da ja cos (ebenso wie der sin) immer Vorzeichen wechselt.
das hat ja gar nichts mit böse sein oder nicht zu tun, aber es ist nicht erlaubt, was du da machst:
Wenn da steht
lim(Term1)=Term2
dann muss das grundsätzlich eindeutig sein, d.h., die von dir verwendete Schreibweise wäre richtig für den Fall, dass eine vektorwertige Funktion eine uneigentliche Grenzwerte besitzt, aber es kann keine Alternativen geben, also quasi Grenzwerte zum Auswählen je nach Geschmack...
Gruß, Diophant
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Hallo Diophat,
> Hallo scherzkrapferl,
>
> > das Problem, was Diophat angesprochen hat, würde
> > (zumindest ich - also nicht böse sein wenn falsch) ich so
> > darstellen:
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow\pm\infty}{cos{2x}*x}=(-\infty,\infty)[/mm]
> >
> > da ja cos (ebenso wie der sin) immer Vorzeichen wechselt.
>
> das hat ja gar nichts mit böse sein oder nicht zu tun,
> aber es ist nicht erlaubt, was du da machst:
>
> Wenn da steht
>
> lim(Term1)=Term2
>
> dann muss das grundsätzlich eindeutig sein, d.h., die von
> dir verwendete Schreibweise wäre richtig für den Fall,
> dass eine vektorwertige Funktion eine uneigentliche
> Grenzwerte besitzt, aber es kann keine Alternativen geben,
> also quasi Grenzwerte zum Auswählen je nach Geschmack...
>
Danke für die Korrektur :)
Natürlich muss der Grenzwert eindeutig sein. Habe mir nur überlegt wie man dieses Problem am besten verständlich zu Papier bringen kann. Sprich: Es war nur ein Versuch möglichst einfach und kurz auf das Problem des Cosinus hin zu weisen.
Zum Glück weiß ich ja nun, dass diese Vorgangsweise unzulässig ist.
Besser wäre wahrscheinlich zu sagen, dass der [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}{cos(2x)x} [/mm] unbestimmt im Intervall [mm] (-\infty,\infty) [/mm] ist ?!
>
> Gruß, Diophant
>
LG Scherzkrapferl
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 11:27 Sa 25.02.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
besser wäre es zu sagen, dass der Grenzwert nicht existiert.
Gruß, Diophant
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