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Forum "Trigonometrische Funktionen" - Trigonometrische Gleichungen
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Trigonometrische Gleichungen: Gleichung lösen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:24 Fr 11.10.2019
Autor: wolfi1987

Aufgabe
cos(x)*cos(y)+a*sin(x)=b;x

Hallo zusammen,

ich habe Probleme diese Gleichung zu lösen. Kann mir jemand vl. dabei helfen?

Danke, SG

Wolfi

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Trigonometrische Gleichungen: Näherungsverfahren !
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:34 Fr 11.10.2019
Autor: Al-Chwarizmi

Vorfrage:  was soll das Semikolon bedeuten ?

Diese Gleichung ist nicht so ganz einfach
algebraisch oder trigonometrisch zu lösen.
Ich würde wohl ein Näherungsverfahren bemühen.

Allerdings sollte es möglich sein, etwa durch die
Substitution  $ cos(x)=:u $  und  $ sin(x) = [mm] \sqrt{1-u^2}$ [/mm]
weiterzukommen. Das kann etwas mühsam werden.

Ich habe mal Wolfram Alpha konsultiert:

[]WolframAlpha


LG ,   Al-Chw.

Bezug
                
Bezug
Trigonometrische Gleichungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:55 Fr 11.10.2019
Autor: wolfi1987

Das Semikolon soll nur die Trennung zwischen Gleichung und gesuchte Variable darstellen.

Bezug
        
Bezug
Trigonometrische Gleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:36 Fr 11.10.2019
Autor: chrisno

ich gehe davon aus, dass y konstant ist und damit auch cos(y).
Dann hat das die Struktur $b [mm] \cos(x) [/mm] + a [mm] \sin(x) [/mm] = c$.
Das lässt sich dann als $c = (a+b) [mm] \sin(x [/mm] + [mm] \varphi)$ [/mm] schreiben mit
[mm] $\tan \varphi [/mm] = [mm] \frac{a}{ b}$., [/mm]
wobei ich mich verrechnet haben kann. Abgeschrieben und vereinfacht habe ich es von
https://de.wikipedia.org/wiki/Interferenz_(Physik)#Interferenz_zweier_Wellen_gleicher_Frequenz_aber_unterschiedlicher_Amplitude_und_Phase






Bezug
                
Bezug
Trigonometrische Gleichungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:52 Fr 11.10.2019
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo chrisno

Danke für deine Antwort.  Ich befürchte aber, dass deine Substitution
mittels  $ [mm] tan(\varphi)$ [/mm]  nur für einen Teil der möglichen Lösungen nützlich ist.
(Ich stütze mich dabei auf die Aufzählung aller Lösungen, welche
Wolfram_Alpha liefert).

Schönen Abend !

Al-Chw.

Bezug
                        
Bezug
Trigonometrische Gleichungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:23 Fr 11.10.2019
Autor: chrisno

Aus dem Studium erinnerte ich noch:
Die Summe zweier Sinusfunktionen mit gleicher Periode aber verschiedener Phase und Amplitude ergibt wieder eine Sinusfunktion.
Also lässt sich die Aufgabe reduuzieren auf die Frage, wann sin(x) = b ist ...

Bezug
        
Bezug
Trigonometrische Gleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:27 Sa 12.10.2019
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo wolfi,

ich habe jetzt die Idee von chrisno übernommen und damit
einen eigenen Lösungsversuch unternommen.
Die Konstanten in deiner Gleichung habe ich etwas umbenannt
und schreibe die Gleichung jetzt so:

      $ a [mm] \cdot sin(x)\,+\,b \cdot [/mm] cos(x)\ =\ c$ , wobei  $ [mm] b:=\, [/mm] cos(y)$

Nun kann man die linke Seite (nach Vorschlag von chrisno,
aber korrigiert) so umformen:

      $ a [mm] \cdot sin(x)\,+\,b \cdot [/mm] cos(x)\ =\ [mm] \sqrt{a^2+b^2}\ [/mm] * sin [mm] \left(x + arctan \left(\frac{b}{a}\right)\right)$ [/mm]

Die zu lösende Gleichung sieht damit nun so aus:

      $ [mm] \sqrt{a^2+b^2}\ [/mm] * sin [mm] \left(x + arctan \left(\frac{b}{a}\right)\right)\ [/mm] =\ c$

Da die Unbekannte x jetzt nur noch an einer Stelle vorkommt,
lässt sich die Gleichung nun leicht auflösen. Ich komme auf:

      $ x\ =\ [mm] arcsin\left( \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)\ [/mm] -\ arctan [mm] \left(\frac{b}{a}\right)$ [/mm]

Dazu muss ich sagen, dass ich jetzt gar nicht versucht habe,
Fallunterscheidungen betr. Definitionsbereiche vorzunehmen.
Mit anderen Worten:  ich nehme einmal an (und hoffe, dass
dies auch im tatsächlich praktisch vorliegenden Rechenbeispiel
der Fall ist), dass die vorkommenden Winkel spitze Winkel sind.

Wolfram Alpha macht das etwas gründlicher und liefert:

[]Wolfram $\alpha$

LG ,    Al-Chwarizmi




Bezug
                
Bezug
Trigonometrische Gleichungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:45 Sa 12.10.2019
Autor: wolfi1987

Hallo Al-Chwarizmi,

Vielen Dank für deine Hilfe :-).

Sg
Wolfi

Bezug
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