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| Aufgabe | Beweisen Sie für alle z [mm] \varepsilon \IC [/mm] die Identität:
[mm] sin^2(x)+cos^2(x)=1 [/mm] |
Hallo zusammen,
ich habe mir folgendes überlegt:
Bevor ich in's komplexe gehe, habe ich mir das Problem noch im Realen vorgestellt: (für ein x [mm] \varepsilon \IR)
[/mm]
Da Der Cosinus ja einfach ein um [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] Phasenverschobener Sinus ist, kann ich die Idendität auch umformulieren als:
[mm] sin^2(x)+sin^2(x+{\pi}{2})=1
[/mm]
und da durch [mm] (...)^2 [/mm] ja alle negativen Zahlen des Sinus, quadriert und damit positiv werden, ist der Wertebereich von [mm] sin^2(x): [/mm] (0-1)
Und jetzt kann ich für x beliebige Werte einsetzen und erhalte immer 1,
z.B: [mm] sin^2(\bruch{3}{2} \pi)+ sin^2(\bruch{3}{2} \pi [/mm] + [mm] \bruch{\pi}{2})
[/mm]
=1+0=1...
Allerdings weiß ich 1. nicht, wie ich das allein im reellen jetzt allgemeingültig beweisen kann und dementsprechend fehlt mir natürlich auch ein allgemeiner Ansatz für das komplexe.
Wäre für eine kleine Hilfe dankbar!
Noch eine Frage: Funktioniert der Beweis im reellen und komplexen analog?
Liebe Grüße,
Theoretix
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Hallo Julian,
> Beweisen Sie für alle z [mm]\varepsilon \IC[/mm] die Identität:
>
> [mm]sin^2(x)+cos^2(x)=1[/mm]
> Hallo zusammen,
> ich habe mir folgendes überlegt:
>
> Bevor ich in's komplexe gehe, habe ich mir das Problem noch
> im Realen vorgestellt: (für ein x [mm]\varepsilon \IR)[/mm]
>
> Da Der Cosinus ja einfach ein um [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm]
> Phasenverschobener Sinus ist, kann ich die Idendität auch
> umformulieren als:
>
> [mm]sin^2(x)+sin^2(x+{\pi}{2})=1[/mm]
>
> und da durch [mm](...)^2[/mm] ja alle negativen Zahlen des Sinus,
> quadriert und damit positiv werden, ist der Wertebereich
> von [mm]sin^2(x):[/mm] (0-1) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Und jetzt kann ich für x beliebige Werte einsetzen und
> erhalte immer 1,
> z.B: [mm]sin^2(\bruch{3}{2} \pi)+ sin^2(\bruch{3}{2} \pi[/mm] +
> [mm]\bruch{\pi}{2})[/mm]
> =1+0=1...
Ja, ein Beispiel macht noch keinen Beweis ...
>
> Allerdings weiß ich 1. nicht, wie ich das allein im
> reellen jetzt allgemeingültig beweisen kann und
> dementsprechend fehlt mir natürlich auch ein allgemeiner
> Ansatz für das komplexe.
> Wäre für eine kleine Hilfe dankbar!
>
> Noch eine Frage: Funktioniert der Beweis im reellen und
> komplexen analog?
Für den Beweis im Kompelxen benutze die Darstellungen für Sinus und Cosinus
[mm]\sin(z)=\frac{1}{2i}\cdot{}\left(e^{iz}-e^{-iz}\right)[/mm] und [mm]\cos(z)=\frac{1}{2}\cdot{}\left(e^{iz}+e^{-iz}\right)[/mm]
Das funktioniert für reelle Zahlen nat. auch, die sind ja in [mm]\IC[/mm] enthalten.
Alternativ kannst du das im Reellen kannst zB. am Einheitskreis beweisen.
>
> Liebe Grüße,
> Theoretix
Gruß
schachuzipus
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Danke für den schnellen Tipp!
Jetzt habe ich noch eine frage bezüglich der Termumformung bzw. Zusammenfassung:
Wenn ich die Definition:
sin z= [mm] \bruch{1}{2i} (e^{iz}-e^{-iz}) [/mm] einsetze: in [mm] sin^2 [/mm] z muss ich doch erstmal alles quadrieren? also:
[mm] sin^2 [/mm] z= [mm] \bruch{1}{4i^2} (e^{iz}-e^{-iz})^2 [/mm] (?)
Das löse ich nun gemäß der Binomischen Formel auf und erhalte:
[mm] sin^2 [/mm] z= [mm] \bruch{1}{4i^2} ((e^{iz})^2-2*e^{iz}*^{-iz}+(e^{iz})^2) [/mm] (?)
und weiter:
[mm] sin^2 [/mm] z= [mm] \bruch{1}{4i^2} (e^{2iz}-\bruch{2e^{iz}}{e^{iz}}+e^{-2iz})
[/mm]
Den Bruch kann ich jetzt noch kürzen und mit dem Cosinus Analog verfahren...
Ist das rechentechnisch alles korrekt so?
Nicht, dass ich jetzt ewig rumrechne und mich am Ende frage, wieso ich den Beweis nicht schaffe=)
Und wenn ich das dann mithilfe der komplexen Exponentialfunktion dargestellt habe, wie setze ich dann einen allgemeinen Beweis an?
Liebe Grüße
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Hallo,
> Danke für den schnellen Tipp!
>
> Jetzt habe ich noch eine frage bezüglich der Termumformung
> bzw. Zusammenfassung:
>
> Wenn ich die Definition:
>
> sin z= [mm]\bruch{1}{2i} (e^{iz}-e^{-iz})[/mm] einsetze: in [mm]sin^2[/mm] z
> muss ich doch erstmal alles quadrieren? also:
>
> [mm]sin^2[/mm] z= [mm]\bruch{1}{4i^2} (e^{iz}-e^{-iz})^2[/mm] (?)
>
> Das löse ich nun gemäß der Binomischen Formel auf und
> erhalte:
>
> [mm]sin^2[/mm] z= [mm]\bruch{1}{4i^2} ((e^{iz})^2-2*e^{iz}*^{-iz}+(e^{iz})^2)[/mm]
> (?)
>
> und weiter:
>
> [mm]sin^2[/mm] z= [mm]\bruch{1}{4i^2} (e^{2iz}-\bruch{2e^{iz}}{e^{iz}}+e^{-2iz})[/mm]
>
> Den Bruch kann ich jetzt noch kürzen und mit dem Cosinus
> Analog verfahren...
Ja, bedenke noch [mm] $i^2=-1$ [/mm]
>
> Ist das rechentechnisch alles korrekt so?
Ja
> Nicht, dass ich jetzt ewig rumrechne und mich am Ende
> frage, wieso ich den Beweis nicht schaffe=)
>
> Und wenn ich das dann mithilfe der komplexen
> Exponentialfunktion dargestellt habe, wie setze ich dann
> einen allgemeinen Beweis an?
Na, fasse zusammen, da sollte wohl 1 rauskommen ...
>
> Liebe Grüße
Dito
schachuzipus
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Vielen Dank, das funktioniert soweit, nur ein einer Stelle bin ich mir nicht ganz sicher:
Ich bin jetzt also soweit, dass ich folgende Gleichung habe:
[mm] \bruch{e^{2iz}+e^{-2iz}-2}{4i^2}+\bruch{e^{2iz}+e^{-2iz}+2}{4}=1
[/mm]
Jetzt erweitere ich zum Hauptnenner HN= [mm] 4i^2 [/mm] :
[mm] \bruch{e^{2iz}+e^{-2iz}-2}{4i^2}+ \bruch{e^{2iz}+e^{-2iz}+2*i^2}{4}=1*4i^2
[/mm]
Um die Brüche jetzt wegzubekommen multipliziere ich mit dem HN durch
Und was mich jetzt verwirrt, ist dass ich dann auf der rechten Seite der Gleichung [mm] 4i^2*4i^2 [/mm] stehen habe.
Denn wenn ich die linke Seite weiter zusammenfasse erhalte ich " -4 ", also eben genau [mm] 1*4i^2...??
[/mm]
Wo liegt mein fehler?
Bitte um kurze Hilfe, vielleicht stehe ich grade auch einfach nur auf dem Schlauch?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:37 So 31.10.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Theoretix!
Bitte vergiss nicht, dass gilt: [mm] $i^2 [/mm] \ = \ -1$ .
Damit vereinfachst sich Deine Gleichung bzw. auch der Nenner des einen Bruches deutlich.
Gruß
Loddar
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Ah, also wähle ich als HN einfach -4 und erweitere einfach mit " -1 " bzw " -4 "
...stimmt dann sollte das richtige rauskommen, danke!
Aber mich würde trotzdem noch interessieren, warum mein Ergebnis verfälscht wird, wenn ich den "komplizierteren" Lösungsweg einschlage.
(Macht natürlich jetzt wenig Sinn diesen Weg zu wählen, aber wenn sollte er ja äquivalent richtig sein?)
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:51 So 31.10.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Theoretix!
Du hast oben den zweiten Bruch nur "halbherzig" und inkonsequent (sprich: falsch) erweitert, indem Du einfach im Zähler ganz hinten das [mm] $i^2$ [/mm] angehangen hast.
Zudem ist mir nicht klar, wo auf der rechten Seite da schon das [mm] $4*i^2$ [/mm] herkommt.
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
Ich habe vergessen auch im Nenner das [mm] "i^2" [/mm] mitzutippen, da ich natürlich den Bruch mit [mm] "i^2" [/mm] erweitert habe, da im Nenner schon die "4" steht und der HN= [mm] 4i^2.
[/mm]
Die [mm] 4i^2 [/mm] auf der rechten Seite kommt doch einfach durch erweitern:
auf der rechten Seite steht "1" der Hauptnenner ist jedoch [mm] HN=4i^2, [/mm] also muss ich das ja auch mit [mm] 4i^2 [/mm] erweitern, oder nicht?
Also bis auf den Fakt, dass ich vergessen habe, das [mm] i^2 [/mm] auch im Nenner zu schreiben fällt mir eigentlich kein Fehler auf? (Wobei das für meine Rechnung dann keine große Rolle mehr spielt, da der Nenner wegfällt, wenn ich mit HN durchmultipliziere)
Wenn ich als Hauptnenner jetzt -4 nehme, muss ich die rechte Seite ja auch nur mit "-4" erweitern-was mir jetzt sorgen bereitet ist das durchmultiplizieren mit dem HN:
dann steht ja auf der rechten Seite -4*-4=16...und das bekomme ich doch auf der linken Seite gar nicht raus?
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:06 So 31.10.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Theoretix!
1. Wenn Du die rechte Seite erweiterst mit [mm] $4*i^2$ [/mm] muss dort auch stehen: $... \ = \ [mm] \bruch{1*4i^2^}{4i^2}$
[/mm]
2. Wenn Du den zweiten Bruch mit [mm] $i^2$ [/mm] erweiterst, musst Du auch den gesamten Zähler in Klammern setzen.
Gruß
Loddar
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