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| Aufgabe | | cos(x)*cos(y)+a*sin(x)=b;x |
Hallo zusammen,
ich habe Probleme diese Gleichung zu lösen. Kann mir jemand vl. dabei helfen?
Danke, SG
Wolfi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Vorfrage: was soll das Semikolon bedeuten ?
Diese Gleichung ist nicht so ganz einfach
algebraisch oder trigonometrisch zu lösen.
Ich würde wohl ein Näherungsverfahren bemühen.
Allerdings sollte es möglich sein, etwa durch die
Substitution $ cos(x)=:u $ und $ sin(x) = [mm] \sqrt{1-u^2}$ [/mm]
weiterzukommen. Das kann etwas mühsam werden.
Ich habe mal Wolfram Alpha konsultiert:
![[]](/images/popup.gif) WolframAlpha
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:55 Fr 11.10.2019 | | Autor: | wolfi1987 |
Das Semikolon soll nur die Trennung zwischen Gleichung und gesuchte Variable darstellen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:36 Fr 11.10.2019 | | Autor: | chrisno |
ich gehe davon aus, dass y konstant ist und damit auch cos(y).
Dann hat das die Struktur $b [mm] \cos(x) [/mm] + a [mm] \sin(x) [/mm] = c$.
Das lässt sich dann als $c = (a+b) [mm] \sin(x [/mm] + [mm] \varphi)$ [/mm] schreiben mit
[mm] $\tan \varphi [/mm] = [mm] \frac{a}{ b}$.,
[/mm]
wobei ich mich verrechnet haben kann. Abgeschrieben und vereinfacht habe ich es von
https://de.wikipedia.org/wiki/Interferenz_(Physik)#Interferenz_zweier_Wellen_gleicher_Frequenz_aber_unterschiedlicher_Amplitude_und_Phase
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Hallo chrisno
Danke für deine Antwort. Ich befürchte aber, dass deine Substitution
mittels $ [mm] tan(\varphi)$ [/mm] nur für einen Teil der möglichen Lösungen nützlich ist.
(Ich stütze mich dabei auf die Aufzählung aller Lösungen, welche
Wolfram_Alpha liefert).
Schönen Abend !
Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:23 Fr 11.10.2019 | | Autor: | chrisno |
Aus dem Studium erinnerte ich noch:
Die Summe zweier Sinusfunktionen mit gleicher Periode aber verschiedener Phase und Amplitude ergibt wieder eine Sinusfunktion.
Also lässt sich die Aufgabe reduuzieren auf die Frage, wann sin(x) = b ist ...
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Hallo wolfi,
ich habe jetzt die Idee von chrisno übernommen und damit
einen eigenen Lösungsversuch unternommen.
Die Konstanten in deiner Gleichung habe ich etwas umbenannt
und schreibe die Gleichung jetzt so:
$ a [mm] \cdot sin(x)\,+\,b \cdot [/mm] cos(x)\ =\ c$ , wobei $ [mm] b:=\, [/mm] cos(y)$
Nun kann man die linke Seite (nach Vorschlag von chrisno,
aber korrigiert) so umformen:
$ a [mm] \cdot sin(x)\,+\,b \cdot [/mm] cos(x)\ =\ [mm] \sqrt{a^2+b^2}\ [/mm] * sin [mm] \left(x + arctan \left(\frac{b}{a}\right)\right)$
[/mm]
Die zu lösende Gleichung sieht damit nun so aus:
$ [mm] \sqrt{a^2+b^2}\ [/mm] * sin [mm] \left(x + arctan \left(\frac{b}{a}\right)\right)\ [/mm] =\ c$
Da die Unbekannte x jetzt nur noch an einer Stelle vorkommt,
lässt sich die Gleichung nun leicht auflösen. Ich komme auf:
$ x\ =\ [mm] arcsin\left( \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)\ [/mm] -\ arctan [mm] \left(\frac{b}{a}\right)$
[/mm]
Dazu muss ich sagen, dass ich jetzt gar nicht versucht habe,
Fallunterscheidungen betr. Definitionsbereiche vorzunehmen.
Mit anderen Worten: ich nehme einmal an (und hoffe, dass
dies auch im tatsächlich praktisch vorliegenden Rechenbeispiel
der Fall ist), dass die vorkommenden Winkel spitze Winkel sind.
Wolfram Alpha macht das etwas gründlicher und liefert:
Wolfram $\alpha$
LG , Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:45 Sa 12.10.2019 | | Autor: | wolfi1987 |
Hallo Al-Chwarizmi,
Vielen Dank für deine Hilfe  .
Sg
Wolfi
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