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Hallo,
folgende Gleichung soll nach x umgestellt werden:
[mm] \wurzel{cos(x-1)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}
[/mm]
Ich komme auf:
[mm] x_1 [/mm] = 2,0472 + k * [mm] 2*\pi
[/mm]
Wie komme ich auf die folgende zweite Lösung:
[mm] x_2 [/mm] = -0,0427 + k* [mm] 2*\pi
[/mm]
LG und Besten Dank im Voraus...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:21 Do 28.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
> folgende Gleichung soll nach x umgestellt werden:
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> [mm]\wurzel{cos(x-1)}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
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> Ich komme auf:
>
> [mm]x_1[/mm] = 2,0472 + k * [mm]2*\pi[/mm]
>
> Wie komme ich auf die folgende zweite Lösung:
>
> [mm]x_2[/mm] = -0,0427 + k* [mm]2*\pi[/mm]
>
> LG und Besten Dank im Voraus...
das ist jetzt sehr spärlich, es wäre sinnvoll, Deine Rechnung mitzuliefern:
Bei
[mm] $\sqrt{\cos(x-1)}=1/\sqrt{2}$
[/mm]
muss der Term unter der Wurzel (Radikand) [mm] $\ge [/mm] 0$ sein. Damit folgt
[mm] $\sqrt{\cos(x-1)}=1/\sqrt{2}$
[/mm]
[mm] $\iff$ $\cos(x-1) \ge [/mm] 0$ und [mm] $\cos(x-1)=1/2\,.$
[/mm]
Wenn wir uns mal auf $x-1=:z [mm] \in [0,2\pi[\,$ [/mm] beschränken: Für $0 [mm] \le [/mm] z < [mm] 2\pi$ [/mm] hat
[mm] $\cos(z) \ge [/mm] 0$ und [mm] $\cos(z)=1/2$
[/mm]
genau zwei Lösungen:
1. [mm] $z_1=\pi/3\,;$
[/mm]
2. [mm] $z_2=2\pi-\pi/3=\frac{5}{3}\pi\,.$
[/mm]
Resubstituieren, und Du bekommst die zwei Lösungen [mm] $x_1,x_2 \in [1,\,1+2\pi[\,.$
[/mm]
Der Rest ist klar, oder? [mm] $2\pi$-Periodizität [/mm] des Kosinus.
Ich würde Dir übrigens empfehlen: Schreibe bei Dir
[mm] $x_{1,k}=(1+\pi/3)+k*2\pi \approx [/mm] 2,0472 + k [mm] *2\pi$ [/mm] oder [mm] $x_{1}(k)=...$ [/mm] ($k [mm] \in \IZ$)
[/mm]
und analoges auch für das, was Du "nur" [mm] $x_2$ [/mm] genannt hast...
P.S. Damit Du weißt, wieso ich mir
[mm] $\cos(z)=1/2$ [/mm] gilt für [mm] $z=\pi/3$
[/mm]
ohne nachzurechnen herleiten kann:
Zeichne Dir mal ein gleichseitiges Dreieck und in dieses eine Höhe ein...
P.P.S. Deine [mm] $x_2=x_{2,k}$ [/mm] stimmen nicht!
Gruß,
Marcel
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