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Trillipse: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 23:50 Mo 15.08.2011
Autor: reverend



Liebe Mitstreiter,

angestoßen von aktuellen Fragen zum Fermatpunkt eines Dreiecks (minimaler Abstand zu den Ecken) habe ich mir die Frage gestellt, wie eigentlich die Kurven aussehen, die den geometrischen Ort aller Punkte darstellen, deren Abstände zu drei gegebenen Punkten sich zu einer gegebenen Konstanten summieren.

Das ist offenbar nur die Erweiterung der Definition einer Ellipse. Ich habe nach ein bisschen Suche im Netz die Vortragspapiere von Hans Walser, Basel, gelesen (z.B. []hier). Da taucht zwar die Fragestellung auf, aber die Papiere (mindestens drei Fassungen) sind nicht sehr ergiebig.

Weiß jemand mehr darüber? Die Kurven sind ganz hübsch, hier einige wenige grobe Darstellungen:

[Dateianhang nicht öffentlich]

Interessant wäre auch noch die Erweiterung ins Dreidimensionale.
Dieser Schritt führt vom Kreis zur Kugel, von der Ellipse zum Rotationsellipsoid, aber hier zu einer interessanten Fläche, die ich mit den mir zur Verfügung stehenden Programmen aber nicht darstellen kann. Das gilt natürlich nur für bestimmte Werte der Abstandssumme d, nämlich solche, die im Zweidimensionalen zu Kurven außerhalb des gegebenen Dreiecks führen, aber nicht weit außerhalb.

Ebenfalls interessant wäre eine elegante analytische Definition, so wie bei Kreis und Ellipse. Sie scheint mir allerdings hier nicht möglich zu sein. Stimmt das?

Die folgende allgemeine Darstellung ist jedenfalls alles andere als hübsch. Gegeben seien drei Punkte P,Q,R mit den Koordinaten [mm] (p_1, p_2), (q_1, q_2), (r_1, r_2). [/mm] Implizit sind die gesuchten Kurven dann mit [mm] d\in\IR [/mm] (s.u.) zu definieren als alle Lösungen (x,y) von

[mm] \wurzel{(x-p_1)^2+(y-p_2)^2}+\wurzel{(x-q_1)^2+(y-q_2)^2}+\wurzel{(x-r_1)^2+(y-r_2)^2}=d [/mm]

Dabei ist noch zu beachten, dass es nur dann Lösungen gibt, wenn d>D ist, wobei D die minimale Abstandssumme eines Punkts im Innern des Dreiecks PQR ist (also die Abstandssumme des Fermatpunkts zu den Ecken).
Das ist irgendwie unschön. Gehts besser?

Vielleicht hätte ich doch "Sommerloch" drüber schreiben und eine Übungsaufgabe draus machen sollen...

Grüße
reverend


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Trillipse: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:19 Di 16.08.2011
Autor: felixf

Moin rev,

> angestoßen von aktuellen Fragen zum Fermatpunkt eines
> Dreiecks (minimaler Abstand zu den Ecken) habe ich mir die
> Frage gestellt, wie eigentlich die Kurven aussehen, die den
> geometrischen Ort aller Punkte darstellen, deren Abstände
> zu drei gegebenen Punkten sich zu einer gegebenen
> Konstanten summieren.

das ist in der Tat eine interessante Kurve. Ich kann mir vorstellen, dass der Schluessel zum Verstaendnis der allgemeineren Form (Abstand zu $n$ Punkten summiert) in dem Fall $n = 3$, also in diesem Fall liegt.

>  Dieser Schritt führt vom Kreis zur Kugel, von der Ellipse
> zum Rotationsellipsoid, aber hier zu einer interessanten
> Fläche, die ich mit den mir zur Verfügung stehenden
> Programmen aber nicht darstellen kann. Das gilt natürlich

Das sollte nicht so schwer sein sie darzustellen. Mit dem Marching-Cubes-Algorithmus ist das sehr einfach; ein paar Computer-Algebra-Programme (wie Maple, Matlab, ...) haben diesen implementiert und es gibt auch sonst viele Code-Fragmente im Netz die diesen Implementieren. Was natuerlich nicht viel hilft wenn man die nicht hat, bzw. wenn man nicht genuegend Zeit investieren will um so ein Code-Fragment zum Laufen zu bringen. (Ich werd die Tage mal weiter suchen, gerade bin ich eigentlich auf dem Weg in's Bett...)

> Ebenfalls interessant wäre eine elegante analytische
> Definition, so wie bei Kreis und Ellipse. Sie scheint mir
> allerdings hier nicht möglich zu sein. Stimmt das?

Auf dem ersten Blick sieht das schwierig aus. Allerdings: auch bei einer Ellipse sieht es erst nicht-trivial aus, wenn man von der Definition "Summe der Abstaende" kommt. Dass dies eine algebraische Hyperflaeche ist die auch noch einfach analytisch parametrisiert werden kann ist nicht offensichtlich. Vielleicht muss man auch hier den richtigen Ansatz / Blickwinkel waehlen? Jetzt gerade faellt mir nichts ein, aber wie gesagt, das Bett winkt... ;-)

> Vielleicht hätte ich doch "Sommerloch" drüber schreiben
> und eine Übungsaufgabe draus machen sollen...

:D

LG Felix


Bezug
        
Bezug
Trillipse: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:08 Di 16.08.2011
Autor: leduart

Hallo
hier ein 3d- Bild die 3Punkte bilden ein gleichseitiges Dreieck in der x-y-ebene, z etwa senkrecht zum Bildschirm.
[Dateianhang nicht öffentlich]
gruss leduart


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
Trillipse: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:40 Di 16.08.2011
Autor: reverend

Hallo leduart,

dankeschön!

So ungefähr hatte ich mir das Trillipsoid vorgestellt. An der Terminologie ist vielleicht noch zu arbeiten.

Ich frage mich gerade, ob bei einem entsprechenden Körper, der anhand von vier Punkten definiert wird, die Fläche (wie im zweidimensionalen 3-Punkt-Fall) dann und nur dann Singularitäten aufweist, wenn d so gewählt wird, dass es gerade gleich der Summe der Länge dreier Kanten entspricht, die einen Punkt gemeinsam haben.
Sind die vier Punkte die Ecken eines regelmäßigen Tetraeders ((1,1,1), (-1,-1,1), (-1,1,-1), (1,-1,-1), hier [mm] d=6\wurzel{2} [/mm] ), so müsste sich ein Körper ergeben, der zwar vier Ecken/Singularitäten hat, aber ansonsten keine Kanten und also aus einer einzigen Fläche besteht. Dieser Fläche können unendlich viele regelm.Tetraeder einbeschrieben werden, die mit der Fläche genau 4 Punkte gemeinsam haben - der größte ist dann der erzeugende Tetraeder. Von außen können ebenfalls unendlich viele regelm. Tetraeder umbeschrieben werden, die mit der Fläche genau 4 Punkte gemeinsam haben.

Ein praktischer Nutzwert ist mir nicht ersichtlich, aber es ergäbe einen hübschen Briefbeschwerer. ;-)

Danke nochmal für die Mühe, das Bild zu erstellen!

Herzliche Grüße
reverend


Bezug
                        
Bezug
Trillipse: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:57 Di 16.08.2011
Autor: leduart

Hallo reverend
ich hab dir den Briefbeschwerer gehäkelt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
gruss leduart


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                                
Bezug
Trillipse: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:28 Di 16.08.2011
Autor: reverend

Hallo leduart,

der ist schick, vor allem mit dem Oberflächendesign. Gelber Granit? ;-)

Danke auch für diese Grafik!

Grüße
reverend


Bezug
                
Bezug
Trillipse: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:31 Di 16.08.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo
>  hier ein 3d- Bild die 3Punkte bilden ein gleichseitiges
> Dreieck in der x-y-ebene, z etwa senkrecht zum Bildschirm.
>  [Dateianhang nicht öffentlich]
>  gruss leduart


Hallo Leduart,

sehr schön ! Leider gibt es zu diesen Eiern (die z.B. nicht
einfach vom Tisch rollen könnten) die dafür geeigneten
Hühner nicht ...   ;-)

Die Form erinnert mich natürlich an das Meissner-Gleichdick.
Hier ein Beitrag dazu, der von einem meiner Kollegen
stammt:  []Gleichdick

LG   Al  


Bezug
                        
Bezug
Trillipse: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:07 Di 16.08.2011
Autor: reverend

Hallo Al,

das Gleichdick kenne ich auch, es ist ein sehr interessanter Körper. Vielen Dank für den Hinweis.

> sehr schön ! Leider gibt es zu diesen Eiern (die z.B.
> nicht
>  einfach vom Tisch rollen könnten) die dafür geeigneten
> Hühner nicht ...   ;-)

Doch, doch, die berühmten "triangular chicken" natürlich.
[]Eins davon ist künstlich und ein in den USA bekanntes "landmark". Ansonsten sind sie natürlich hinlänglich als []Kinderspielzeug bekannt. Man kann sie aber auch ganz gewöhnlich []kochen.

Grüße ;-)
reverend


Bezug
        
Bezug
Trillipse: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:20 Fr 19.08.2011
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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