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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:34 Di 25.04.2006 | | Autor: | papillon |
| Aufgabe | Gegeben sei die triviale Metrik:
Menge M [mm] \not= \emptyset [/mm] ;
Metrik d(x,y) = 0 für x=y
d(x,y) = 1 für x [mm] \not=y
[/mm]
Es ist bekannt, dass die Menge der rationalen Zahlen [mm] \IQ [/mm] bezüglich der Metrik d(p,q) = |p-q| nicht vollständig ist.
Ist [mm] \IQ [/mm] vollständig bezüglich der trivialen Metrik? |
Leider fehlt mir jeglicher ansatz. Was vollständig bedeutet, weiß ich: Jede Cauchy-Folge muss im Raum konvergieren.
Aber wie kann ich [mm] \IQ [/mm] bezüglich der trivialen Metrik überprüfen?
Danke für eure Tipps!
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Hallo papillon,
ich denke, du solltest dir erstmal klarmachen, wie cauchy-folgen bezüglich der trivialen metrik aussehen. Dann ist es zur vollständigkeit nicht mehr weit.
VG
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 Di 25.04.2006 | | Autor: | papillon |
Danke schonmal!
Die cauchy-folge haben wir leider noch nicht im detail besprochen, ich wüsste aber trotzdem gern, wie sie sich bei dieser metrik verhält. Vielleicht kann mir das ja einer kurz und leicht verständlich erklären?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:42 Di 25.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Die cauchy-folge haben wir leider noch nicht im detail
> besprochen,
Definiert, was eine Cauchy-Folge ist, habt ihr aber schon, oder?
Jetzt setz in die Definition mal ein beliebiges [mm] $\varepsilon [/mm] < 1$ ein und schau, was passiert. Wenn du nichts siehst schreib mal das was du heraus hast hier hin.
Und dann schau dir mal die Definition von ``Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] konvergiert gegen $x$'' an und setz auch dort ein beliebiges [mm] $\varepsilon [/mm] < 1$ ein. Was passiert hier?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 Mi 26.04.2006 | | Autor: | papillon |
Die Defintionen sind mir bekannt.
Ich hab also mal eingesetzt, z.B. den Wert [mm] \varepsilon=0,5
[/mm]
Cauchy: ...... d( [mm] x_{m}, x_{n} [/mm] < 0,5
Grenzwert: ...... [mm] d(x_{n},y) [/mm] < 0,5
Ich weiß ja, dass d(x,y) nur null oder eins sein kann. Wenn [mm] x_{m} [/mm] und [mm] x_{n} [/mm] aber verschieden sind, dann stimmt die cauchy ungleichung nicht mehr.
Ist das richtig? Wie mache ich weiter? Vielen Dank für die Hilfe!
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.... dh. eine cauchy-folge bezüglich der trivialen metrik muss eigentlich im unendlichen konstant sein... und was bedeutet das bezüglich der vollständigkeit?
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