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Forum "Funktionen" - Trigonometrische Identitäten
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Trigonometrische Identitäten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:43 Sa 30.04.2011
Autor: monstre123

Aufgabe
Beweisen Sie mit der Eulerschen Formel [mm] e^{ix}=cos(x)+i*sin(x): [/mm]

b) [mm] cos^{2}(x)+sin^{2}(x)=1 [/mm]  ,  [mm] cos^{2}(x)-sin^{2}(x)=cos(2x) [/mm]

c) sin(x+y)=sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)

d) [mm] (r*(cos(\phi)+isin(\phi))^{n}=r^{n}*(cos(n*\phi)+isin(n*\phi)) [/mm]

Hallo,

ich habe folgenden Ansatz verwendet:

Umstellen von [mm] e^{ix}=cos(x)+i*sin(x) [/mm] nach sin(x) und cos(x):

[mm] cos(x)=e^{ix}-i*sin(x) [/mm]

[mm] sin(x)=-i*e^{ix}+i*cos(x) [/mm]

Einsetzen in [mm] cos^{2}(x)+sin^{2}(x)=1 [/mm] liefert:

[mm] [e^{ix}-i*sin(x)]^{2}+[-i*e^{ix}+i*cos(x)]^{2}=1 [/mm]


Kann man das so machen?


Danke vorab.

        
Bezug
Trigonometrische Identitäten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:26 Sa 30.04.2011
Autor: weduwe

ich würde zuerst [mm] e^{-ix} [/mm] bestimmen

Bezug
                
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Trigonometrische Identitäten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:53 So 01.05.2011
Autor: monstre123

und was macht man mit [mm] e^{-ix}=cos(x)-i*sin(x) [/mm] ?  

Bezug
                        
Bezug
Trigonometrische Identitäten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:58 So 01.05.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> und was macht man mit [mm]e^{-ix}=cos(x)-i*sin(x)[/mm] ?


Löse das Gleichungssystem


    [mm]e^{ix}=cos(x)+i*sin(x)\quad\wedge\quad e^{-ix}=cos(x)-i*sin(x)[/mm]

nach cos(x) und sin(x) auf !


LG    Al-Chw.  


Bezug
                                
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Trigonometrische Identitäten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:54 Mo 02.05.2011
Autor: monstre123


> > und was macht man mit [mm]e^{-ix}=cos(x)-i*sin(x)[/mm] ?
>  
>
> Löse das Gleichungssystem
>
>
> [mm]e^{ix}=cos(x)+i*sin(x)\quad\wedge\quad e^{-ix}=cos(x)-i*sin(x)[/mm]
>  
> nach cos(x) und sin(x) auf !

Brauche ich nicht zu machen, da Aufgabe a) folgende war:

a) [mm] cos(x)=\bruch{e^{ix}+e^{-ix}}{2} [/mm]  ,  [mm] sin(x)=\bruch{e^{ix}+e^{-ix}}{2i} [/mm]


somit habe ich sin(x) und cos(x). muss ich jetzt einfach einsetzen in die b) für [mm] cos^{2}(x) [/mm] und [mm] sin^{2}(x) [/mm] ?

2) Wie gehe ich bei der c) vor?

>  
>
> LG    Al-Chw.  
>  

Danke vielmals.

Bezug
                                        
Bezug
Trigonometrische Identitäten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:06 Mo 02.05.2011
Autor: leduart

Hallo
zu a) ja,
zu c) die ursprüngliche Formel!
gruss leduart


Bezug
                                                
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Trigonometrische Identitäten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:18 Mo 02.05.2011
Autor: monstre123


> Hallo
>  zu a) ja,  

ok

>  zu c) die ursprüngliche Formel!

meinst du [mm] e^{ix}=cos(x)+isin(x) [/mm] ind c) auf der rechten seite einsetzen ?

mich irritiert dieses sin(x+y).

>  gruss leduart
>  


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Trigonometrische Identitäten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:20 Mo 02.05.2011
Autor: leduart

Hallo
ich hatte c und d verwechselt, bitte zitier deine aufgaben, damit man nicht ewig runskrollen muss.
bei c) wieder die Formeln für sin und cos verwenden.
gruss leduart


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Trigonometrische Identitäten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:12 Mi 04.05.2011
Autor: monstre123

Aufgabe
d) [mm] (r\cdot{}(cos(\phi)+isin(\phi))^{n}=r^{n}\cdot{}(cos(n\cdot{}\phi)+isin(n\cdot{}\phi)) [/mm]

Hallo,

ich habe alle bis auf die d) gemacht, deswegen die Frage: Wie gehe bei der d) vor?


Danke.



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Trigonometrische Identitäten: Zwei Ideen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:17 Mi 04.05.2011
Autor: Diophant

Hallo,

bei d) handelt es sich ja um nichts anderes als die Moivresche Formel. Du könntest geometrisch argumentieren, indem du zeigst, dass bei der Multiplikation zweier komplexer Zahlen der Betrag des Produkts das Produkt der einzelnen Beträge, das Argument des Produkts jedoch die Summe der beiden einzelnen Argumente ist.
Oder aber du gehst über die Euler-Identität, dann geht es einfach per Potenzgesetz. Und so ist es ja auch nach Aufgabenstellung gemeint.

Gruß, Diophant

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Trigonometrische Identitäten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:44 Mi 04.05.2011
Autor: fred97

Der Fall n=1 ist klar.

Für n=2 verwende die Aditionstheoreme von Sinus und Cosinus.

Rest mit Induktion.

FRED

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